Частотный критерий Михайлова

Как и при использовании критерия Гурвица исходной информацией для использования критерия Михайлова является характеристическое уравнение исследуемой системы (205). Здесь применяется геометрическая иллюстрация траектории движения конца вектора Михайлова – годограф Михайлова.

На основе характеристического уравнения замкнутой системы (205) вводится в рассмотрение некоторая функция комплексного переменного, полученная заменой :

. (210)

Функцию (210) можно представить в виде

. (211)

На комплексной плоскости вектор опишет при изменении от до кривую – годограф Михайлова.

В основе критерия Михайлова заложен принцип аргумента вектора (211). Характеристическое уравнение (205) представим в известном виде:

. (212)

Выражение (210) можно записать как

. (213)

Теперь (213) выразим через модуль и фазу (аргумент):

, (214)

где

. (215)

Проанализируем изменение составляющей аргумента при для случаев с различными типами корней .

Случай действительного отрицательного корня: . Поведение вектора для этого случая показано на рис. 74, а.

Рис. 74. Изменение положения
для случаев действительных (a) и комплексных (б) корней,
лежащих в левой полуплоскости

В этом случае при изменении от до угол поворота вектора составит

.

В случае пары комплексных сопряженных корней

при изменении частоты от до угол поворота вектора составит

.

Поведение вектора для этого случая показано на рис. 74, б.

Суммарный угол поворота от пары комплексных корней при этом составит

.

Следовательно, если все корни характеристического уравнения исследуемой системы лежат в левой полуплоскости, что соответствует устойчивой системе управления, то суммарный угол поворота вектора (214) при изменении частоты от до составит

.

Очевидно, что если система находится на границе устойчивости, то для случая нулевого корня при изменении от до

.

Для случая пары чисто мнимых корней

поворот вектора составит

,

где

для ,

для .

Поворот второго вектора составит

.

Рассмотрим случай, когда замкнутая система неустойчива. В этом случае имеются корни, лежащие в правой полуплоскости.

Если корень действительный , вектор при изменении от до повернется на угол . Если пара комплексных сопряженных корней лежит в правой полуплоскости, то

.

Следовательно, если m из n корней характеристического уравнения лежат в правой полуплоскости, то суммарный угол поворота вектора при изменении от до составит

.

Определение. Для устойчивой системы управления n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении от до , начиная с вещественной положительной полуоси, проходил против часовой стрелки последовательно через n – квадрантов.

На рис. 75 приведен годограф Михайлова для различных случаев.

Рис. 75. Примеры для случаев: а) устойчивой,
б) неустойчивой систем, в) случай нейтральной системы с нулевым
корнем, г) случай колебательной границы устойчивости

Теперь обратимся к рис. 76, иллюстрирующему устойчивую САР. Для устойчивой САР наблюдается чередование корней действительной и мнимой частей (следствие из критерия Михайлова).

Рис. 76. Изменение вещественной и мнимой составляющих
вектора Михайлова при изменении частоты

Недостатком алгебраических критериев и частотного критерия устойчивости является их ограниченность системами без транспортного запаздывания. В случае системы с транспортным запаздыванием их применение дает приближенную оценку устойчивости в пределах правомерности аппроксимации звена транспортного запаздывания рядом Паде.