Задачи для решения по высшей математике

Элементы дифференциального исчисления

Функция

Постройте графики следующих функций:

1.1. ;

1.2. ;

1.3. ;

Предел функции

Найдите пределы:

1.4. ;

1.5. ;

Производная элементарных функций

1.6. Запишите таблицу производных элементарных функций.

Правила дифференцирования

Используя правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ; 1.10. ; 1.11. ; 1.12. ; 1.13. ; 1.14. ; 1.15. ; 1.16. ;

1.17. ; 1.18. ; 1.19. ; 1.20. ; 1.21. ; 1.22. ; 1.23. ;

Производная сложной функции

Найдите производные следующих сложных функций:

1.24. ; 1.25. ; 1.26. 1.27.

1.28. 1.29. 1.30.

 

Дифференциал функции

Найдите дифференциалы следующих функций:

1.31. ; 1.32. ;

1.33. ; 1.34. ;

Производные высших порядков

Проведите повторное дифференцирование следующих функций:

1.35. ,

1.36. ,

1.37. ,

 

Элементы интегрального исчисления

 

Неопределенный интеграл

Найдите следующие неопределенные интегралы:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ; 2.4. ; 2.5. 2.6. ;

2.7. ; 2.8. ; 2.9. ; 2.10. ; 2.11. ;

 

Метод замены переменных

Воспользуйтесь методом замены переменных для нахождения следующих неопределенных интегралов:

2.12. ; 2.13. ; 2.14. ;

2.15. ; 2.16. ; 2.17. ;

 

Метод интегрирования по частям

Воспользуйтесь методом интегрирования по частям для нахождения следующих неопределенных интегралов:

2.18. ; 2.19. ;

2.20. ; 2.21. ;

 

Определенный интеграл

Вычислите следующие определенные интегралы:

2.22. ; 2.23. ; 2.24. ; 2.25. ; 2.26. ; 2.27. ;

2.28. ; 2.29. ; 2.30. ; 2.31. ; 2.32. ; 2.33. .

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

 

Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений

3.1. Докажите, что любая функция вида  является общим решением дифференциального уравнения .

3.2. Найдите частное решение предыдущего уравнения при условии, что  при .

3.3. Решите предыдущее уравнение методом разделяющихся переменных.

 

Общее решение дифференциальных уравнений

Найдите общее решение следующих дифференциальных уравнений:

3.4. ; 3.5. ; 3.6. ; 3.7. ; 3.8. ; 3.9. ; 3.10. ; 3.11. ;

3.12. ; 3.13. ; 3.14. ; 3.15. ; 3.16. ; 3.17. ; 3.18. ;

 

Частное решение дифференциальных уравнений

Найдите частное решение следующих дифференциальных уравнений:

3.19. , ;

3.20. , ;

3.21. ,  (интеграл  следует вычислять по частям);

 

Приложения дифференциальных уравнений первого порядка

3.23. Скорость, с которой лекарственный препарат расходуется в организме пациента, пропорциональна его массе. Найдите закон убывания массы препарата от времени, если пациенту однократно была сделана инъекция массой . Изобразите график уменьшения массы препарата в крови со временем.

3.24. Рассмотрите предыдущую задачу для случая, когда препарат вводился пациенту с постоянной скоростью q (сл. инфузии). Начальные условия выберите в следующем виде:  при .