Оценка типичности средней арифметической

Чем вариационный ряд более компактен, менее рассеян, тем лучше средняя арифметическая характеризует данную совокупность.

Если вариационный ряд растянут, отдельные значения вариант сильно от- клоняются от средней (т.е. имеется большая вариабельность, колеблемость при- знака), то средняя хуже характеризует ряд в целом и является менее типичной для данной совокупности.

Таким образом, кроме средней необходима еще одна характеристика ряда: его колеблемость.

Простейшей мерой колеблемости ряда является амплитуда (вариационный размах), т.е. разность крайних вариант. Например, при подсчете частоты пульса у одной группы обследованных средняя составляла 68, минимальное число было 60, а максимальное - 70. У второй группы средняя частота пульса составляла так- же 68, но наименьшее число было 55, а наибольшее - 80. Амплитуда в первой группе значительно меньше и, следовательно, все значения группируются вокруг средней. Вторая совокупность более разнообразна, ее рассеяность велика и коле- бания отдельных значений от средней больше; следовательно, средняя в этой группе менее типична, чем в первой группе.

Мерой колеблемости, изменчивости признака и мерой типичности средней арифметической является среднее квадратическое отклонение (сиг ма - σ ), которое определяется по формуле (по способу моментов):

 

 

ПРИМЕР:         Результаты измерения массы тела мальчиков 12 лет

Масса тела (V)	Число лиц (Р)	d = (V - M1)	Pd	d2	d2P
20	1	- 5	- 5	25	25
22	5	- 3	- 15	9	45
23	6	- 2	- 12	4	24
25 = M1	10	0	0	0	0
28	5	3	15	9	45
29	4	4	16	16	64
31	2	6	12	36	72
	n = 33		Σ Pd = 11		Σ Pd2 = 275

 

Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем выше колеблемость данного вариационного ряда.

Для оценки типичности средней арифметической с помощью среднего квад- ратического отклонения в статистике применяется так называемое “ правило трех сигм”. Это правило основано на законе нормального распределения и отражает теоретическую закономерность распределения вероятностей случайных со- бытий в условиях бесконечно большого количества наблюдений.

Согласно теории вероятности, в явлениях, подчиняющихся закону нормально- го распределения, между значениями средней арифметической (М), средним квадратическим отклонением (σ) и отдельными значениями вариант существует строгая зависимость: в интервале М ± 1 σ находится 68,3% всех вариант ряда, в интервале М ± 2 σ - 95,5%, в интервале М ± 3 σ находится 99,7% всех вариант, т.е. практически весь вариационный ряд укладывается в этот предел.

Таким образом, среднее квадратическое отклонение является стандартным отклонением, позволяющим предвидеть вероятность появления такого значения изучаемого признака, которое находится в пределах заданных границ.

М ± 1 σ 68,3%
М ± 2 σ 95,5%
М ± 3 σ 99,7%

Для того, чтобы проверить, насколько средняя арифметическая типична для той совокупности, из которой она вычислена, нужно к ней прибавить и отнять утроенную сигму (М ± 3 σ ). Если в полученный интервал данный ва- риационный ряд укладывается, то средняя типична; если не укладывается - средняя нетипична, совокупность неоднородна и число наблюдений недос- таточно.

Графическим изображением “правила трех сигм” является кривая нормально- го распределения (биноминальная кривая Ньютона, кривая Гаусса).

Форма этой кривой отражает степень вариабельности результатов наблюде- ний: при большой разбросанности данных она будет пологой, при малой разбро- санности - крутой. В силу симметричности кривой перпендикуляр, опущенный из ее максимума на ось абсцисс, пересекает ее в точке, соответствующей среднему значению данных, отложенных по этой оси (М, Мо, Ме).