Продолжительные проекты и формула дисконтирования

При доказательстве правила NPV мы ограничились рассмотрением инвестиционных проектов продолжительностью один год. Реальные же проекты обычно значительно более продолжительны. Однако нетрудно показать, что полученный критерий максимизации чистой приведенной стоимости справедлив для проектов любой продолжительности. Можно было бы сказать, что это очевидно и сэкономить несколько минут изложения. Но я пишу не кухонную книгу. И для сознательного использования экономических рецептов следует понимать, почему они работают так, а не иначе. Поэтому стоит пояснить это очевидное экономическое утверждение.

Пусть наш проект продолжительностью n лет требует ежегодных инвестиций I_i, и дает ежегодные притоки S_i. Приток, полученный во второй год, приводится к началу проекта через коэффициент дисконтирования 1/(1+r). Приток же полученный в третьем году, следует сначала привести ко второму, а потом уже к первому. Поэтому коэффициент дисконтирования будет равен уже величине (1/(1+r))². Далее, как понимаете, аналогично. Точно так же к началу проекта приводятся и инвестиции, то есть оттоки денег. В результате сальдо дисконтированных во времени притоков и оттоков денег или NPV будет равно

N                                                     n                                                     n

N PV = å S t (1 / (1 + r) ^{t -1} ) - å I t (1 / (1 + r) ^{t -1} ) = å C t (1 / (1 + r) ^{t -1} ),

t =1

t =1

t =1

где S_t – поток денежных средств проекта в t-м году (приток денежных средств);

I_t – инвестиции (отток денежных средств) в t-м году; C_t – денежный поток, с учетом знака.

Суммирование ведется по t от первого до последнего года проекта.

Если же обозначить первый год проекта номером 0, то формула приобретет наиболее распространенный вид:

N                               n                              n

NPV = å S t  (1 / (1 + r))^t - å I t  (1 / (1 + r))^t = å C t  (1 / (1 + r))^t.        (*)

t =0

t =0

t =0

 

 

Понятно, что никто не занимает и не тратит эти деньги перед началом проекта, и величина NPV является расчетным критерием. Но этот критерий замечателен тем, что он с достаточной степенью близости соответствует реальности и имеет реальное же экономическое содержание.

Чистая приведенная стоимость показывает доход, который обеспечивает проект инвестору сверх упущенной выгоды и в сегодняшних деньгах.

Для того, чтобы доказать это, достаточно простую экономическую логику можно дополнить элементарными математическими манипуляциями.

Предположим, что у инвестора имеется две альтернативы: разместить инвестиции I₀ на финансовом рынке с доходностью r, и получить через год сумму I₀(1+r), либо профинансировать ими проект и получить через год сумму S_1. Дополнительный эффект сверх упущенной выгоды составит через год величину NFV = S₁ – I₀(1+r). Приведя эту величину через дисконтирование к настоящему времени, получим: NPV = S₁[1/(1+r)] – I₀.

Если же рассчитать NPV не отдельного проекта, а прогнозируемых денежных потоков всей фирмы за достаточно большой период времени, то мы получим оценку роста стоимости фирмы как инструмента "делания денег" для ее собственников, а в пределе – ее стоимость.

В последнем случае чистая приведенная стоимость показывает сколько денег можно заплатить за фирму покупая ее "вместе с теми деньгами, которые она способна принести". Эта величина и будет соответствовать стоимости фирмы, поскольку именно для зарабатывания дополнительных денег (сверх упущенной выгоды) фирмы и существуют. Если же на вкладываемые инвестиции фирма приносит столько же денег, сколько финансовый рынок, то и "связываться" с ней не стоит. То есть реализация фирмой проекта, с чистой приведенной стоимостью NPV делает ее дороже