Общие методические указания к выполнению индивидуальных заданий

 

При решении задач и оформлении ИДЗ рекомендуется

выполнять следующие требования:

 

1. Прочитайте внимательно условие задачи, хорошо вникните в ее смысл и постановку вопроса. Запишите кратко данные, переведите единицы измерения физических величин в СИ.

2. Если в задаче есть векторные величины, то, как правило, необходимо сделать рисунок, поясняющий сущность задачи.

3. Решать задачу рекомендуется сначала в общем виде, то есть в буквенных обозначениях величин, приведенных в условии задачи. Решение в общем виде позволяет установить определенную закономерность, показывающую, как зависит искомая величина от заданных величин.

4. Получив решение в общем виде, нужно проверить, правильную ли оно имеет размерность, так как неверная размерность является признаком ошибочности решения.

5. Приступая к вычислениям, следует помнить правила действий с приближенными числами и, получив численный ответ, рекомендуется оценить его правдоподобность. Такая оценка может иногда обнаружить ошибочность полученного результата.

6. Решение задач необходимо сопровождать исчерпывающими пояснениями, указывать те основные законы и формулы, на которых основывается решение задачи.

7. ИДЗ следует выполнять в отдельной тетради (или на отдельных, но скрепленных листочках), обязательно полностью переписав условие задачи и оставляя место на полях для замечаний преподавателя. На титульном листе необходимо указать наименование дисциплины, номер ИДЗ, фамилию, индекс группы.

 

Варианты задач для выполнения ИДЗ №1

 

Вариант № 1

 

1.1.1. Лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью v = 7.2 км/ч. Течение относит ее на расстояние S = 150 м вниз по реке. Найдите скорость u течения реки и время t, затраченное на переправу через реку. Ширина реки L = 0.5 км.

[0.6 м/с; 250 с]

1.1.2. Материальная точка движется вдоль, прямой так, что пройденный ею путь зависит от времени по закону S = at – bt ² + ct ³ [м], где а = 1 м/с, b = 2 м/с², с = 3 м/с³. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с, а также определите расстояние, пройденное точкой за первые Δ t =2 с после начала движения.

[29 м/с; 32 м/с²; 18 м]

1.1.3. Точка движется по окружности радиуса R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением а _τ = 5 см/с². Через какое время t после начала движения нормальное ускорение a_n точки будет: а) равно тангенциальному, б) вдвое больше тангенциального?

[2 с; 2.8 с]

1.1.4. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t = 3 с опустился на h = 1.5 м. Определите угловое ускорение εцилиндра, если его радиус r = 4 см.

[8.33 рад/с²]

1.1.5. Самолет массой m = 2.5 т летит со скоростью v = 400 км/ч. Он совершает в горизонтальной плоскости вираж (вираж – полет самолета по дуге окружности с некоторым углом крена). Радиус R траектории самолета равен 500 м. Найдите поперечный угол φ наклона самолета и подъемную силу F крыльев во время полета.

[58.2 °; 66.2 кН]

1.1.6. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком. В песок попадает снаряд, летевший вдоль рельсов, и застревает в нем. В момент попадания снаряда его скорость равна v = 400 м/с и направлена сверху вниз под углом α = 30 ° к горизонту. Какую скорость приобрела платформа? Масса платформы с песком М = 5 т, масса снаряда m = 10 кг.       

[0.69 м/с]

1.1.7. Человек сидит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0.4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0.8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м²?              

[1.02 рад/с]

1.1.8. Найдите момент инерции J и момент импульса L земного шара относительно оси вращения.

[9.7·10³⁷ кг·м²; 7·10³³ кг·м²/с]

 

Вариант № 2

1.2.1. Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону: . Найдите скорость  и ускорение  точки, модуль скорости v в момент t = 2 с, приближенное значение пути S, пройденного точкой за 10-ю секунду движения.

[8 м/с; 38 м]

1.2.2. Тело, брошенное вертикально вверх, через промежуток времени, равный половине времени подъема на максимальную высоту, находилось на высоте h = 9 м над точкой броска. На какую максимальную высоту поднималось тело при движении? Сопротивлением воздуха пренебречь.

[12 м]

1.2.3. Диск радиусом r = 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением ε = 0.5 рад/с². Найдите тангенциальное а _τ, нормальное a_n и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

[5 см/с²; 10 см/с²; 11 см/с²]

1.2.4. Велосипедное колесо вращается с частотой n = 5 с^-1. Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени Δ t = 1 мин. Определите угловое ускорение ε и число N оборотов, которое сделает колесо за это время.

[0.523 рад/с²]

1.2.5. На легкой нерастяжимой нити, выдерживающей натяжение Т _max = 20 Н, поднимают груз массой m = 1 кг из состояния покоя вертикально вверх. Считая движение равноускоренным, найдите максимальную высоту, на которую можно поднять груз за Δ t = 1 с, так чтобы нить не оборвалась.

[5.1 м]

1.2.6. Граната, летящая со скоростью v = 10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляет 0.6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью u ₁ = 25 м/с. Найдите скорость u ₂ меньшего осколка.

[- 12.5 м/с]

1.2.7. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определите вращающий момент М.

[0.025 Н·м]

1.2.8. Человек массой m ₀ = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r = 5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы v ₀ = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

[0.49 об/мин]

 

Вариант № 3

1.3.1. Пароход идет по реке от А до В со скоростью v ₁ = 10 км/ч относительно берега, а обратно – со скоростью v ₂ = 16 км/ч. Найдите среднюю скорость < v > парохода и скорость течения реки.

[12.3 км/ч; 3 км/ч]

1.3.2. Точка движется в плоскости ху из положения с координатами х ₁ = у ₁ = 0 со скоростью  (a, b – постоянные; ,  – орты осей х и у). Определите: 1) уравнение траектории точки у (х); 2) форму траектории.

[1) ; 2) парабола]

1.3.3. Большой шкив ременной передачи имеет радиус R ₁ = 32 см и вращается с частотой n ₁ = 120 об/мин. Радиус малого шкива R ₂ = 24 см. Найдите угловую скорость малого шкива, число его оборотов в минуту и линейную скорость точек ремня.

[16.7 рад/с; 160 об/мин; 4 м/с]

1.3.4. Диск радиусом r = 20 см вращается согласно уравнению φ = A + Bt + Ct ³, где А = 3 рад; В = -1 рад/с; С = 0.1 рад/с³. Определите тангенциальное а _τ, нормальное a_n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

[1.2 м/с²; 168 м/с²; ≈ 168 м/с²]

1.3.5. Груз массой m = 10³ кг поднимают при помощи троса вертикально вверх. В течение первых Δ t = 2 c равноускоренного движения груз подняли на высоту h = 10 м. Определите удлинение троса в этот момент времени, если коэффициент жесткости троса равен k = 10⁶ Н/м. Деформацию считать упругой. Массой троса и сопротивлением воздуха пренебречь.

[1.4 см]

1.3.6. В пружинном ружье пружина сжата на х ₁ = 20 см. При взводе ее сжали еще на х ₂ = 30 см. С какой скоростью v вылетит из ружья стрела массой m = 50 г, если жесткость k пружины равна 120 Н/м?

[22.5 м/с]

1.3.7. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид φ = A + Bt ² + Ct ³, где В = 4 рад/с²; С = - 1 рад/с³. Найдите закон изменения момента сил, действующих на шар. Определите момент сил М в момент времени t = 2 с.

[0.64 Н·м]

1.3.8. Определите линейную скорость v центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.

[3.74 м/с]

 

Вариант № 4

1.4.1. С аэростата, находящегося на высоте h = 300 м, упал камень. Через какое время t камень достигнет земли, если: а) аэростат поднимается со скоростью v = 5 м/с; б) аэростат опускается со скоростью v = 5 м/с; в) аэростат неподвижен.

[8.4 с; 7.3 с; 7.8 с]

1.4.2. С балкона бросили мячик вертикально верх с начальной скоростью v ₀ = 5 м/с. Через t = 2 с мячик упал на землю. Определите высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

[9.62 м; 14.6 м/с]

1.4.3. Точка движется по окружности радиусом R = 15 см с постоянным тангенциальным ускорением а _τ. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки v ₁ = 15 см/с. Определите нормальное ускорение a_{n 2} точки через t ₂ = 16 с после начала движения.

[1.5 см/ с²]

1.4.4. Линейная скорость v ₁ точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на Δ R = 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость v ₂ = 2 м/с. Определите частоту вращения n диска.

[1.59 с^-1]

1.4.5. Диск радиусом R = 40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения μ = 0.4. Найдите частоту n вращения, при которой кубик соскользнет с диска.

[0.5 с^-1]

1.4.6. Тело массой m ₁ = 2 кг движется навстречу второму телу массой m ₂ = 1.5 кг и неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были v ₁ = 1 м/c и v ₂ = 2 м/с. Какое время t будут двигаться эти тела после удара, если коэффициент трения k = 0.05?

[0.58]

1.4.7. Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой n ₁ = 6 мин^-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 80 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кг·м². Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

[10 мин^-1]

1.4.8. Найти скорость v протона, если его кинетическая энергия равна: 1) Е _к = 1 МэВ; 2) Е _к = 2 ГэВ.

[13.8 Мм/с; 263 Мм/с]

 

Вариант № 5

1.5.1. Тело падает с высоты h = 19.6 м без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за n -ую секунду своего падения, за последнюю секунду?

[ , где t ₀ = 1 c; 15 м]

1.5.2. Материальная точка начинает движение в момент времени t = 0 и движется вдоль оси ОХ так, что ее координата зависит от времени по закону x = 1 + 2 t – t ² [м]. Определите путь, пройденный точкой за Δ t = 3 с после начала движения.

[5 м]

1.5.3. Две материальные точки начинают одновременно двигаться по окружности радиусом R = 2 м, так что углы поворота изменяются с течением времени по законам φ₁ = 2 + 2 t [рад], φ₂ = -3 – 4 t [рад]. Определите величину скорости одной точки относительно другой в момент их встречи.

[12 м/с]

1.5.4. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N = 50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от n ₁ = 4 с^-1 до n ₂ = 6 c^-1. Определите угловое ускорение ε колеса.

[1.26 рад/с²]

1.5.5. Груз, привязанный к нити длиной l = 1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определите период Т обращения, если нить отклонена на угол φ = 60 ° от вертикали.

[1.42 с]

1.5.6. Под действие постоянной силы F вагонетка прошла путь s = 5 м и приобрела скорость v = 2 м/с. Определите работу А силы, если масса m вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения μ = 0.01.

[996 Дж]

1.5.7. Через неподвижный блок массой m = 0.2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m ₁ = 0.3 кг и m ₂ = 0.5 кг. Определите силы натяжения Т ₁ и Т ₂ шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

[3.53 Н; 3.92 Н]

1.5.8. Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку v = 10 см/с, после удара u = 8 см/с. Найдите количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о стенку.

[2.51 Дж]

 

Вариант № 6

1.6.1. Точка движется со скоростью , b = 1 м/с². Найдите: а) модуль скорости точки в момент времени t = 1 c; б) ускорение точки  и его модуль ; в) путь S, пройденный точкой с момента времени t ₁ = 2 c до момента t ₂ = 3 c.

[5.4 м/с; 5.4 м/с²; 13.5 м]

1.6.2. Мотоциклист едет из одного города в другой. Первые Δ t ₁ = 2 ч пути он движется с постоянной скоростью v ₁ = 60 км/ч, а оставшиеся Δ S = 160 км – со скоростью v ₂ = 80 км/ч. Определите среднюю путевую скорость мотоциклиста между городами.

[70 км/ч]

1.6.3. Автомобиль движется равномерно и прямолинейно по шоссе со скоростью v = 72 км/ч. Определите наибольшую и наименьшую скорости точек на ободе его колеса относительно поверхности дороги.

[144 км/ч; 0]

1.6.4. Угол поворота колеса радиусом R = 10 cм изменяется с течением времени по закону φ = 4 + 2 t – t ² [рад]. Определите зависимости от времени угловой скорости и углового ускорения колеса, а также линейной скорости точек на его ободе.

[2 – 2 t [рад/с]; -2 рад/с²; 0.2(1 – t) м/с]

1.6.5. Определите, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

[0.9 R ]

1.6.6. Шар массой m ₁ = 10 кг, движущийся со скоростью v ₁ = 4 м/с, сталкивается с шаром массой m ₂ = 4 кг, скорость v ₂ которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найдите скорость v шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстречу друг другу.

[6.3 м/с; - 0.57 м/с]

1.6.7. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы его продольные размеры стали меньше в 2 раза?

[510 кВ]

1.6.8. Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг·м², начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Н·м. Вращение продолжалось в течение t = 10 с. Определите кинетическую энергию Е, приобретаемую маховиком.

[500 Дж]

 

Вариант № 7

 

1.7.1. Найдите скорость v относительно берега реки: а) лодки, идущей по течению; б) лодки, идущей против течения; в) лодки, идущей под углом α = 90 ° к течению. Скорость течения реки u = 1 м/с, скорость лодки относительно воды v ₀ = 2 м/с.

[3 м/с; 1 м/с; 2.24 м/с]

1.7.2. Материальная точка движется вдоль оси ОХ так, что ее координаты зависят от времени по закону х = 5 – 2 t [м]. Определите положение точки в момент времени t = 4 с, а также вектор перемещения и пройденный точкой путь за 0 ≤ Δ t ≤ 4 с.

[-3 м; -8  м; 8 м]

1.7.3. Определите линейную скорость v и центростремительное ускорение а_ц точек, лежащих на земной поверхности: 1) на экваторе; 2) на широте Москвы (φ = 56 °).

[1) 463 м/с; 3.37 см/с²; 2) 259 м/с; 1.88 см/с²]

1.7.4. Большой шкив ременной передачи имеет радиус R ₁ = 32 см и вращается с частотой n ₁ = 120 об/мин. Радиус малого шкива R ₂ = 24 см. Найдите угловую скорость малого шкива, число его оборотов в минуту и линейную скорость точек ремня.

[16.7 рад/с; 160 об/мин; 4 м/с]

1.7.5. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость v ракеты равна первой космической скорости?

[ h = R ]

1.7.6. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой m ₁ = 5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью v ₂ = 1 м/с. Масса конькобежца m ₂ = 60 кг. Определите работу А, совершенную конькобежцем при бросании гири.

[390 Дж]

1.7.7. Две гири с разными массами соединены нитью перекинутой через блок, момент инерции которого J = 50 кг·м² и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока М _тр = 98.1 Н·м. Найдите разность сил натяжения нити Т ₁ – Т ₂ по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением ε = 2.36 рад/с². Блок считать однородным диском.

[1.08 Н]

1.7.8. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R = 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0.4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь s = 1.8 м за время t = 3 с. Определите момент инерции J маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

[0.0235 кг·м²]

 

Вариант № 8

1.8.1. Пуля пущена с начальной скоростью v ₀ = 200 м/c под углом α = 60 ° к горизонту. Определите максимальную высоту Н подъема, дальность s полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

[1.53 км; 3.53 км; 1.02 км]

1.8.2. Точка двигалась в течение t ₁ = 15 с со скоростью v ₁ = 5 м/с, в течение t ₂ = 10 с со скоростью v ₂ = 8 м/с и в течение t ₃ = 6 c со скоростью v ₃ = 20 м/с. Определите среднюю путевую скорость < v > точки.

[8.87 м/с]

1.8.3. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости ω = 20 рад/с через N = 10 оборотов после начала вращения. Найдите угловое ускорение ε колеса.

[3.2 рад/с²]

1.8.4. Велосипедное колесо вращается с частотой n = 5 с^-1. Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени Δ t = 1 мин. Определите угловое ускорение ε и число N оборотов, которое сделает колесо за это время.

[0.523 рад/с²]

1.8.5. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность ρ = 3 г/см³. Определите ускорение свободного падения g на поверхности планеты.

[0.21 м/с²]

1.8.6. Спутник поднимают на высоту h = 6370 км и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определите отношение работ на поднятие (А ₁) и на запуск (А ₂) спутника.

[2]

1.8.7. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m ₁ = 100 г и m ₂ = 110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

[0.24 м/с²]

1.8.8. Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А ₁ нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n = 10 с^-1? Какую работу А ₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

[7.11 кДж; 28.4 Дж]

 

Вариант № 9

 

1.9.1. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью v ₁ = 60 км/ч, остальную часть пути – со скоростью v ₂ = 80 км/ч. Какова средняя путевая скорость < v > автомобиля?

[64 км/ч]

1.9.2. Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного ими пути задается уравнением s ₁ = At + Bt ² и s ₂ = Ct + Dt ² + Ft ³. Определите относительную скорость автомобилей.

[ A – C + 2(B – D) t – 3 Ft ²]

1.9.3. Вал вращается с частотой n = 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением ε = 3 рад/с². Через какое время t вал остановится? Найдите число оборотов вала до остановки.

[6.3 с; 9.4 об]

1.9.4. Материальная точка движется так, что ее радиус-вектор зависит от времени по закону  [см]. Найдите радиус кривизны траектории в момент времени t = 2 с.

[1.52 м]

1.9.5. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на высоте h = 3.6 Мм. Определите линейную скорость v спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли считать известными.

[6.33 км/с]

1.9.6. Вычислить работу А ₁₂ сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой m = 10 кг из точки 1 в точку 2 (см. рис.). Радиус R Земли и ускорение g свободного падения вблизи поверхности Земли считать известными.

[104 МДж]

 

1.9.7. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2.4 м и массой 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается с частотой n ₁ = 1 с^-1. С какой частотой n ₂ будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м².

[0.61 с^-1]

1.9.8. Две гири с разными массами соединены нитью перекинутой через блок, момент инерции которого J = 50 кг·м² и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока М _тр = 98.1 Н·м. Найдите разность сил натяжения нити Т ₁ – Т ₂ по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением ε = 2.36 рад/с². Блок считать однородным диском.

[1.08 Н]

Вариант № 10

1.10.1. Точка двигалась в течение t ₁ = 15 с со скоростью v ₁ = 5 м/с, в течение t ₂ = 10 с со скоростью v ₂ = 8 м/с и в течение t ₃ = 6 c со скоростью v ₃ = 20 м/с. Определите среднюю путевую скорость < v > точки.

[8.87 м/с]

1.10.2. Движение точки по кривой задано уравнениями х = А ₁ t ³ и y = A ₂ t, где А ₁ = 1 м/с³, А ₂ = 2 м/с. Найдите уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t = 0.8 с.

[2.74 м/с; 4.8 м/с²]

1.10.3. Диск равномерно вращается вокруг своей оси так, что точки, расположенные на расстояниях R = 30 см от оси, за время t = 20 с проходят путь Δ S = 4 м. Сколько оборотов за это время сделал диск? Чему равен период обращения диска?

[2.1; 9.4 с]

1.10.4. Точка движется по окружности радиусом R = 15 см с постоянным тангенциальным ускорением а _τ. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки v ₁ = 15 см/с. Определите нормальное ускорение a_{n 2} точки через t ₂ = 16 с после начала движения.

[1.5 см/ с²]

1.10.5. Как велика сила F взаимного притяжения двух космических кораблей массой m = 10 т каждый, если они сблизятся до расстояния r = 100 м?

[667 пН]

1.10.6. Пружина жесткостью k = 1 кН/м была сжата на х ₁ = 4 см. Какую нужно совершить работу А, чтобы сжатие пружины увеличилось до х ₂ = 18 см?

[15.4 Дж]

1.10.7. Шар массой m = 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку v = 10 см/с, после удара u = 8 см/с. Найдите количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о стенку.

[2.51 Дж]

1.10.8. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 2 м, стоит человек массой m ₁ = 80 кг. Масса m ₂ платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найдите, с какой угловой скоростью ω будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью v = 2 м/с относительно платформы.

[0.4 рад/с]

Вариант № 11

1.11.1. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s = ct ³, где с = 0.1 см/с³. Найдите нормальное a_n и тангенциальное a _τ ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки v = 0.3 м/с.

[4.5 м/с²; 0.06 м/с²]

1.11.2. Тело брошено под углом α = 30 ° к горизонту. Найдите тангенциальное а _τ и нормальное а _n ускорения в начальный момент движения.

[4.9 м/с²; 8.49 м/с²]

1.11.3. Большой шкив ременной передачи имеет радиус R ₁ = 32 см и вращается с частотой n ₁ = 120 об/мин. Радиус малого шкива R ₂ = 24 см. Найдите угловую скорость малого шкива, число его оборотов в минуту и линейную скорость точек ремня.

[16.7 рад/с; 160 об/мин; 4 м/с]

1.11.4. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения n = 50 с^-1, после выключения тока, сделав N = 628 оборотов, остановился. Определите угловое ускорение ε якоря.

[12.5 рад/с²]

1.11.5. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом r = 4 м. С какой наименьшей скоростью v _min должен проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?

[6.26 м/с]

1.11.6. Пружина жесткостью k ₁ = 100 кН/м была растянута на х ₁ = 4 см. Уменьшая приложенную силу, пружине дают возможность вернуться в первоначальное состояние (нерастянутое). Затем сжимают пружину на х ₂ = 6 см. Определите работу А, совершенную при этом внешней силой.

[100 Дж]

1.11.7. Тонкий прямой стержень длиной l = 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол φ = 60 ° от положения равновесия и отпустили. Определите линейную скорость v нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.

[3.84 м/с]

1.11.8. В лабораторной системе отсчета (К -система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние l = 75 м. Скорость v пи-мезона равна 0.995 с. Определить собственное время жизни τ₀ мезона.

[25 нс]

 

Вариант № 12

1.12.1. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость v ₀ точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение а _τ = 1 м/с². Для момента времени t = 2 с определите: 1) длину пути s, пройденного точкой; 2) модуль перемещения ; 3) среднюю путевую скорость < >; 4) модуль вектора средней скорости .

[8 м; 6.73 м; 4 м/с; 3.36 м/с]

1.12.2. Материальная точка начинает движение в момент времени t = 0 и движется вдоль оси ОХ так, что ее координата зависит от времени по закону x = 2 + 6 t – 1.5 t ² [м]. Найдите величину скорости и ускорение точки в момент времени t = 3 с, а также среднюю путевую скорость за первые Δ t = 3 c после начала движения.

[- 3 м/с; 3 м/с²; 2.5 м/с]

1.12.3. Угол поворота колеса радиусом R = 10 cм изменяется с течением времени по закону φ = 4 + 2 t – t ² [рад]. Определите зависимости от времени угловой скорости и углового ускорения колеса, а также линейной скорости точек на его ободе.

[2 – 2 t [рад/с]; -2 рад/с²; 0.2(1 – t) м/с]

1.12.4. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 3 рад/с². Определите радиус колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса а = 7.5 м/с².

[79 см]

1.12.5. Шарик массой m = 300 г ударился о стенку и отскочил от нее. Определите импульс р ₁, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость v ₀ = 10 м/с, направленную под углом α = 30 ° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.

[3 Н·с]

1.12.6. С какой скоростью v вылетит из пружинного пистолета шарик массой m = 10 г, если пружина была сжата на х = 5 см. Жесткость k пружины равна  200 Н/м.

[7.07 м/с]

1.12.7. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0.1 кг·м², намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0.5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h ₀ = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найдите кинетическую энергию E _к груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением пренебречь.

[1.1 с; 0.81 Дж; 4.1 Н]

1.12.8. Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l = 2 м и высотой h = 10 см?

[4.04 с]

 

Вариант № 13

1.13.1. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки a_n = 4.9 м/с²; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол α = 60 °. Найдите скорость v и тангенциальное ускорение а _τ точки.

[7 м/с; 85 м/с²]

1.13.2. Мотоциклист едет из одного города в другой. Первые Δ t ₁ = 2 ч пути он движется с постоянной скоростью v ₁ = 60 км/ч, а оставшиеся Δ S = 160 км – со скоростью v ₂ = 80 км/ч. Определите среднюю путевую скорость мотоциклиста между городами.

[70 км/ч]

1.13.3. Найдите радиус вращающегося диска, если линейная скорость точки, лежащей на ободе, в n = 2.5 раз больше линейной скорости точки, лежащей на расстоянии d = 5 см ближе к оси диска. Во сколько раз отличаются ускорения этих точек?

[8.33 м; 2.5]

1.13.4. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = At ² (A = 0.1 рад/с²). Определите полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент равна 0.4 м/с.

[0.256 м/с²]

1.13.5. На столе стоит тележка массой m ₁ = 4 кг. К тележке привязан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускорением а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура привязать гирю массой m ₂ = 1 кг?

[1.96 м/с²]

1.13.6. На рельсах стоит платформа, на которой в горизонтальном положении закреплено орудие без противооткатного устройства. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного пути. Масса m ₁ снаряда равна 10 кг и его скорость v = 1 км/с. Масса m ₂ платформы с орудием и прочим грузом равна 20 т. На какое расстояние l откатится платформа после выстрела, если коэффициент сопротивления μ = 0.002?

[6.37 м]

1.13.7. Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг·м², начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Н·м. Вращение продолжалось в течение t = 10 с. Определите кинетическую энергию Е, приобретаемую маховиком.

[500 Дж]

1.13.8. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость v ₁ = 0.4 c. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью v ₂ = 0.75 с относительно ускорителя. Найти скорость u ₂₁ частицы относительно ядра.

[0.5 с ]

 

Вариант № 14

1.14.1. Движение точки по кривой задано уравнениями х = А ₁ t ³ и y = A ₂ t, где А ₁ = 1 м/с³, А ₂ = 2 м/с. Найдите уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени t = 0.8 с.

[2.74 м/с; 4.8 м/с²]

1.14.2. Скорость течения реки v = 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды v ₁ = 6 км/ч. Определите, под каким углом относительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки.

[60 °]

1.14.3. Колесо радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением φ = a + bt ² + ct ³, где a, b, c – константы; b = 2 рад/с², с = 1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найдите через время t = 2 с после начала движения: а) угловую ω и линейную v скорости, б) нормальное a_n и тангенциальное а _τ ускорения, в) угловое ускорение ε.

[20 рад/с; 2 м/с; 40 м/с²; 1.6 м/с²; 16 рад/с²]

 

1.14.4. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 3 рад/с². Определите радиус колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса а = 7.5 м/с².

[79 см]

1.14.5. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами m ₁ = 1.5 кг и m ₂ = 3 кг. Каково будет показание весов во время движения грузов? Массой блока и шнура пренебречь.

[39.2 Н]

1.14.6. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком. В песок попадает снаряд, летевший вдоль рельсов, и застревает в нем. В момент попадания снаряда его скорость равна v = 400 м/с и направлена сверху вниз под углом α = 30 ° к горизонту. Какую скорость приобрела платформа? Масса платформы с песком М = 5 т, масса снаряда m = 10 кг.

[0.69 м/с]

1.14.7. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m ₁ = 100 г и m ₂ = 110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

[0.24 м/с²]

1.14.8. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время t = 1 мин частоту вращения от n ₁ = 300 об/мин до n ₂ = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2 кг·м². Найдите угловое ускорение ε колеса, момент сил торможения М, работу А сил торможения и число оборотов N, сделанных колесом за время t = 1 мин.

[-0.21 рад/с²; 0.42 Н·м; 630 Дж; 240 об]

 

Вариант № 15

1.15.1. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии s = 40 м от основания вышки. Определите начальную v ₀ и конечную v скорости камня.

[20 м/c; 28 м/с]

1.15.2. Тело, брошенное вертикально вверх, через промежуток времени, равный половине времени подъема на максимальную высоту, находилось на высоте h = 9 м над точкой броска. На какую максимальную высоту поднималось тело при движении? Сопротивлением воздуха пренебречь.

[12 м]