Вычисление площадей плоских фигур

 

Вычисление площади в декартовой системе координат.

Если на отрезке  непрерывная функция , то определенный интеграл на этом отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , т.е.  (см. рис. 4).

Рис.4.

Если график расположен ниже оси Ох, т.е. <0, то  и для площади можно записать: (см. рис. 5).

Рис. 5.

Объединяя обе формулы, получим: .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Рис. 6

    Искомая площадь (заштрихована на рисунке 6) может быть найдена по формуле:

 (кв.ед).

 

Вычисление площади в случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями

Пусть кривая  задана параметрическими уравнениями

 , где , и .

Построив кривую в декартовой системе координат для вычисления площади запишем формулу

= .

 

Вычисление площади в полярной системе координат

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид , где r - длина радиус–вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус–вектора к полярной оси (см. рис.7).

Рис. 7.

    Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

Пример. Найти площадь круга, ограниченного окружностью  (см. рис.8).

Рис.8.

.

 

Вычисление длины дуги кривой

Рис. 9

Определение. Длиной  дуги  называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится к нулю.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как  (см. рис.9). Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений имеем:

.

Переходя к пределу, получим .

Окончательно можно записать

.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем

,

где .

    Если задана пространственная кривая, где , то

    Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f (j).

Пример. Найти длину окружности, заданной уравнением  (см. рис. 10).

Рис. 10

Запишем данное уравнение в полярной системе координат, положив .

Тогда получим: . Т.е. функция ,  и для длины окружности можно записать:

 

Вычисление объемов тел

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений

Рис. 11.

 

    Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела S известна как непрерывная функция S = S (x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х _i разбиения отрезка [ a, b ] (см. рис. 11). Так как на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [ x_{i -1}, x_i ] функция S (x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

    Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_i D x_i и m_i D x_i, при этом D x_i = x_i - x_{i -1}.

    Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно  и .

    При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

    Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию S (x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример. Найти объем шара радиуса R.

Рис. 12.

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса . В зависимости от текущей координаты  этот радиус выражается по формуле  (см. рис.12).

Тогда функция площадей сечений имеет вид: S (x) = .

Получаем объем шара:

.

 

Объем тел вращения

    Рассмотрим кривую, заданную уравнением . Предположим, что функция  непрерывна на отрезке . Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основанием  вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

Рис. 13.

Так как каждое сечение тела плоскостью  представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть найден по полученной выше формуле: