Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление определенного интеграла
Интеграл с переменным верхним пределом Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Выберем на отрезке любое значение и рассмотрим интеграл в пределах от до : (см. рис. 2). Рис. 2 Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла, так как определенный интеграл – это число, связанное с пределами интегрирования. Обозначим = . Определение: Функция называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Теорема: Если функция непрерывна на отрезке и = , то справедливо равенство: или . Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. Замечание. Таким образом, можно утверждать, что всякая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразные, одной из которых является функция .
Теорема Ньютона-Лейбница Теорема: Если функция – какая- либо первообразная от непрерывной функции , то (5) Это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. Доказательство: Пусть – первообразная функции . Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от . Но так как функция может иметь бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга только на некоторое постоянное число С, то можно записать . Это равенство справедливо для любого из рассматриваемого интервала. Положим : . Следовательно, , то есть . Тогда можно записать . Полагая в этом равенстве , получим: Заменив переменную t на переменную , получаем формулу Ньютона – Лейбница: Теорема доказана. Иногда применяют обозначение двойной подстановки . При вычислении определенных интегралов используются те же приемы и методы, которые были изучены при нахождении неопределенных интегралов. Примеры. Вычислить следующие интегралы: 1. 2. 3. 4.
Замена переменной в определенном интеграле Теорема: Пусть дан интеграл , где функция непрерывна на отрезке . Введем новую переменную t по формуле . Если при этом: 1) j (a) = а, j (b) = b (т.е. при изменении значения функции не выходят за интервал ), 2) j (t) и j ¢(t) непрерывны на отрезке [ a, b ], 3) сложная функция f (j (t)) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ], то
(6) Тогда Замечание 1. При вычислении определенного интеграла по формуле (6) не надо возвращаться к старой переменной, т.к. уже получено числовое значение интеграла. Пример. = = = . Замечание 2. При замене переменной в определенном интеграле следует следить за непрерывностью вводимой функции на рассматриваемом отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду. Например, , Применим к этому интегралу тригонометрическую подстановку, получим . Таким образом, два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что введенная функция имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. Интегрирование по частям в определенном интеграле Если функции и непрерывны на отрезке и имеют на этом отрезке непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: (7) Пример. = = = = =
Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно нуля Теорема. Определенный интеграл с противоположными пределами интегрирования от непрерывной нечетной функции равен нулю, т.е. . Доказательство. Пусть - непрерывная нечетная функция, определенная на отрезке . Вычислим интеграл В первом из интегралов сделаем замену переменных, положив . Тогда, учитывая нечетность функции , получим Теорема. Определенный интеграл с противоположными пределами интегрирования от непрерывной четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по правой (левой) половине отрезка интегрирования, т.е. . Доказательство теоремы аналогично предыдущему.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассматривается расширение понятия определенного интеграла по двум направлениям: 1) пределы интегрирования уходят в бесконечность; 2) интегрирование на конечном отрезке функций, имеющих разрыв 2-го рода.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 99; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.109.151 (0.009 с.) |