Изучение размерного эффекта в тонких металлических пленках

 

Цель работы: изучение процесса токопереноса в тонких, сплошных металлических пленках и определение параметров, характеризующих явление размерного эффекта.

 

 теоретические сведения

Проводимость сплошных металлических пленок подчиняется закономерностям, которые присущи процессам токопереноса в массивных образцах. Теория электропроводности металлов была создана учеными П. К. Л. Друде, Г. А. Лоренцом, А. И. В. Зоммерфельдом. Выражение для электро-проводности вырожденного электронного газа имеет вид

 ,                                                      (5.1)

 

где n – концентрация свободных носителей заряда в единичном объеме;

e – заряд электрона;

l_F – длина свободного пробега электрона проводимости на уровне (или вблизи уровня) Ферми;

m – масса электрона;

v – скорость движения электрона на фермиевской поверхности.

Особенностью процессов токопереноса в тонких пленках в отличие от массивных образцов является проявление так называемого размерного эффекта.

Если толщина металлической пленки сравнима по величине с длиной свободного пробега электрона, то на движение последнего накладываются геометрические ограничения. Физические эффекты, возникающие из-за геометрического ограничения длины свободного пробега, называются, «размерными» эффектами.

Впервые теорию размерного эффекта выдвинул Дж. Дж. Томсон для объяснения наблюдаемого им на опыте более высокого удельного сопротивления тонких пленок по сравнению с массивными образцами.

Теория размерного аффекта для модели свободных электронов в предположении сферичности поверхности Ферми была разработана Э. Ю. К. Фуксом [1]. Теоретически размерный эффект рассматривается на основе известного в статистической физике кинетического уравнения Больцмана. Оно описывает стационарное распределение носителей тока в образце, которое устанавливается при наложении электрического поля в результате соударения носителей и рассеяния их на границах образца.

     Для одномерной металлической пленки толщиной d с осью z, перпенди­кулярной пленке, уравнение можно записать в виде

 

 ,                                                            (5.2)

где f ₀– равновесная функция распределения электронов;

   f₁ – дополнительная функция, зависящая от скорости движения электрона и координаты.

Таким образом, при наличии размерных эффектов в уравнении (5.2) появля­ются члены, зависящие от координат, т. к. распределение электронов про­водимости в пространстве будет неоднородным.

Указанная теория дает сложную зависимость между удельным сопротивле­нием и ее толщиной. Однако формула эффекта существенно упрощается для двух крайних случаев:

1) толщина пленки d значительно меньше длины свободного пробега электронов, т. е. d / l <<1;

2) толщина пленки d значительно больше длины свободного пробега электрона, т. е. d / l >>1.

Решение уравнения Больцмана проводится с учетом граничных условий:

1) каждый свободный пробег электрона заканчивается столкновением с поверхностью;

2) функция распределения электронов, покидающих поверхность, не зависит от направления;

3) релаксационный процесс на поверхности протекает также как и в объеме.

Первое условие соответствует модели диффузного рассеяния, т. е. протекающего с полной потерей дрейфовой составляющей скорости. Введя обозначение  и сделав ряд математических преобразований, получим формулу размерного эффекта для этих двух случаев:

, дляγ >> 1,                             (5.3)

и

, дляγ << 1  ,                       (5.4)

где  – удельная электропроводность (сопротивление) массивного образца;

     – удельная электропроводность (сопротивление) пленки.

Диффузное рассеяние – идеальный случай. На практике часто наблюдается зеркальное рассеяние на поверхности части электронов. Если обозначить через m  часть электронов, которые зеркально рассеиваются на поверхности с обращением знака компоненты скорости в направлении оси z, то величина 1– m будет представлять часть электронов, рассеиваемых диффузно.

С учетом величины m, получаем

 

, для ,                                   (5.5)

и

, для , m <1.                  (5.6)

 

Соотношение (5.6) справедливо только для малых значений m и γ < 0,1.

Как показывают расчеты, уравнение (5.5) с достаточной степенью точности справедливо для значений γ вплоть до 0,1.

Электроны проводимости рассеиваются в пленке не только на ее поверхностях и решетке, но также на различных дефектах кристаллической структуры и примесях. В общем случае можно записать

ρ = ρ_р + ρ_п + ρ_д .                                               (5.7)

В выражении 5.7 слагаемые представляют собой вклады в общее сопротивление соответственно за счет рассеяния на решетке, на поверхностях пленки и на дефектах кристаллической структуры. Величина ρ_д очень сильно зависит от параметров процесса нанесения пленки и в определенных случаях может значительно превышать ρ_р и ρ_п. Это особенно важно учитывать в том случае, если пленка чувствительна к процессам окисления и загрязнения.

Теория Фукса применима только в том случае, если зависимость проводимости пленки от толщины обусловлена ограничением длины свободного пробега геометрическими размерами.

Обработка экспериментальных результатов при изучении размерного эффекта может проводиться различными способами. Обычно заранее полагают m = 0 и определяют l из уравнения (5.5) экспериментально, снимая зависимость ρ d = f (d). Однако значения длины свободного пробега в этом случае поучаются заниженными. Для одновалентных металлов со сферичной поверхностью Ферми возможно, одновременно обрабатывая уравнения (5.5) и (5.6), оценить значения длины свободного пробега l, параметры зеркальности   m и концентрация электронов n_e [1]. Для таких металлов уравнения (5.5) и (5.6) переписываются в виде

                           , γ >> 1,                   (5.8)

, γ << 1.                             (5.9)

Уравнение (5.8) при значении γ < 0,5 дает отклонение порядка нескольких процентов, а уравнение (5.9) при γ > 5 имеет погрешность порядка 0,01 %. Определение параметров размерного эффекта осуществляется путем измерения удельного сопротивления ρ пленок в широком диапазоне толщин. Измеряя ρ и d пленок, строят зависимость

                                                       1/ρ d = f (lg d).                                         (5.10)

График такой зависимости должен представлять собой кривую с выраженным прямолинейным участком (рис. 5.1). Из точки А, полученной пересечением прямой с осью абсцисс, определяется значение l, т. к. согласно уравнению (5.8) его левая часть будет равна нулю. Тогда будет выполняться соотношение

                                                   (5.11)

откуда и находится величина l.

 

Рис. 5.1. Зависимость 1/ρ d = f (lg d) 

                                       

Далее строится зависимость ρ d = f (d) (рис. 5.2). В точке В (пересечение прямой с осью абсцисс) величина ρ d = 0. Поэтому приравняв левую часть уравнения (5.9) нулю, получим

.                                           (5.12)

Подставляя в формулу (5.12) определенную ранее величину l находим значение величины m.

 

Рис. 5.2. Зависимость ρ d = f (d)