Комплексная математическая модель всеазимутальной РН

 

Комплексность математической модели обусловлена следующими причинами.

1. На ранних этапах работы при наличии большого количества альтернатив объем информации об исследуемом объекте минимален и ограничен его внешними обводами, параметрами завязки конструкции (стартовой тяговооруженностью, нагрузкой на крыло, типом ДУ) и начальным приближением программ управления. На основе этих исходных данных необходимо определить аэродинамические и массово-центровочные характеристики исследуемого ЛА, например КРБ, его тепловые режимы и параметры ДУ, и только затем приступить к моделированию полета и анализу полученных результатов.

2. Взаимосвязь частных математических моделей базируется на общности используемых исходных данных. Например, внешние обводы служат основой для расчета аэродинамических характеристик, массово-центровочной сводки и тепловых режимов КРБ, а данные по аэродинамике, массовым параметрам и характеристикам ДУ, в свою очередь, используются динамической моделью для расчета вектора равнодействующей внешних сил при моделировании движения центра масс.

3. Выводы и рекомендации, выработанные на этапе баллистического проектирования,  не должны существенным образом изменяться на более поздних этапах проектирования и конструирования. Это делает невозможным проведение "чистой" оптимизации отдельных структурных или функциональных элементов, например, программ управления КРБ, без оценки того, насколько полученные программы согласуются с существующей аэродинамикой или отведенными лимитами массы конструкции системы спасения; компонуется ли КРБ при имеющихся внешних обводах с РН, стартовым устройством и пр.

Процесс построения комплексной математической модели включает в себя:

-формальное описание объекта исследований, полнота которого зависит от требований к точности прогнозирования его характеристик;

-установление функциональной связи между независимыми (фиксированными для исследуемого варианта ЛА) и зависимыми параметрами;

-математическое описание объекта исследований с помощью систем уравнений, т.е. создание его статической и динамической моделей;

-программную реализацию комплексной математической модели.

Рассмотрим комплексную математическую модель всеазимутальной РН, используемую на этапах согласования и оптимизации проектно-баллистических параметров и управления.  Комплексная модель включает в себя модель движения (динамическую модель), модели двигательной установки, комплекса автономного управления (КАУ),  аэродинамическую модель, а также методики расчета тепловых режимов КРБ, массовых сводок систем и агрегатов одноразовой ступени и системы спасения КРБ.  

Динамическая модель

Основой комплексной математической модели всеазимутальной РН является динамическая модель, описывающая движение РН и ее составных элементов: ракетных блоков и отделяющихся частей на различных этапах полета и объединяющая результаты расчетов, которые выполняются в рамках других моделей.

С точки зрения динамики полета наибольший интерес представляет КРБ,  сочетающий  «ракетную»  схему выведения в составе  РН, а также управляемый, «по-самолетному», планирующий полёт на участке манёвра возврата и «моторный» (с помощью вспомогательной воздушнореактивной двигательной установки) крейсерский полёт в атмосфере на дозвуковой скорости. Причем, если участок крейсерского полета по режимам движения и нагружению конструкции идентичен полету дозвукового неманевренного самолета, то участок маневра возврата имеет существенные отличия как от участка спуска орбитального самолета, так и от режимов движения обычных самолетов.

На этапе баллистического проектирования при исследовании вопросов динамики полета основное внимание уделяется анализу уравнений движения центра масс. При этом, в связи с трудностью получения в процессе синтеза облика ЛА значений демпфирующих аэродинамических моментов, собственных моментов инерции, определяемых по результатам углубленной проработки проекта и экспериментальных исследований, динамические уравнения движения ЛА относительно центра масс заменяются статическими уравнениями моментов внешних сил, предусматривающих взаимную компенсацию на заданном угле атаки моментов относительно центра масс от аэродинамической силы и силы тяги ДУ, отклонённой на соответствующий балансировочный угол.

Общий вид уравнений движения определяется выбором системы координат, в проекции на оси которой они записываются, а также полнотой учета сил и моментов, действующих на КРБ в полете и при движении по взлётно-посадочной полосе (ВПП) при посадке. В этой системе координат (рис.1) положение центра масс определяется сферическими координатами: радиусом-вектором, а также геоцентрической широтой и долготой r, , ,связанными с базовой прямоугольной системой координат, а его вектор скорости - модулем скорости V, углом наклона к плоскости местного горизонта  и курсовым углом , т.е. углом между местной параллелью и проекцией вектора скорости на плоскость местного горизонта. Причем векторы ускорения и равнодействующей внешних сил проектируются на направления касательной к траектории, нормали, лежащей в плоскости векторов  и , и нормали к этой плоскости.

Система дифференциальных уравнений, описывающих движение центра масс КРБ в сферически-скоростной системе координат, связанной с вращающейся Землей, имеет следующий вид:

 ;

;                                                      (1)

;

;

;

,

где проекции векторов кориолисовой  и переносной сил  вычисляются с помощью уравнений

 

где проекции векторов кориолисовой  и переносной сил  вычисляются с помощью уравнений (2) и (3).

=0;

;                                                         (2)

;

и

;

;               (3)

.

 

При этом в отличие от традиционного варианта записи системы уравнений движения в сферически-скоростной системе координат, приведенная система уравнений адаптирована к решению задач моделирования маневра возврата и крейсерского полета КРБ, длительное время летящего с дозвуковой скоростью, путем учета меридиональной и широтной  ветровых составляющих.

Рис.1 Сферически-скоростная система координат

 

В качестве исходных данных при анализе влияния ветровых составляющих на изменение параметров траектории используется зимнее высотное распределение профиля ветра для района космодрома Плесецк, приведенное на рис.2.

Следует также обратить внимание на то, что орты , ,  образуют левую тройку векторов. Такая ориентация была выбрана с целью согласования параметров , ,  (положительному углу крена в этом случае соответствует положительное приращение курсового угла и широты).

При моделировании пространственного движения ЛА будем считать, что вектор равнодействующей внешних сил (рис.3) включает в себя:

-силу притяжения Земли, ;

-равнодействующую вектора аэродинамических сил, ;

-равнодействующую силы тяги ДУ, .

Определим проекции этих сил на оси сферически-скоростной системы координат. Сила притяжения зависит от выбранного варианта модели гравитационного поля Земли. Известно, что:

,               (4)

где u – гравитационный потенциал Земли.

В общем виде гравитационный потенциал Земли представляется в помощью бесконечного ряда, однако в процессе моделирования траектории полета РН при соблюдении приемлемой точности достаточно в разложении ограничиться тремя первыми членами, являющимися сферическими функциями нулевого, второго и четвертого порядков.

,                   (5)

где  - константы, а ,  - полиномы Лежандра второго и четвертого порядка, определяемые по формулам

                        ;

    .                    (6)

Оценим относительные величины кориолисова и центробежного  ускорений, а также вклад двух последних членов в формуле (5). Для этого рассмотрим две точки на траектории полета РН, стартующей с широты 45 град, которые соответствуют моментам отделения КРБ первой ступени (  =1800 м/с,  =53 км, =23 град) и сбросу головного обтекателя в антиподную точку (  =7520 м/с,  =115 км, =0.7 град).

Рис.2 Высотный профиль ветра

 

Расчеты показывают, что максимальные относительные величины: , , ,  не превосходят соответственно значений: 2.56, 2.45, 0.08 и 0.00046 % - в первом случае и 10.75, 2.47, 0.079 и 0.00044% - во втором. Поэтому на этапе баллистического проектирования с достаточной степенью точности нормальный потенциал Земли можно заменить следующим приближенным выражением

.                           (7)

С учетом этого определим составляющие ускорения силы притяжения в сферической системе координат

               

                                   (8)

                                                       

Воспользовавшись матрицей направляющих косинусов между сферической и скоростной системами координат, получаем

;

;                                        (9)

.

Найдем теперь составляющие равнодействующей вектора аэродинамических сил . В общем случае полную аэродинамическую силу в скоростной системе координат можно представить в виде трех составляющих:

-силы лобового сопротивления X;

-подъемной силы Y;

-боковой силы Z.

При моделировании полета ЛА в атмосфере примем ряд допущений:

-система управления обеспечивает ориентацию вектора скорости в плоскости тангажа;

-угловые скорости по углам атаки и крена малы, вследствие чего перекрестные аэродинамические связи между каналами тангажа, рыскания и крена отсутствуют;

-координаты центра масс и центра давления лежат в плоскости тангажа.

 

Рис.3 Схема сил, действующих на КРБ в полёте и при движении по ВПП

 

Перечисленные допущения позволяют при моделировании пространственного движения ЛА в атмосфере избежать учета его аэродинамических характеристик по углу скольжения и за счет этого сократить в два раза необходимый объем аэродинамических данных для ЛА типа крылатых ракетных блоков, не обладающих в отличие от обычных РН аэродинамической симметрией по углам  и .

Нецелесообразность использования программы управления по рысканию на атмосферном участке полета обуславливается также и чисто аэродинамическими причинами. Например, на участке маневра возврата КРБ, появление даже небольшого скольжения на умеренных углах атаки, нарушает симметрию вихревой системы вокруг корпуса КРБ, вследствие чего возникает значительная нестационарная боковая сила, вызывающая тряску КРБ и ухудшающая его путевую устойчивость и управляемость.

Спроектировав силу лобового сопротивления и подъемную силу на оси скоростной системы координат, получаем

                           ;

;                                  (10)

                            ,

где q – скоростной напор;

 - коэффициенты силы лобового сопротивления и подъемной силы, отнесенные к характерной площади;

 - скоростной угол крена (относительно местной вертикали).

Для вычисления характерной площади у крылатых ЛА обычно используют площадь крыла или квадрат размаха крыла. Однако на этапе оптимизации проектно-баллистических параметров КРБ, когда характеристики аэродинамических поверхностей изменяются в процессе расчетов, в качестве характерной площади  удобно пользоваться площадью миделя его корпуса, являющейся, как это вытекает из постановочной части задачи (предусматривающей у КРБ наличие одноразового прототипа), величиной постоянной.

Определим теперь проекции равнодействующей силы тяги двигательной установки . Считая, что на атмосферном участке полета управление ЛА производится отклонением вектора тяги в вертикальной плоскости связанной системы координат на угол , а на безатмосферном участке траектории, с целью обеспечения пространственного выведения, дополнительно на угол  в плоскости  имеем

- при управлении на атмосферном участке полета

                       ;

;                         (11)

                       ,

- при управлении на безатмосферном участке полета

                       ;

;                                       (12)

                       ,

где - эффективная тяга ДУ, определяемая как разность между идеальной тягой двигателя () и потерями (), обусловленными установкой двигателя на конкретный вариант ЛА, нерасчетными режимами работы ДУ и пр.

Наконец, последней составляющей вектора является сила реакции опор шасси ЛА, которую необходимо учитывать при моделировании крейсерского полета, заканчивающегося посадкой на аэродром. На этапе разбега или пробега по ВПП (рис. 3) на ЛА действуют:

-сила тяжести ;

-суммарная аэродинамическая сила ;

-сила тяги ДУ ;

-реакция поверхности ВПП на стойки шасси ;

-сила трения качения пневматиков шасси .

Нагрузки на носовую и главные стойки шасси (  и ) определяются путем решения системы линейных уравнений

 

;

            (13)

 

Последнее из уравнений представляет собой условие равенства моментов внешних сил относительно центра масс ЛА,

где ,  - коэффициенты трения качения (для сухого бетонного покрытия и незаторможенных колес: =0.04, для заторможенных: =0.25-0.30);

   - расстояние от поверхности ВПП до продольной оси ЛА при обжатых амортизаторах;

    – база и вынос колес главных стоек шасси относительно центра масс;

   - координаты ДУ и угол ориентации вектора тяги относительно продольной оси ЛА;

   - коэффициент подъемной силы и коэффициент момента тангажа относительно центра масс ЛА;

    - характерная длина ЛА;

    - координаты узла крепления тормозного парашюта в БСК;

    - коэффициент силы лобового сопротивления и площадь тормозного парашюта;

    - угол атаки.

    Сделав допущение о том, что поверхность ВПП плоская и не имеет уклона, при моделировании движения ЛА в процессе разбега или пробега, систему уравнений (3.1) можно заменить упрощенной системой, состоящей из двух дифференциальных уравнений

     (14)

Далее рассмотрим вопросы разработки методик расчета массово-центровочных характеристик РН и КРБ, составляющих внешних сил (аэродинамики и тяги двигательной установки), оценки тепловых режимов, а также создания базы данных аэродинамических характеристик ЛА.