Непрерывная случайная величина. Закон распределения. Плотность распределения вероятностей. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Закон распределения непрерывной случайной величины  удобно задавать с помощью функции  плотности распределения вероятностей. Вероятность  того, что значение, принятое случайной величиной , попадет в интервал , определяется равенством:

                                         (23)

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

                                               (24)

Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величины  с плотностью распределения вероятности  называется следующее число:

,                                              (22)

если этот интеграл сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание случайной величины  не существует.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется также, как и для дискретной случайной величины. Для непосредственного вычисления дисперсии используют формулы:

 или .                   (23)

Пример

Плотность распределения f (x) случайной величины X имеет вид:

 

 

Вычислить вероятность попадания случайной величины X в промежуток (2; 3).

Решение.

Вычислим вероятность попадания случайной величины X в промежуток (2; 3), используя формулу (23):

 

Ответ:

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина имеет нормальное или гауссовское распределение с параметрами  и , где  и  (пишут ), если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

,

для любого .

При  и , т.е. , нормальный закон распределения называется стандартным или нормированным.

Если случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами  и , то

 и .                                                 (24)

Найти вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами  и , в интервал  можно по формуле:

                                       ,                                 (25)

где  – функции Лапласа, значения которой определяются по таблице. При использовании таблицы необходимо учитывать, что функция  является нечетной и при  значения  считаются равными 0,5.

 

РЕШЕНИЕ ПРИМЕРНОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 6

Часть 1. Случайные события

Задача 1

Производится эксперимент: бросание шестигранного игрального кубика. Исследуются возможные исходы эксперимента – события:

А – выпадение грани с четным числом точек,

В – выпадение грани с числом точек, большим, чем 3,

С – выпадение грани с числом точек, меньшим, чем 5.

В результате одного бросания произошли все три события, т.е. произошло событие D.

Выразите событие D через   А, В и С. Изобразите эти события на диаграмме Эйлера-Венна.

Решение.

Событие D равно произведению событий А, В и С, т.к. они произошли одновременно, т. е. D = АВС.

Событие D – выпадение грани с четырьмя точками.

А·В·С= D

 

Ответы: а) D = АВС;  б) решение представлено на диаграмме.

Задача 2

По каналу связи независимо друг от друга передаются три сообщения. Вероятность того, что первое сообщение будет искажено равна 0,1, второе – равна 0,2, третье – равна 0,3. Найти вероятности следующих событий:  – все три сообщения переданы без искажения;  – ровно одно сообщение передано без искажения;  – хотя бы одно сообщение искажено.

Решение.

Введем в рассмотрение вспомогательные события:

 – 1-е сообщение передано без искажений,

 – 2-е сообщение передано без искажений,

 – 3-е сообщение передано без искажений,

 – 1-е сообщение искажено,

 – 2-е сообщение искажено,

 – 3-е сообщение искажено.

Согласно условию , тогда . Аналогично,  и ,  и .

Так как событие  можно представить в виде  и события  независимы, то вероятность события  можно найти по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

.

Событие  можно представить следующим образом:

,

причем слагаемые ,  и  являются попарно несовместными событиями. Поэтому на основании теоремы (6) о сложении вероятностей несовместных событий получаем:

.

Для вычисления вероятностей событий ,  и  используем теорему умножения вероятностей  независимых событий (9):

;

;

.

Таким образом, окончательно получаем:

.

События  и  являются противоположными, следовательно,

.

Ответы: , , .

Задача 3

    Студент едет в университет одним из трех автобусов: № 1, № 2 или № 3. Автобус № 1 ходит в 2 раза чаще, чем № 2, а № 2 – в 3 раза реже, чем № 3. Контролеры в этих автобусах встречаются с вероятностями 0,12; 0,06 и 0,1 соответственно.

       а) Следует ли студенту покупать билет стоимостью 40 руб., если штраф за безбилетный проезд составляет 500 руб.?

       б) В результате неудачного стечения обстоятельств студент попался контролеру. В автобусе с каким номером это скорее всего произошло?

Решение.

Пусть события  состоят в том, что студент сел в автобус № 1, № 2 или № 3 соответственно, а событие В – студент попался контролеру (все равно, в каком автобусе).

Вероятность события В найдем по формуле полной вероятности (10)

,

 где так называемые условные вероятности ,  и  - это вероятности того, что студент был пойман контролером в автобусах № 1, № 2 или № 3. В нашей задаче эти вероятности равны 0,12; 0,06 и 0,1 соответственно. Найдем вероятности событий . Пусть в час проходит в среднем  автобусов № 1, № 2, № 3. Из условия задачи , общее число автобусов в час . Тогда по классическому определению вероятности, используя формулу (4), получим

.

Подставив найденные значения в формулу полной вероятности (10), получим

.

Таким образом, при штрафе в 500 руб. студент будет в среднем за поездку платить штраф 500^.0,1= 50 руб., что при цене билета 40 руб. невыгодно.

       С помощью формулы Байеса оценим "апостериорные" вероятности  того, в каком автобусе ехал студент, если известно, что он попался контролеру.

;

; .

       Таким образом, студент, скорее всего, попался контролеру в автобусе №3.

Ответы: а) следует покупать билет;  б) в автобусе № 3.

 

Задача 4

Вероятность появления события А равна 0,8 и постоянна в каждом испытании. Какова вероятность того, что при 4 испытаниях событие А произойдёт не более двух раз, если испытания независимы?

Решение.

Так как рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью, то вероятность события, состоящего в том, что при n испытаниях событие А произойдёт ровно m раз можно найти, используя формулу Бернулли (12): . По условию задачи имеем: число испытаний , вероятность успеха , вероятность неудачи .

Пусть события  состоят в том, что событие А произойдет в 4 испытаниях 0, 1, или 2 раза соответственно. Тогда:

;

;

.

Обозначим  - событие, которое  нужно найти. Его можно представить через события  следующим образом:

,

причем слагаемые , и  являются попарно несовместными событиями. Поэтому на основании теоремы (6) сложения вероятностей несовместных событий получаем:

.

Ответ: 0,1808.

Часть 2. Случайные величины

Задача 5

Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,4. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют.

Задание:

а) составить закон распределения дискретной случайной величины  – числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела (в форме ряда распределения),

б) построить многоугольник распределения,

в) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ,

г) найти функцию распределения  и построить ее график.

Решение.

а) Случайная величина  может принимать 4 значения:

0 – если стрелок промахнулся 3 раза;

5 – если стрелок попал только один раз при трех выстрелах;

10 – если стрелок попал только 2 раза при трех выстрелах;

15 – если стрелок попал 3 раза.

Так как каждый выстрел можно рассматривать, как независимое испытание, в результате которого возможны только два исхода: попадание («успех») или промах («неудача»), то вероятности, соответствующие каждому значению случайной величины, можно найти по формуле Бернулли (12):

.

По условию задачи имеем: число испытаний , вероятность успеха , значения  будут изменяться от 0 до 3. Рассчитаем вероятности, соответствующие каждому значению случайной величины:

,

,

,

.

Составим закон распределения случайной величины  в виде следующего ряда распределения:

	0	5	10	15
	0,216	0,432	0,288	0,064

 

б) Построим многоугольник распределения. Для этого по оси абсцисс отложим возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие им вероятности и соединим точки (x_i, p_i) отрезками прямых. Полученная при этом ломаная линия и есть многоугольникраспределения вероятностей случайной величины .

Рис. 3. Многоугольник распределения вероятностей случайной величины

 

в) Рассчитаем числовые характеристики случайной величины .

Математическое ожидание вычисляем по формуле (17):

.

Дисперсия вычисляется по формуле (20):

.

Среднее квадратическое отклонение находим по формуле (22):

.

 

г) Найдем функцию распределения  по её определениию (16).

если , то

если  то

если то ;

 

если то ;

 

если , то  

Рис. 4.

На рисунке 4 представлен график функции

Ответы:

а) Ряд распределения случайной величины :

	0	5	10	15
	0,216	0,432	0,288	0,064

б) многоугольник распределения – на рисунке 3,

в) , , ,

г) функция распределения вероятностей

график функции распределения вероятностей - на рис 4.

Задача 6

Непрерывная случайная Х подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем

 

Требуется: найти математическое ожидание . дисперсию  и вероятность попадания случайной величины Х в промежуток (1; 2).

Решение.

Так как все значения случайной величины Х заключены в интервале (0; 3), то:

,

.

Так как промежуток (1; 2) содержится в промежутке (0; 3), то вероятность попадания случайной величины Х в промежуток (1; 2) можно вычислить по формуле (23):

.

Ответ: ; ; .

Задача 7. Непрерывная случайная величина  распределена по нормальному закону с математическим ожиданием  и дисперсией . Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, заключенное в интервале .

Решение.

Так как случайная величина  имеет нормальное распределение, то вероятность ее попадания в интервал можно найти по формуле (25). Учитывая, что по условию имеем: , , , , то получим:

.

По таблице значений функции Лапласа  находим: F(2)=0,4772, F(1)=0,3413. Значит, получаем: .

Ответ: .

 

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Классическое определение вероятности события.

2. Геометрическая вероятность события.

3. Относительная частота и статистическое определение вероятности.

4. Условная вероятность.

5. Зависимые и независимые события. Произведение событий и его свойства. Теоремы о вероятности произведения 2-х зависимых и 2-х независимых событий.

6. Совместные и несовместные события. Теоремы о вероятности суммы 2-х несовместных и 2-х совместных событий. Вероятность суммы n событий. Вероятность наступления хотя бы одного из n событий.

7. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез (формулы Байеса).

8. Независимые испытания по схеме Бернулли. Формула Бернулли.

9. Формула Пуассона.

10. Дискретные случайные величины. Функция распределения дискретной случайной величины.

11. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

12. Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случайной величины.

13. Плотность распределения непрерывной случайной величины, ее свойства.

14. Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Вычисление математического ожидания непрерывной случайной величины.

15. Дисперсия случайной величины, его свойства. Вычисление дисперсии дискретной и непрерывной случайных величин. Среднее квадратическое отклонение (СКО).

16. Нормальное распределение непрерывной случайной величины. Плотность распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону.

17. Вероятностный смысл параметров нормального распределения случайной величины.

18. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее связь с функцией Лапласа. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

19. Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания. Правило трех сигм.

20. Показательное распределение. Основные характеристики.

21. Равномерное распределение. Основные характеристики.

Приложение 1

Таблица значений функции Гаусса

x	...0	...1	...2	...3	...4	...5	...6	...7	...8	...9
0,0...	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1...	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2...	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3...	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3698
0,4...	0,3683	0,3668	0,3652	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5...	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6...	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7...	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8...	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9...	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0...	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1...	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2...	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3...	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4...	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5...	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6...	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7...	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8...	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9...	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0...	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1...	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0395	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2...	0,0353	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3...	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4...	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5...	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6...	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7...	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8...	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9...	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0...	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1...	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2...	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3...	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4...	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5...	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6...	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7...	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8...	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9...	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001

Приложение 2

Таблица значений функции Лапласа

 

х	Ф(x)	х	Ф(x)	х	Ф(x)	х	Ф(x)
0,00	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389	0,96	0,3315
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422	0,97	0,3340
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454	0,98	0,3365
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486	0,99	0,3389
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517	1,00	0,3413
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549	1,01	0,3438
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580	1,02	0,3461
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611	1,03	0,3485
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642	1,04	0,3508
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673	1,05	0,3531
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703	1,06	0,3554
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734	1,07	0,3577
0,12	0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764	1,08	0,3599
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794	1,09	0,3621
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823	1,10	0,3643
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852	1,11	0,3665
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881	1,12	0,3686
0,17	0,0675	0,49	0,1879	0,81	0,2910	1,13	0,3708
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939	1,14	0,3729
0,19	0,0753	0,51	0,1950	0,83	0,2967	1,15	0,3749
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995	1,16	0,3770
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023	1,17	0,3790
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051	1,18	0,3810
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078	1,19	0,3830
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106	1,20	0,3849
0,25	0,0987	0,57	0,2157	0,89	0,3133	1,21	0,3869
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159	1,22	0,3883
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186	1,23	0,3907
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212	1,24	0,3925
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3238	1,25	0,3944
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264	1,26	0,3962
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289	1,27	0,3980

 

х	Ф(x)	х	Ф(x)	х	Ф(x)	х	Ф(x)
1,28	0,3997	1,61	0,4463	1,94	0,4738	2,54	0,4945
1,29	0,4015	1,62	0,4474	1,95	0,4744	2,56	0,4948
1,30	0,4032	1,63	0,4484	1,96	0,4750	2,58	0,4951
1,31	0,4049	1,64	0,4495	1,97	0,4756	2,60	0,4953
1,32	0,4066	1,65	0,4505	1,98	0,4761	2,62	0,4956
1,33	0,4082	1,66	0,4515	1,99	0,4767	2,64	0,4959
1,34	0,4099	1,67	0,4525	2,00	0,4772	2,66	0,4961
1,35	0,4115	1,68	0,4535	2,02	0,4783	2.68	0,4963
1,36	0,4131	1,69	0,4545	2,04	0,4793	2,70	0,4965
1,37	0,4147	1,70	0,4554	2,06	0,4803	2,72	0,4967
1,38	0,4162	1,71	0,4564	2,08	0,4812	2,74	0,4969
1,39	0,4177	1,72	0,4573	2,10	0,4821	2,76	0,4971
1,40	0,4192	1,73	0,4582	2,12	0,4830	2,78	0,4973
1,41	0,4207	1,74	0,4591	2,14	0,4838	2,80	0,4974
1,42	0,4222	1,75	0,4599	2,16	0,4846	2,82	0,4976
1,43	0,4236	1,76	0,4608	2,18	0,4854	2,84	0,4977
1,44	0,4251	1,77	0,4616	2,20	0,4861	2,86	0,4979
1,45	0,4265	1,78	0,4625	2,22	0,4868	2,88	0,4980
1,46	0,4279	1,79	0,4633	2,24	0,4875	2,90	0,4981
1,47	0,4292	1,80	0,4641	2,26	0,4881	2,92	0,4982
1,48	0,4306	1,81	0,4649	2,28	0,4887	2,94	0,4984
1,49	0,4319	1,82	0,4656	2,30	0,4893	2,96	0,4985
1,50	0,4332	1,83	0,4664	2,32	0,4898	2,98	0,4986
1,51	0,4345	1,84	0,4671	2,34	0,4904	3,00	0,49865
1,52	0,4357	1,85	0,4678	2,36	0,4909	3,20	0,49931
1,53	0,4370	1,86	0,4686	2,38	0,4913	3,40	0,49966
1,54	0,4382	1,87	0,4693	2,40	0,4918	3,60	0,499841
1,55	0,4394	1,88	0,4699	2,42	0,4922	3,80	0,499928
1,56	0,4406	1,89	0,4706	2,44	0,4927	4,00	0,499968
1,57	0,4418	1,90	0,4713	2,46	0,4931	4,50	0,499997
1,58	0,4429	1,91	0,4719	2,48	0,4934	5,00	0,499997
1,59	0,4441	1,92	0,4726	2,50	0,4938
1,60	0,4452	1,93	0,4732	2,52	0,4941

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543 с.
2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 256 с. – (Высшее образование).
3. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – М.: Высш. шк., 1997. – 479 с.: ил.
4. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В. Е. Гмурман. – М.: Высш. шк., 1998. – 400 с.: ил.
5. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2: учеб. пособие для вузов. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Оникс: Мир и образование, 2005. – 416 с.

 

[1]