Формула Бернулли. Приближенные формулы вычисления вероятности события

Последовательность  независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие  (его называют успехом) с вероятностью , постоянной при любом испытании, или противоположное ему событие  (его называют неудачей) с вероятностью , называется схемой независимых повторных испытаний.

Если производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна , то вероятность того, что событие  произойдет ровно  раз определяется формулой Бернулли:

                                                 ,                                          (12)

где  – число сочетаний из  элементов по  элементам, которое вычисляется по формуле (3)

Использование формулы (12) при больших значениях m и n вызывает вычислительные трудности. В зависимости от значений m, n и р применяют приближенные формулы.

Приближенная формула Пуассона

         , где                                                 (13)

(формулу обычно используют, когда , а

Пример

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных деталей. Вероятность того, что при транспортировке деталь повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодные детали.

Решение

В задаче имеется схема независимых испытаний, в которой известны значения параметров: n= 5000, p =0,0002 .

По формуле Пуассона находим:

.

Ответ: 0,06

Локальная теорема Муавра-Лапласа

, где                                         (14)

 – функция Гаусса; вычисляется по таблице значений  (см. Приложение 1) с учетом того, что:

· функция четная, т.е. ;

· при  можно считать .

(формулу (14) обычно используют, когда - велико, а р не близко к единице или к нулю)

Пример

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 независимых испытаниях, если вероятность этого события в одном испытании равна 0,2.

Решение

Имеем схему независимых повторных испытаний, в которойизвестны значения параметров: n= 400, m = 80, ;

 где

по таблице значений функции  находим

.

Ответ: 0,05

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

, где ,                 (15)

используется, когда требуется вычислить вероятность того, что в  независимых испытаний событие  появится не менее  раз и не более  раз. Вероятность   постоянна при любом испытании, а также .

 - функция Лапласа; вычисляется по таблице значений (см. приложение 2) с учетом того, что:

· функция нечетная, т.е. ;

· при  можно принять .

 

Пример

В схеме независимых испытаний , . Найти вероятность того, что событие А появится в большинстве испытаний, то есть от 13 до 25 раз.

Решение

где

По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 2) находим, что

, .

Тогда .

Ответ: 0,9935

Случайные величины

Случайные величины

Случайной называют числовую величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, причем не известно заранее какое именно.

Условимся случайные величины обозначать прописными латинскими буквами …, а принимаемые ими значения – строчными латинскими (с индексами или без): ,  и т.д.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если значения, которые может принимать данная случайная величина, образуют дискретное (конечное или бесконечное) множество чисел , , …, , …

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, значения которой, заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси .

Например, число студентов на лекции – дискретная случайная величина, продолжительность лекции – непрерывная.