Тема 13.4. Решение квадратных уравнений и неравенств

Квадратное уравнение — это уравнение вида: a x ² + b x + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней.

2. Имеют ровно один корень.

3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение: a x ² + b x + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число: D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет.

2. Если D = 0, есть ровно один корень.

3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Например. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x ² − 8 x + 12 = 0;

2. 5 x ² + 3 x + 7 = 0;

3. x ² − 6 x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

a = 1, b = −8, c = 12;

D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16.

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:

a = 5; b = 3; c = 7;

D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:

a = 1; b = −6; c = 9;

D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Например. Решить квадратные уравнения:

1. x ² − 2 x − 3 = 0;

2. 15 − 2 x − x ² = 0;

3. x ² + 12 x + 36 = 0.

Решение: Первое уравнение:

x ² − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

.

Второе уравнение:

15 − 2 x − x ² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;

D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

.

Наконец, третье уравнение:

x ² + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;

D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

.

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.