Раздел 13. Итоговое повторение курса математики

Г.

 

Раздел 13. Итоговое повторение курса математики

 

Тема 13.3. Решение линейных уравнений и неравенств

Линейное уравнение одной переменной

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:

· в общей форме: ;

· в канонической форме: .

Линейное уравнение конечного вида:

.

Количество решений зависит от параметров a и b.

Если , то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку

Если , то уравнение не имеет решений, поскольку

Если , то уравнение имеет единственное решение: .

Линейное уравнение двух переменных

Геометрическое место точек линейного уравнения от двух переменных вида:
y = ax + b.

Определение: Уравнением с переменной x называется равенство вида A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. Множество значений x при подстановке которых в уравнение получается истинное числовое равенство, называют множеством истинности данного уравнения или решением данного уравнения, а каждое такое значение переменной — корнем уравнения

Линейное уравнение двух переменных можно представить:

· в общей форме: ;

· в канонической форме: ;

· в форме линейной функции: , где .

Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных , которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество. Геометрической моделью (графиком) такого уравнения является прямая: .

Неравенства

Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:

· > (больше),

· < (меньше),

· ≤ (меньше или равно),

· ≥ (больше или равно),

· ≠ (не равно).

Линейное неравенство – это неравенство вида a x + b > 0 (или a x + b < 0), где а и b – любые числа, причем а ≠ 0.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Например, х + 5 < 17.Подставив вместо х значение 1, получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 –верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Свойства числовых неравенств:

1. Если а > b и b > c, то а > с.

2. Если а > b, то а + с > b + с.

3. Если а > b и m > 0, то аm > bm;

4. Если а > b и m < 0, то am < bm.

5. Если а > b и с > d, то a + c > b + d.

6. Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.

7. Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ, n – любое натуральное число.

Алгоритм решения линейных неравенств	Например: решить неравенство 5(х – 3) > 2 х - 3
1. Раскрыть скобки:	5 х – 15 > 2 х - 3
2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный:	5 х – 2 х > -3 + 15
3. Привести подобные слагаемые:	3 х > 12
4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):	3 х > 12: 3 х > 4
5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:
6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ:	Ответ: (4; +∞)

 

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение: a x ² + b x + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число: D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет.

2. Если D = 0, есть ровно один корень.

3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Например. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x ² − 8 x + 12 = 0;

2. 5 x ² + 3 x + 7 = 0;

3. x ² − 6 x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

a = 1, b = −8, c = 12;

D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16.

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:

a = 5; b = 3; c = 7;

D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:

a = 1; b = −6; c = 9;

D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Например. Решить квадратные уравнения:

1. x ² − 2 x − 3 = 0;

2. 15 − 2 x − x ² = 0;

3. x ² + 12 x + 36 = 0.

Решение: Первое уравнение:

x ² − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

.

Второе уравнение:

15 − 2 x − x ² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;

D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

.

Наконец, третье уравнение:

x ² + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;

D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

.

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Г.

 

Раздел 13. Итоговое повторение курса математики