Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Плоскопараллельное движение тела
Плоскопараллельное движение (плоское) – движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости. Исходя из этого, движение тела можно описать движением плоской фигуры, получающейся в сечении этого тела одной из параллельных плоскостей. В свою очередь, движение фигуры в своей плоскости можно описать движением произвольного отрезка AB, принадлежащего этой фигуре. В общем случае плоское движение представляется совокупностью поступательного движения вместе с некоторым полюсом, и вращательного – поворот тела вокруг этого полюса. Таким образом, плоское движение тела определяется уравнениями: ì x A = ï í y A = f 1 (t ); f 2 (t);
(3.1)
3 в которых x A = f 1 (t) и y A = f 2 (t) – характеризуют поступательную часть движения, а j = f 3 (t) – вращательную.
Допустим, что тело пере- местилось из положения AB в положение A 1 B 1 (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 При этом поступательная часть движения зависит от выбора полюса, а вращательная, т.е. угол поворота (по величине и на- правлению), – не зависит (j 1 = j 2). Если за полюс взять точку A, то положение произвольной точки B определится равенством r B = r A + r BA . (3.2) Определим вектор скорости точки B как производную от радиус- вектора r B по времени:
dr B
= dr A + dr BA; dt dt dt u B = u A + u BA . (3.3) Вектор скорости некоторой точки B плоской фигуры равен геометрической сумме скорости полюса (точки A) и скорости этой точки (точки B) в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса. u BA – вектор относительной (вращательной) скорости точки B вокруг полюса A. Вектор скорости
u BA
всегда направлен перпендикулярно AB в сторону угловой скорости w и определяется векторным произведением: u BA = w ´ r BA . (3.4) По модулю относительная скорость u BA будет равна: u BA = w ´ r BA = w r BA sin (w, r BA); 90°
где l AB – длина отрезка AB, м. u BA = w l AB, (3.5)
Зачастую удобно пользоваться следующей теоремой (рисунок 3.2):
При плоском движении проекции абсолютных скоростей двух точек плоской фигуры на линию, проходящую через эти точки, алгебраически равны. Так как вектор u BA всегда перпендикуля-
Рисунок 3.2 рен AB, то проецируется на эту линию (ось x) в точку. Тогда, спроецировав уравнение (3.3) на линию AB, получим: u Bx = u Ax; u A cos b = u B cos a.
В любой момент движения плоской фигуры, в ее плоскости существует точка скорость которой, в данный момент времени, равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Для определения положения МЦС необходимо восстановить перпендикуляры к векторам абсолютных скоростей точек плоской фигуры, проведенных из этих точек. На пересечении этих линий будет находиться МЦС (точка P), т.е. точка, относительно которой в данный момент времени тело совершает мгновенный поворот. Мгновенная угловая скорость тела соответственно определится: w = u A = u B . (3.6) AP BP Различные случаи определения положения МЦС Случай 1 (рисунок 3.3). Восстанавливаем перпендикуляры из этих точек A и B к векторам скоростей этих точек, на пересечении которых находится МЦС (точка P).
Случаи 2 и 3 (рисунки 3.4 и 3.5). Если векторы скоростей точек A и B параллельны между собой, то для определения МЦС должны быть известны их модули. Проводим линии через точки A и B, перпендикулярные векторам скоростей и линию соединяющую концы векторов u A и u B – на их пересечении будет находиться МЦС (точка P).
Случай 4 (рисунок 3.6). Если векторы скоростей точек A и B плоской фигуры равны по модулю и параллельны между собой, то МЦС находиться в бесконечности (AP =¥; BP = ¥), а мгновенная угловая скорость равна: w = u A = u B = u A = u B = 0, AP BP ¥ ¥ т.е. тело совершает мгновенное поступательное движение.
Теорема об ускорениях точек плоской фигуры
Определим ускорение произвольной точки B плоской фигуры, взяв за полюс точку A (рисунок 3.8). Для этого уравнение (3.3) представим в виде: u B = u A + w ´ r BA . (3.7) Производная по времени от выра- жения (3.7) будет равна: d u B = d u A + d (w ´ r BA); dt dt dt a = a + dw ´ r + w ´ dr BA .
Рисунок 3.8 B A dt Так как dw = dt BA и dr BA dt dt = u BA, то:
a B = a A + – вращательное ускорение точки B во вращении вокруг полюса A, по модулю равное: a t =
w ´ u
BA BA BA BA BA BA AB 90° – центростремительное ускорение точки B во вращении вокруг полюса A, по модулю равное: a n = w ´ u = wu sin (w, u)= wu = w 2 l
. (3.9) BA BA BA BA BA AB 90° Тогда ускорение точки B определится уравнением: a = a + a t + a n , (3.10)
где
t n
B A BA BA – ускорение точки B в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса A, по модулю равное: a BA = = = l AB . (3.11) Таким образом, ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса: a B = a A + a BA . (3.12)
a t e
BA =. (3.13) w 2
Мгновенный центр ускорений При плоском движении тела в плоскости его движения существует точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ) Положение МЦУ можно определить, если известны: ускорение какой- либо точки тела, а также величины угловой скорости и углового ускорения этого тела. Для этого, используя формулу tg m = e , w 2 вычисляют величину угла m. Далее, под углом m к вектору известного абсолютного ускорения a A точки A, в сторону углового ускорения e, откладывают отрезок AQ (рисунок 3.9), равный: Рисунок 3.9 AQ = a A . (3.14)
Ускорение произвольной точки B этого тела в данный момент времени равно ее ускорению во вращательном движении вокруг МЦУ, при этом ускорения точек тела пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений: a A = a B , AQ BQ а направлены они под тем же углом m к прямым (AQ и BQ), соединяющим эти точки и МЦУ.
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ Относительное, переносное и абсолютное движения точки Сложным называется движе- ние, при котором точка (тело) одновременно участвует в двух или более движениях. Например, катящейся шар (из положения A в положение M) по палубе плывущего парохода (ри- Рисунок 4.1 сунок 4.1). Движение рассматриваемой точки (тела) относительно подвижной системы отсчета называется относительным. Характеризуется траекторией относительного движения, относительной скоростью u r,
относительным ускорением a r. Движение подвижной системы отсчета и неизменно связанной с ней рассматриваемой точкой (тела) относительно неподвижной системы отсчета называется переносным. Характеризуется траекторией пере- носного движения, переносной скоростью u e, переносным ускорением a e. Движение рассматриваемой точки (тела) относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Характеризуется траекторией абсолютного движения, абсолютной скоростью u a , абсолютным ускорением a a. Абсолютное движение складывается из относительного и переносного: r a = r r + r e . (4.1)
Теорема о сложении скоростей Рассмотрим сложное движение точки M в случае, когда подвижная система отсчета связана с твердым телом, совершающим произвольное движение в пространстве (рисунок 4.2). Неподвижную систему отсчета обозначим O 1 x 1 y 1 z 1, подвижную – Oxyz. Вектор абсолютной скорости точки M определится: u = dr a; a u = dr r dt + dr e . (4.2) a dt dt Рассмотрим отдельно производные и dr e. dt dr r dt Рисунок 4.2 Представив r r получим: в виде (x r i + y r j + z r k),
dr r = æ dx r i + dy r j + dz r k ö + æ di x
+ dj y
+ dk z ö . (4.3) dt ç
dt dt dt ÷ ç dt r dt r dt r ÷ è ø è ø В правой части уравнения (4.3) первое слагаемое представляет собой относительную скорость: æ dx r i + dy r j + dz r k ö = u i + u j + u k = u . (4.4) ç dt dt dt ÷ rx ry rz r è ø
Орты i, j, k оставаясь неизменными по модулю, вращаются вокруг мгновенной оси W с угловой скоростью w, поэтому производная от
и вектора соответствующего орта:
dt = w e ´ j; dt = w e ´ k. (4.5) Тогда, в правой части уравнения (4.3) второе слагаемое будет равно: æ di x
+ dj y
+ dk z ö = w ´ (x i
+ y j + z k)= w
´ r. (4.6)
ç dt r dt r dt r ÷ e r r r e r è ø
С учетом (4.4) и (4.6), производная
(4.3), будет равна:
dr r, определяемая выражением dt dr r = u + w ´ r, (4.7) dt r e r где w e ´ r r = u MO – скорость точки M при ее вращении вокруг мгновенной оси W, проходящей через полюс O, в переносном
Так как вектор r e связан с неподвижной системой отсчета O 1 x 1 y 1 z 1, то dr e dt = u O
– скорость полюса O в переносном движении, м/с. Подставляя (4.7) в (4.2), получим: u = u + w ´ r + dr e ; (4.8) a r e r dt где u MO + u O = u e u a = u r + u MO + u O , (4.9) – переносная скорость. Тогда уравнение (4.9) примет вид: u a = u r + u e . (4.10) Таким образом, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей. Модуль абсолютной скорости будет равен:
u a = . (4.11)
Теорема о сложении ускорений Вектор абсолютного ускорения точки M определится: a = d u a. a dt Тогда уравнение (4.8) примет вид: d u d (w e ´ r r ) d 2 r a a = r + + e . (4.12) dt dt dt 2 Рассмотрим производные (4.12), отдельно. d u r dt и d (w e ´ r r ) , входящие в уравнение dt Представив u в виде u i + u j + u k, производная d u r, с учетом r (4.5), будет равна: rx ry rz dt du d (u r x i + u ry j + u rz k) r = ; dt dt d u r = æ d u rx i
+ d u ry j + d u rz k ö + æ di u
+ dj u
+ dk u ö ; dt ç dt dt dt ÷ ç dt rx dt ry dt rz ÷ è ø è ø d u r = (a i + a j + a k)+ w ´ (u
i + u
j + u k); dt rx ry rz e rx ry rz d u r = a + w ´ u
, (4.13) dt r e r где a r – относительное ускорение точки M. Рассмотрим производную по времени от векторного произведения w e ´ r r: d (w e ´ r r ) = d w e ´ r + w
´ dr r . dt dt r e dt Так как d w e =
, а производная dr r согласно (4.7) равна u + w ´ r,
получим: dt e d (w e ´ r r ) = dt ´ r + w
´ (u
+ w ´ r); r e r dt e r e r e r d (w e ´ r r ) =
´ r + w ´ u + w ´ (w ´ r). (4.14) dt e r e r e e r С учетом (4.13) и (4.14) уравнение (4.12) примет вид: d 2 r a a = a r + w e ´ u r + e e ´ r r + w e ´ u r + w e ´ (w e ´ r r ) + e,
dt 2 или в такой последовательности
d 2 r a a = a r + e + e e ´ r r + w e ´ (w e ´ r r ) + 2(w e ´ u r ), (4.15) dt 2 d 2 r где e dt 2 = a O – ускорение полюса O в переносном движении;
– вращательное ускорение точки M во вращении вокруг мгновенной оси W, проходящей через полюс
O, в переносном движении; –
через полюс O, в переносном движении; 2(w e ´ u r ) = a к – кориолисово ускорение. С учетом этого получим: a = a + a + a t + a n + a, (4.16) a r O MO MO к где a + a t + a n = a – переносное ускорение точки M. O MO MO e Тогда уравнение (4.16) примет вид: a a = a r + a e + a к . (4.17) Равенство (4.17) выражает теорему Кориолиса о сложении ускорений: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного переносного и кориолисова ускорений. Модуль абсолютного ускорения, в общем случае, определяется методом проекций. Для этого определяем алгебраические суммы проекций всех ускорений на координатные оси: a ax = a rx + a ex + a кx; a ay = a ry + a ey + a кy; a az = a rz + a ez + a кz. Тогда модуль абсолютного ускорения будет равен:
Модуль и направление вектора кориолисова ускорения Кориолисово (поворотное) ускорение a к, стремится изменить направ- ление вектора относительной скорости u r угловой скорости w e. в направлении переносной По модулю кориолисово ускорение будет равно: a к = 2 w e u r sin (w e , u r ). Чтобы найти направление вектора Кориолисова ускорения необходимо мысленно перенести вектор переносной угловой скорости w e в рассматриваемую точку M, а затем следовать одному из правил (рисунок 4.2). Правило векторной алгебры Вектор a к перпендикулярен векторам w e и u r и направлен в ту сторону, откуда виден кратчайший переход от w e часовой стрелки. к u r против хода
Рисунок 4.2 Правило Жуковского Вектор относительной скорости u r проеци- руем в плоскость p перпендикулярную оси переносного вращения z и поворачиваем полученную проекцию сторону переносного вращения (по w e) на 90°. u пр в
Кориолисово ускорение равно нулю, если: 1) w e = 0, т.е. переносное движение поступательно; 2) u r = 0, т.е. относительная скорость в данный момент времени равна нулю; 3) sin (w e , u r )= 0, т.е. в случае когда (w e , u r )= 0 или (w e , u r )= 180°, иначе – когда вектор u r w e . РАЗДЕЛ III. ДИНАМИКА Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных точек (тел) в зависимости от действующих на них сил. Динамика делится на два подраздела: – динамика материальной точки; – динамика механической системы.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 175; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.55.151 (0.364 с.) |