Элементы специальной теории относительности

 

Величайшей заслугой А. Эйнштейна (1879–1955) явилось осмысление того, что все расхождения между динамикой механических и электромагнитных систем можно устранить на основе новой теории, в основе которой лежат всего два постулата:

1. Все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

2. Скорость света в вакууме одинакова для любого наблюдателя, находящегося в инерциальной системе отсчета, и не зависит от относительного движения источника света и наблюдателя.

Теория, основанная на этих постулатах, называется специальной теорией относи-тельности (СТО). Для ускоренно движущихся систем Эйнштейном разработана более сложная, общая теория относительности. Теория относительности охватывает все многообразие явлений окружающего нас мира, заставляет по новому взглянуть на фунда-ментальные понятия пространства и времени. Теория относительности вскрыла глубокую связь между пространством и временем, материей и движением. Она оказала решающее влияние на объяснение и интерпретацию атомных, ядерных, астрофизических, космоло-гических и космогонических явлений. Наверное, нет больше такой физической теории, способной сформулировать такой обширный круг законов природы, имея в своем основании всего лишь два простых постулата. Для Эйнштейна не существовало разницы между механикой и электромагнетизмом, (в конечном счете, вся материя состоит из заряженных частиц), поэтому он распространил и обобщил механический принцип относительности на законы электромагнетизма. Фактически принцип постоянства скорости света является следствием принципа относительности. «В теории Лоренца, – отмечал Эйнштейн, – принцип постоянства скорости света справедлив только для одной системы – системы, находящейся в покое относительно эфира. Если хотим сохранить принцип относительности, мы обязаны допустить справедливость принципа постоянства скорости света для любой системы, движущейся без ускорения».

В классической механике законы физики инвариантны относительно преобразований Галилея, осуществляющие переход от одной системы отсчета  к другой системе отсчета , движущейся относительно  с постоянной скоростью :

.

Равенство означает, что во всех системах отсчета время течет одинаково, то есть время имеет абсолютный характер. Кроме времени, в классической физике является ин-вариантом пространственный интервал между двумя точками

Эксперимент Майкельсона–Морли показал, что преобразования Галилея не примени-мы для электромагнитных процессов и должны быть заменены на более общие и более фундаментальные преобразования. Существует, конечно, бесчисленное множество инер-цииальных систем отсчета, с которыми связан выбор системы координат. Этот выбор совершенно произволен: например, один наблюдатель может взять ортогональную (пря-моугольную), а другой – неортогональную систему. Если даже они оба выберут орто-гональные системы, то они могут отличаться началом отсчета или ориентацией. Важно, однако, что разные системы координат связаны друг с другом соответствующими преоб-разованиями, что позволяет найти координаты любой точки в одной системе координат, если известны координаты той же точки в другой системе.

В основе теории относительности лежит принцип относительности, согласно кото-рому законы природы инвариантны относительно преобразования движения из одной системы отсчета в другую. В специальной теории относительности вместо преобразований Галилея применяются преобразования Лоренца, вывод которых основан на использовании основных постулатов теории относительности. Введение в теорию в качестве основного постулата постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета потребовало глубокого пересмотра утвердившегося в классической физике пространственно-временных представлений.

Устранение противоречия между существованием предельного значения скорости (с) и правилом сложения скоростей возможно только введением различного хода времени в системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью . В специальной теории относительности состояние движения характеризуется не системой координат, а системой отсчета, т.е. совокупностью системы координат и часов. Время перестает быть абсолютным, и каждая система отсчета характеризуется своим собственным временем. Основным понятием теории относительности является точечное событие – событие, которое происходит в данной точке пространства в данный момент времени. Это понятие является идеализацией, реальные события всегда имеют некоторую протяженность в пространстве и времени. Относительность времени породило проблему синхронизации часов. Если событие происходит в разных точках пространства А и В, то для сравнения их времени нужно часы в А и В синхронизировать так, чтобы они показывали одинаковое время. Эйнштейн предложил такой способ синхронизации часов. Пусть в двух точках А и В находятся одинаковым образом устроенные часы, которые показывают моменты времени  и . Луч света (сигнал) выходит из точки А в момент времени , который опреде-ляется часами в точке А. Затем этот луч отражается в В в момент времени  по часам точки В и возвращается назад в А.

Здесь момент его возвращения зарегистрирован находящимися в А часами, которые показывают в этот момент время . Определением синхронности часов в А и В является равенство

.

Целесообразность такого способа синхронизации связана с тем, что в любой инер-циальной системе отсчета отсутствует какое-либо физически выделенное направление. К такому же результату приводит бесконечно медленный перенос часов из А в В.

Преобразование Лоренца. Вид преобразований, связывающий координаты и время  в условно неподвижной системе отсчета  с координатами и временем в системе отсчета , движущейся относительно  равномерно и прямолинейно со скоростью , должны удовлетворять требованиям общего характера, определяемыми свойствами симметрии пространства и времени, рассмотренные в разделе 3. Эти требования могут быть выражены следующим образом.

1. Формулы преобразования координат и времени должны быть симметричны отно-сительно обеих систем отсчета   и , тогда математический вид формул, выражающий нештрихованные величины через штрихованные (и скорость ) такой же, как и формул обратного перехода, если переменить в них знак скорости. Это требование условия равноправия обеих систем отсчета сильно ограничивает возможный вид преобразований. Например, функции преобразования могут быть только линейными, так как обращение квадратичной или любой степени приводит к иррациональности. Дробно-линейное преобразование (частное от двух линейных выражений) также не подходит, поскольку при обратном преобразовании знаменатель может обращаться в нуль, а само преобразование обращаться в бесконечность, что противоречит нижеприведенному п. 2.

2. Преобразование должно переводить конечные точки одной системы в конечные точки другой, т.е. если  конечны, то преобразования с конечными коэффици-ентами должны оставлять  конечными величинами.

3. Когда относительная скорость двух систем стремится к нулю, формулы преобра-зования должны переходить в преобразования Галилея.

4. Из формул преобразования следует такой закон сложения скоростей, который оставляет скорость света в пустоте инвариантной, т.е. .

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета, которые обозначим буквами   и . Пусть система  движется относительно  равномерно и прямолинейно со скоростью . В момент  обе системы совпадали, а часы синхронизированы (рисунок 41).

 

                                 

           

                                               

        

 

                                  

Рисунок 41

 

Пусть в момент времени () световой сигнал вышел из общего начала координат обеих систем   и . Тогда точка М, в которую пришел сигнал, будет иметь координаты  в системе К и координаты  в системе . В соответствии с первым постулатом теории относительности скорость света одинакова в обеих системах, поэтому расстояния  и  от соответствующих начал систем до точки М будут равны

 и ,

или     

 и .                               (30) 

Так как  и , то из формул (30) следует

.

Линейные преобразования  и  в общем случае имеют вид

.                                                  (31)

Подставляя (30) в (31) и используя начальные условия, когда  и , тогда  и , можно получить преобразования, которые Лоренц получил в 1890 году и называются они преобразованиями Лоренца

, .                                          (32)                                              

Обратные преобразования имеют вид

, .

В 1923 году Нильс Бор сформулировал свой знаменитый принцип соответствия.
Согласно этому принципу всякая новая теория в физике должна сводиться к хорошо
установленной соответствующей классической теории, если эта теория прилагается к
специальным случаям, которые успешно описываются менее общей теорией. В соответ-ствии с этим принципом соответствия при  (классический случай) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея

.

Из преобразований Лоренца вытекает правило сложения скоростей в релятивистской физике

,

которое при малых скоростях превращается в классическое соотношение .

При создании специальной теории относительности Эйнштейн придал преобра-зованиям Лоренца принципиально новый физический смысл. Лоренц исходил, как извест-но, из гипотезы неподвижного эфира и связывал с эфиром абсолютно покоящуюся систему отсчета. Он полагал, что только в этой системе длина тела и ход часов являются «истинными». При переходе к другим системам (системам, движущимся относительно
покоящейся системы с той или иной скоростью) происходит, как он считал, буквальное сокращение размера тела как результат воздействия «эфирного ветра» на электронную структуру тела. Чем больше скорость тела относительно мирового эфира, тем сильнее эфирный ветер и, как следствие, тем значительнее сокращение размера тела в направ-лении движения.

Эйнштейн в теории относительности отказался от эфира, а значит, и от привиле-гированной (абсолютно покоящейся) системы отсчета. Соответственно нет и эфирного ветра, как нет и абсолютного сокращения продольного размера тел. Однако он понял, что изменения длин и времени связаны с относительностью движения объекта и наблюдателя.

Из преобразований Лоренца легко можно получить некоторые следствия теории относительности: относительность одновременности, замедление времени, сокращение продольных размеров движущихся тел.

Относительность одновременности событий утверждает, что события 1, 2 одно-временные в одной инерциальной системе отсчета, оказываются неодновременными в другой инерциальной системе отсчета. Действительно, интервалы времени между двумя событиями в   и   системах связаны соотношением

.                    (33)

Пусть события в нештрихованной системе одновременны, но происходят в разных пространственных точках (  и ). Из формулы (33) следует, что .

Замедление времени. Относительность промежутков времени можно установить из следующих рассуждений. Пусть в одной и той же точке системы отсчета  происходят два точечных события, разделенные интервалом времени  (), где  и   – моменты времени наступления второго и первого событий, отсчитанные по часам, неподвижным относительно штрихованной системы отсчета .

Таким образом, система  выбрана нами в качестве системы покоя для данных событий и часов. Промежуток времени между двумя событиями в покоящейся системе отсчета называется собственным временем.

Рассмотрим теперь, как временной интервал между этой парой событий представляется наблюдателю из системы отсчета , которая движется относительно  с постоянной скоростью . В нештрихованной системе отсчета, рассматриваемые события будут происходить в разных точках  и  в моменты времени  и . По часам системы
отсчета  эти события разделены промежутком времени . Используя преобразования Лоренца, находим

при        

, .                                                  (34)                                                            

откуда следует зависимость промежутка времени между двумя событиями от системы отсчета.

Мы пришли к выводу, что временной интервал, который разделяет два последовательных события оказывается минимальным в системе отсчета, относительно которой часы покоятся (собственное время). Рассматриваемый интервал возрастает в  раз в системе, движущейся со скоростью  относительно системы покоя (). Для наглядности примем интервалы времени  и , равными периодам «хода» часов в системах
отсчета   и   соответственно. Единица времени увеличивается, когда часы идут медленнее. Следовательно, принятая нами единица времени  для часов в системе , измеряемая наблюдателем в системе , продолжительнее, чем единица времени для часов в системе . Поэтому наблюдатель в системе обнаружит, что часы в системе  идут медленнее, чем его собственные. Аналогично наблюдатель в системе  считает, что часы в системе  идут медленнее, чем его часы. Вышеизложенное можно выразить одним утверждением: с точки зрения любого наблюдателя, движущиеся часы идут медленнее, чем такие же часы, но неподвижные в его системе отсчета. Такое поведение часов называют эффектом замедления времени.

Можно рассмотреть и обратную задачу: пусть в нештрихованной системе   происходят два события, длительность времени между которыми  отсчитывается по часам неподвижного наблюдателя. Какова будет длительность  этих событий в системе ? В этом случае связь между  и  выражается формулой

,                                                    (35)

из которой следует, что . Между формулами (34) и (35) нет противоречия, они выражают один и тот же факт, что часы, движущиеся относительно некоторого наблюдателя, отстают от его часов, то есть идут медленнее. Собственное время часто обозначают символом .

Относительность длины (сокращение Лоренца – Фицджеральда). Пусть стержень покоится в штрихованной системе  и его собственная длина . Отметим, что длина стержня  не зависит от времени, поскольку в системе  стержень покоится. Из формулы преобразования Лоренца для пространственных координат следует незави-симость длины стержня от времени при определении ее в любой системе отсчета. Из (32) вытекает, что наблюдатель из нештрихованной системы отсчета зафиксирует длину

.                                              (36)

Таким образом, длина стержня , измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется, оказывается меньше длины , измеренной в системе, относительно которой стержень покоится.

Если стержень покоится относительно системы , то собственная длина стержня  и, использовав формулы преобразования для , получим тот же результат (36).

Эффекты замедления времени и сокращения длины получили экспериментальное подтверждение. Эти явления наблюдаются при распадах нестабильных элементарных
частиц космических лучей или получаемых с помощью ускорителей высоких энергий. Такие частицы движутся со скоростями, близкими к скорости света (с). Поэтому, с точки зрения земного наблюдателя (относительно лабораторной системы отсчета), средние времена жизни, а следовательно, и проходимые ими от рождения до распада расстояния увеличиваются в сотни и тысячи раз.

Рассмотрим эффект замедления времени на примере движения короткоживущих - и -мезонов (пионов и мюонов). Для покоящихся заряженных пионов среднее время жизни, прежде чем они распадутся на другие элементарные частицы, оказывается равным =2,6 10^-8 с. На ускорителе Колумбийского университета получили пучок пионов, движущихся со скоростью 0,75 м/с. Среднее расстояние, которое они пройдут за среднее время их жизни, равно (м). Однако, как следует из экспе-римента, средняя длина пробега этих частиц оказалась равной не 5,85 м, а (8,5 0,6) м. Это различие можно объяснить эффектом замедления времени. Действительно, пионы движутся в лабораторной системе (система ), тогда для наблюдателя из системы  часы в системе , движущейся вместе с пионами, идут медленнее. Для наблюдателя (относительно системы ) время жизни пионов (в секундах) будет больше чем  и определяется формулой

.

Следовательно, средняя длина пробега пионов в лабораторной системе до распада (в метрах) равна

,

что находится в хорошем согласии с экспериментом.

Аналогичный вывод следует из экспериментов с мюонами в составе космических лучей. Среднее время их жизни в состоянии покоя равно 2 10^-6 с. Если даже они будут двигаться со скоростью света, то средняя длина свободного пробега не будет превышать расстояние 600 м. Однако из наблюдений следует, что пионы в значительном количестве достигают земной поверхности, тогда как они образуются на расстоянии, превышающем 30 км от нее. Это может быть объяснено только замедлением часов, аналогично вышепри-веденному примеру.

Рассмотрим теперь распад пионов с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе
с пионами (система ). Из предыдущего примера видно, что в неподвижной относительно пионов системе отсчета, пионы проходят расстояние 5,85 м. Но из теории относитель-ности следует, что средняя длина пробега относительно лабораторной системы равна
8,8 м. Наблюдатель, находящийся в системе отсчета, связанной с пионом, замечает, что лаборатория перемещается мимо него со скоростью 0,75 с. Различная длина свободного пробега относительно наблюдателей в различных системах отсчета (  и ) обусловлена относительным движением. Длина  предмета, движущегося относительно покоящегося наблюдателя, сокращается по сравнению с длиной  того же предмета, находящегося в состоянии покоя по отношению к наблюдателю:

.

Длина предмета, равная в лаборатории 8,8 м, при измерении ее в системе отсчета, связанной с пионом, будет составлять м.

Следует подчеркнуть, что происходит сокращение только продольных размеров тела (вдоль направления движения), а поперечные размеры (перпендикулярные направлению движения) остаются неизменными. Лоренцево сокращение тела зависит от скорости его движения, и поэтому учет его зависит от величины скорости . Если наблюдатель, напри-мер, движется вдоль метровой линейки со скоростью, равной половине скорости света, то при измерении он получит величину, м,

.

В том случае, если скорость наблюдателя очень мала по сравнению со скоростью света, изменение длины становится пренебрежимо малым. Например, если наблюдатель в предыдущем примере двигался бы вдоль линейки со скоростью 10 м/с, то длина линейки оказалась бы равной, м,

Отсюда следует, что длина линейки изменилась на величину порядка 10^-14 от первоначальной длины, ясно, что никакого практического значения это изменение не имеет.

Из вышеизложенного может возникнуть вопрос, действительно ли существуют эти релятивистские эффекты или они, как мираж, явления кажущиеся? Чтобы ответить на этот вопрос, представим, что два наблюдателя А и В находятся в относительном движении. Наблюдатель В обнаружит, что метровая линейка наблюдателя А короче его собственной и что часы наблюдателя А идут медленнее, чем его часы. Но если двигаться вместе с наблюдателем А, то ничего этого мы не обнаружим. Причина заключается в том, что эффекты сокращения длины или замедления времени являются результатом использования промежутков времени и масштабов, принятых за эталонные в какой-либо собственной системе отсчета для измерения длины и времени в движущейся системе. Наблюдатель, находящийся в состоянии покоя относительно метровой линейки или часов, никаких эффектов сокращения или замедления не обнаруживает. Так существуют ли действительно эти эффекты? На помощь в разрешении этого вопроса можно привлечь критериальный принцип: реально все то, что поддается измерению. Исходя из этого принципа релятивистские эффекты безусловно существуют, о чем свидетельствуют многочисленные эксперименты по измерению длин, промежутков времени, масс и др.

Масса, импульс и энергия в теории относительности. Как мы неоднократно подчеркивали, законы движения Ньютона не инвариантны относительно преобразований Лоренца, а потому, согласно принципу относительности, их нельзя считать «истинными» законами механики (кроме случая, когда отношение ). В соответствии с общей идеологией построения теории относительности мы должны обобщить законы механики так, чтобы получить новую систему уравнений, инвариантную при преобразованиях Лоренца. Исходя из законов сохранения импульса для механических систем, движущихся с относительной скоростью , и правила сложения скоростей в релятивистской механике, можно получить релятивистское обобщение понятия массы. Оказалось, что масса зависит от скорости и не является постоянной, какой она была в теории Ньютона

,                                              (37)

где  – масса покоя (при ).

При этом импульс частицы будет равен

.                                              (38)

При малых скоростях () релятивистские выражения (37), (38) переходят в классические. В основу релятивистской динамики положено релятивистское обобщение второго закона Ньютона

.                                              (39)

Релятивистская кинетическая энергия может быть определена как работа, произведенная над покоящейся частицей релятивистской силой (39):

.                                               (40)

Выполнив интегрирование, получим:

,                                                 (41)

где  – масса покоя.

При  формула (41) переходит в кинетическую энергию классической механики .

Полная энергия тела равна сумме кинетической энергии  и энергии покоя

.                                                    (42)

Как видно из (42) полная энергия в специальной теории относительности не включает в себя потенциальную энергию. Соотношение между массой и энергией () одно из наиболее фундаментальных следствий специальной теории относительности. Соотноше-ние позволяет глубже понять закон сохранения энергии, из него следует, что тело массой  имеет эквивалентную энергию  и, наоборот, полная энергия некоторого материального объекта эквивалентна массе . Иногда формулу  называют законом эквивалентности энергии и массы. Эта фраза требует пояснения. Она не утверждает, что масса и энергия одно и то же, а лишь всякий раз констатирует их эквивалентность в смысле характеристик движения.

Если по каким-либо причинам в системе происходит изменение энергии, то оно должно сопровождаться эквивалентным изменением массы (и наоборот), т.е. . Таким образом, теория относительности Эйнштейна объединяет два закона – сохранения энергии и сохранение массы – в единый, всеобъемлющий закон: Общее количество мас-сы – энергии в изолированной системе есть величина постоянная. Из выражения для энергии  видно, что энергия тела стремится к бесконечности при , поэтому, если масса покоя частицы не равна нулю (), скорость тела всегда меньше с, хотя при она может стать сколь угодно близкой к ней. Это наблюдается, например, в опытах на ускорителях заряженных частиц, в которых частицам сообщаются энергии, много большие . При таких энергиях скорость частиц практически равна с. Со ско-ростью света всегда движутся частицы, масса покоя которых равна нулю, например, фотон и предположительно нейтрино. Из сказанного следует, что скорость света является предельной скоростью передачи любых взаимодействий и сигналов из одной точки в другую.

Формула полной энергии и импульс тела связаны соотношением, которое является инвариантом и играет важную роль в релятивистской физике

.

Для частиц с массой покоя (), равной нулю, из формулы следует . Это соотношение может иметь место только для частиц, движущихся со скоростью света. В классической физике для замкнутой системы сохраняются импульс  и энергия Е. В релятивистской физике трехмерный вектор импульса вместе с энергией образует четырехмерный вектор энергия – импульс с компонентами .

При преобразованиях Лоренца его величина остается инвариантной наравне с массой покоя  и скоростью света с. Энергия элементарных частиц выражается в мегаэлектрон-вольтах (МэВ). Например, энергия покоя электрона , протона , нейтрона 939,6 МэВ.

Из соотношения  вытекает, что даже небольшому количеству массы эквива-лентна колоссальная энергия. Предположим, что 1 кг вещества мог бы полностью превратиться в энергию, тогда в таком процессе высвободилось бы 9 10¹⁶ Дж. Однако эта масса – энергия не может превратиться в полезную энергию. Материя не уничтожима, невозможно разрушить нейтроны и протоны и, следовательно, невозможно высвободить всю эту энергию. Высвобождается только часть энергии, которая связана с их перегруппировкой так, что конечная масса незначительно отличается от первоначальной. Существует еще один закон природы, который гласит: полное число нейтронов и протонов остается неизменным. Перегруппировка нуклонов в ядре может происходить в результате деления ядра или ядерной реакции. Например, при делении 1 кг , содержащего 2,5 10²⁴  ядер, высвобождается энергия  Дж, где  – дефект массы, равный разности массы вещества до реакции и после. Сравнивая энергию, заключенную в 1 кг , с энергией, которая высвобождается, мы видим, что в энергию превращается только 0,1 % массы покоя. При химических превращениях, например при сгорании угля, в энергию превращается только 10^-9 от полной массы – энергии. Это явилось основной причиной того, что экспериментально превращение массы в энергию в химических реакциях не фиксируется. Соотношение между энергией и массой подтверждено с огромной точностью в современной физике ядра и элементарных частиц. На связь энергии и массы опираются, в частности, расчеты ядерной энергетики, использующей процессы сопровождающиеся высвобождением энергии. На этапе становления релятивистской физики ее считали чрезвычайно абстрактной и далекой от практики теорией. Такой путь проходит любая новая высокоразвитая теория.

Пространство Минк