О понятии тензора напряжений

Если в произвольной точке нагруженного тела построить малую площадку, то действие окружающего материала на эту площадку можно представить вектором силы, но если изменить направление площадки в этой же точке, то и вектор силы изменится. Относя вектор силы к площади площадки, т.е. переходя к напряжениям, мы убедимся, что они представляются в точке не вектором, а бесконечным набором векторов, в общем случае различных  в каждом направлении. Такой математический объект, построенный на двух векторах (силы и нормали к площадке), называется тензором и его понятие можно ввести, исходя из интуитивно ясного понятия «вектор», представляющего собой в трехмерном пространстве тройку чисел и характеризующегося абсолютной величиной и направлением. Проекции вектора на произвольную ось получаются умножением его величины на направляющий косинус (в первой степени) угла между вектором и осью. Таким образом, вектор эквивалентен тензору первого ранга, а скаляр – нулевого.

Определение: тензором называется набор чисел, преобразуемых по заданному закону при изменении системы координат. Наглядно тензор второго ранга представляется матрицей, которая, будучи умноженной на вектор, даёт новый вектор. При повороте системы координат компоненты тензора по приведенному выше закону (2.1.21) умножаются на направляющие косинусы углов между осями старой и новой системы координат. Причем степень косинусов в каждом произведении равна рангу тензора.

Для тензора напряжений второго ранга в плоском случае при повороте системы координат на угол φ (рис. 2.1.1) справедливы известные формулы (2.1.3).  Если использовать тензоры напряжений и деформаций, то теория упругости анизотропного тела будет построена в симметричном виде. Но традиционно (к сожалению) определяющие соотношения формулируются с учетом технической сдвиговой деформации  (2.1.4), и соответственно, технических модулей сдвига . Изменять эту традицию опасно, все справочники содержат такие значения модуля сдвига, поэтому и у нас, и за рубежом пользуются «искаженной» матричной записью закона Гука (2.1.11). 

Представление напряжения отношением силы к площади малой площадки, на которую она действует, не является обязательным и строгим. Действительно, измерить непосредственно в опыте можно только перемещения, а значит, деформации. Наиболее общим в механике является принцип возможных перемещений или вариационный принцип, согласно которому система (твердое тело) находится в равновесии, если некоторый функционал (с размерностью энергии) принимает стационарное значение. Простейшее следствие – принцип минимума потенциальной энергии деформации – приводит к тому, что для равновесия тела требуется достижение минимума произведения напряжений на деформации, проинтегрированного по объему тела. По смыслу, напряжения – это множители Лагранжа, минимизирующие данный функционал энергии для известных полей деформаций.