Начисление сложных процентов по ссудным ставкам.

 

1. Наращение. При декурсивном способе начисления наращенная сумма будет определяться следующим образом.  

 

По прошествии первого года наращенная сумма составит:

S₁ = P (1 + i).

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S₁:

 

S₂ = P (1 + i) (1 + i) = S₁ (1 + i) = P (1 + i)²

 

Т.о., по прошествии n лет наращенная сума составит:

 

S = P (1 + i)ⁿ       

    

Коэффициент наращения k_н.с соответственно будет равен:

 

k_н.с = (1 + i)ⁿ

 

 

 

 

Данная формула наращения предполагает, что проценты на проценты начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Однако иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления  используются ставки процентов , то наращенная сумма в конце первого интервала составит

 

S₁ = P (1 + n₁i₁).

  

В конце второго интервала:

 

S₂ = P (1 + n₂i₂)(1 + n₂i₂) и т.д.

 

При N интервалах начисления наращенная сумма составит в конце всего периода начисления:

 

    

 

Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. При этом применяют два метода.

1. Общий метод - расчет ведется непосредственно по общей формуле сложных процентов.

2. Смешанный метод – предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов, а за дробную часть срока – по формуле простых процентов. 

 

 

где n = а + b;

  a – целое число лет;

  b – оставшаяся дробная часть года.

   

Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении процентов по первому и второму варианту. Поэтому при значительном периоде времени следует отдавать предпочтение второму варианту.

На практике же чаще предпочитают пользоваться первым методом. Но нужно иметь ввиду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин.

В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.       

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году, то оговаривается номинальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления наращенная сумма будет равна:

 

 

Наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное начисление.

 

Также можно определить, на какой период следует вложить средства для получения желаемого результата (дохода). Для этого необходимо применить операцию логарифмирования.

 

.

 

.

 

Значения логарифмов можно найти по специальным таблицам.

 

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки.

 

1. Правило «72»:

2. Правило «69» (более точное):

.

 

Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях сложных процентных ставок. До i_c=100% отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь.

 

Дисконтирование.

,

где v – дисконтный (учетный, дисконтирующий) множитель, обратный коэффициенту наращения.

 

Разность S – P, в случае, когда P определено дисконтированием, называют дисконтом.