Поверхностный интеграл второго рода.

Пусть S – двухсторонняя ограниченная поверхность, заданная уравнением z = f (x, y), где f (x, y) – непрерывная функция в замкнутой области D – проекции поверхности S на плоскость XOY, а R (x, y, z) – непрерывная функция на поверхности S. Выберем верхнюю сторону поверхности S.

Разобьем поверхность S сетью кусочно-гладких линий на n частей Δ S ₁, Δ S ₂, …, Δ S_n. Проекциями этих линий на плоскость XOY область D разобьется на n областей, обозначим их соответственно Δσ₁, Δσ₂, …, Δσ _n. Возьмем на каждой части Δ S_i произвольную точку M_i (ξ _i,η _i,ζ _i) и составим интегральную сумму:

                                   рис. 3.1

 

Так как сторона поверхности выбрана верхняя, то (Δ S_i) _xy = Δσ _i, а значит

В правой части равенства имеем интегральную сумму для двойного интеграла от непрерывной функции R (x, y, f (x, y)) по области D_xy.

При стремлении к нулю шага разбиения поверхности S,  Δσ _i также стремится к нулю. В пределе получаем формулу

                                  (3.1)

определяющую интеграл по верхней стороне поверхности S по переменным x и y через двойной интеграл по ее проекции на плоскость XOY.

Аналогичным образом устанавливается справедливость формул:

                                      (3.2)           

для функции P (x, y, z), непрерывной на двухсторонней поверхности S, заданной уравнением x = f (x, y) (D_yoz – проекция поверхности S на плоскость YOZ) и

                             (3.3)

для функции Q (x, y, z), непрерывной на двухсторонней поверхности S, заданной уравнением y = f (x, z).

Если поверхность S такова, что для функций P (x, y, z), Q (x, y, z) и   R (x, y, z), определенных в точках этой поверхности, интегралы (3.1), (3.2) и (3.3) существуют, то вводится понятие поверхностного интеграла «общего» вида по выбранной стороне поверхности:

Свойства поверхностных интегралов второго рода.

А) При перемене стороны поверхности S знак поверхностного интеграла второго рода меняется на противоположный.

Б) Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла:

          

         

         

В) Поверхностный интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов слагаемых:

        

      

    

Г) Если поверхность S разбита на части S ₁ и S ₂, то интеграл по всей поверхности S равен сумме интегралов по ее частям:

     

Д) Если S – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то

       

Если S – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OX, то

   

Если S – цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OY, то

        

Вычисление поверхностных интегралов второго рода.

К вычислению поверхностных интегралов второго рода приводит задача о потоке векторного поля. Существует несколько основных методов вычисления поверхностных интегралов второго рода.