Векторное поле, векторные линии.

Введение.

Предлагаемое учебное пособие предназначено студентам заочного отделения, для выполнения индивидуальных домашних заданий по курсу «Математический анализ» по следующим разделам векторного анализа: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода.

В представленном пособии кратко изложены теоретические вопросы и приведены подробные решения типовых задач, предлагаемых в качестве индивидуальных домашних заданий.

Основное внимание в пособие уделено задачам на вычисление работы векторного поля; определению потенциала векторного поля; вычислению потоков векторного поля.

В «Приложении» приведены варианты индивидуальных домашних заданий по вышеуказанным разделам «Математического анализа»;  уравнения и вид поверхностей второго порядка, наиболее часто встречающихся в задачах; вопросы к экзамену по векторному анализу  и рекомендуемая литература.

Данное пособие предназначено, в основном, студентам заочного отделения для самостоятельного изучения вышеуказанных разделов курса «Математический анализ», однако, пособие может быть полезным и студентам дневного отделения при выполнении индивидуальных домашних заданий.

Содержание.

1.    Векторное поле, векторные линии…………………………………..

2.    Криволинейный интеграл второго рода……………………………..

2.1. Связь между криволинейными интегралами первого и

   второго рода…………………………………………………………

2.2. Свойства криволинейных интегралов второго рода………………..

2.3. Физический и механический смысл криволинейного

   интеграла второго рода………………………………………………

2.4. Условия независимости криволинейного интеграла

   второго рода от формы пути интегрирования………………………

2.5. Оператор Гамильтона…………………………………………………

2.6. Формула Грина………………………………………………………..

3.    Поверхностный интеграл второго рода……………………………..

3.1. Свойства поверхностных интегралов второго рода………………...

3.2. Вычисление поверхностных интегралов второго рода……………..

3.2.1.Метод проектирования на три координатные плоскости…………..     

3.2.2.Связь между поверхностными интегралами первого

     и второго рода…………………………………………………………

3.2.3.Метод проектирования на одну координатную плоскость……….

3.2.4.Метод Остроградского-Гаусса……………………………………...

4.    Формула Стокса……………………………………………………….

Приложения……………………………………………………………….. 

Связь между криволинейными интегралами

Первого и второго рода.

    Пусть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой АВ имеет вид:

P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz

Рассмотрим вектор-функцию

F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k

как трёхмерный вектор с компонентами P (x, y, z), Q (x, y, z) и R (x, y, z), а также вектор dr = dx ∙ i + dy ∙ j + dz ∙ k. Тогда комбинация, стоящая под знаком интеграла, есть не что иное, как скалярное произведение векторов (x, y, z) и , т.е.

P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz = (  (x,y,z) ), и поэтому

P (x, y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz  = ( (x,y,z), ).

Обозначим через α, β и γ  углы, которые вектор  образует с осями OX, OY и OZ.  Заметим, что длина вектора :

 = = ds

есть не что иное, как дифференциал длины дуги кривой. Поэтому

dx = ds ∙ cosα, dy = ds ∙ cosβ, dz = ds ∙ cosγ

и мы можем записать

Pdx + Qdy + Rdz = (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) ds                          (2.2)

Заметим, что слева стоит криволинейный интеграл второго рода, а справа – криволинейный интеграл первого рода. Эта формула даёт связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

2.2. Свойства криволинейных интегралов второго рода.

1. Постоянный множитель выносится за знак криволинейного интеграла

k P(x,y,z)dx=k P(x,y,z)dx

Свойства криволинейных интегралов второго рода будем рассматривать на одной из составляющих криволинейного интеграла.

2. Криволинейный интеграл от суммы функции равен сумме интегралов

(P₁(x,y,z)+P₂(x,y,z))dx= P₁(x,y,z)dx+ P₂(x,y,z)dx

3. Если кривая AB разбивается точкой С на две части, то

Pdx = Pdx + Pdx

4. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой (циркуляция)    не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода данной кривой.

5. Если   AB – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси OX, то

P (x, y, z) dx =0,

Если дуга   AB принадлежит плоскости, перпендикулярной оси OY, то

Q (x, y, z) dy =0,

если  дуга AB лежит в плоскости, перпендикулярной оси OZ, то

R (x, y, z) dz =0

Оператор Гамильтона

Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчетов форме путем введения символического дифференцирующего вектора набла , называемого оператором Гамильтона.

Ротором вектора  и их первые частные производные непрерывны в некоторой области 3-х мерного пространства, называется вектор, получаемый в результате векторного произведения символического вектора  и вектора .

         

                                                                                                                                                                          (2.7)

                                        

 

Если , то векторное поле  потенциально, т.к. если координаты вектора  равны нулю, то мы получаем условия потенциальности векторного поля (2.5). Потому в задачах на нахождение потенциальной функции при проверке условий потенциальности векторного поля можно использовать либо условия потенциальности (2.5), либо вычислять .

Пример: вычислить потенциальную функцию плоского векторного поля

Решение начнем с нахождения . 

    

 

 

 

  

Следовательно, поле    является потенциальным. Найдем потенциальную функцию, используя формулу (2.6):

 

 

 

Проверка:

 

Кроме ротора векторного поля с помощью символического вектора набла можно найти градиент скалярной функции , путем простого умножения вектора набла на скалярную функцию

                                   (2.8)

Скалярное произведение вектора   и вектора векторного поля  называется дивергенцией векторного поля. Дивергенция – величина скалярная и вычисляется следующим образом:

                                                                                      (2.9)

Формула Грина.

Для достаточно общего вида плоских областей D с положительно ориентированной границей Г  справедлива формула Грина:

                                                                   (2.10)                                                                         

Формула Грина позволяет вычислить криволинейный интеграл второго рода по замкнутой линии Г, т.е. циркуляцию через двойной интеграл по области D, ограниченной этой кривой линией.

Пример: вычислить циркуляцию вектора

по окружности

Циркуляция данного вектора равна:

 

Находим частные производные:

Тогда по формуле Грина (2.10):

Т.к. кривая L является окружностью, то при вычислении двойного интеграла используем полярную систему координат:

Тогда

 

Пример: пользуясь формулой Грина, вычислить линейный интеграл в векторном поле  где L - верхняя часть полуокружности  направление обхода контура от точки A (2;0) до точки О(0;0)

 

Уравнение окружности:

или  т.е. центр окружности                      рис. 2.4

сдвинут по оси   Ох вправо на одну единицу. Дополним дугу полуокружности отрезком прямой   ОА. Кривая ОАО – становится замкнутой.

Тогда по формуле Грина (2.10):

 

По свойству двойного интеграла полученный интеграл равен площади области D, а радиус полуокружности R=1. Интеграл вдоль прямой ОА равен нулю (на ОА у=0; dy=0), следовательно, окончательный ответ - линейный интеграл равен .

 

Формула Стокса

Формула Стокса связывает криволинейный и поверхностный интегралы второго рода.

Пусть в некоторой области пространства задано поле непрерывно дифференцируемого вектора

 = P(x,y,z)  +Q(x,y,z)  +R(x,y,z)

Выше мы уже определили понятие ротора вектора  как векторного произведения символического вектора набла =  +  +  и

вектора поля  = P  + Q  + R

 

Тогда по формуле Стокса:

                                                                                              (4.1)

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность G, натянутую на контур L.

Предполагается, что ориентация нормали  к поверхности G согласована с ориентацией контура L таким образом, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки. Формулу Стокса можно трактовать как обобщение формулы Грина для пространственного случая. В координатной форме формула Стокса имеет вид:

 

Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы второго рода по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов второго рода.

Пример: вычислить циркуляцию вектора   y  + x ²  – z    по контуру 

L:   x ² + y ² =4  при z =3; вычисления провести двумя способами:

а) непосредственно; б) по формуле Стокса.

x ² + y ² =4 – круговой цилиндр, радиуса R =2 с образующей, параллельной оси   OZ. Контур L - окружность, лежащая в плоскости z =3.

Выберем ориентацию дуги L как указано        на рис.4.1.

а) Параметрические уравнения линии L:

x= 2cos t;  y=2sint;  z=3; 0 ≤ t ≤ 2π

dx= -2sint dt; dy= 2cost dt;  dz=0

 

Вычисляем криволинейный интеграл второго рода. Тогда:

б) Вычисления по формуле Стокса начнем с определения ротора векторного поля:

Вектор нормали к плоскости z =3 (0;0;1)

 Тогда, по формуле Стокса:

При вычислении интеграла воспользовались полярными координатами (x =ρ cos , y =ρ sin   якобиан равен ρ).

Пример: найти циркуляцию векторного поля y  + z  + x  по окружности, получающейся при пересечении сферы x ² + y ² + z ² =1, наклонной плоскостью   x + y + z =0, нормаль направлена в сторону положительной оси ОХ.  Плоскость x + y + z =0  полностью определяется своей нормалью ,

длина нормали = , тогда единичная нормаль, сонаправленная с данной имеет координаты .

Вычислим ротор векторного поля в соответствии с формулой (2.7):

    

Вычислим скалярное произведение ротора вектора поля и единичной нормали:

 

Следовательно, по формуле Стокса (4.1):

 

Приложения.

Варианты индивидуальных заданий.

Вариант № 1.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по  заданному пути L: 

 

 

L: ломаная ABCD, AC // OX, CD // OX, DB // OY.

A (0, 1, 2), B (1, -1, 3)

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:

 

Поверхность замкнутая, нормаль внешняя.

 

Вариант № 2.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

От точки M (2, 0) до точки N (0, 0).

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали.

Вариант № 3.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: замкнутый контур, полученный пересечением поверхности

    координатными плоскостями.

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.

 

 

 

Вариант № 4.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

 

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.

 

 

Вариант № 5.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

S: часть поверхности ,    вырезаемая плоскостями

, нормаль внешняя по отношению к замкнутой поверхности.

 

Вариант № 6.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: от  точки M (3, 0) до точки N (-3, 0).

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:

 

 

S: часть поверхности , вырезаемая плоскостью

 

P: ,  нормаль внешняя.

Вариант № 7.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: контур треугольника ABC, где вершины треугольника имеют следующие координаты  A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1).

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

 

S: часть плоскости , расположенная в 1 октанте, нормаль положительная.

 

Вариант № 8.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: , от точки M ,  до точки N

 

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

 

 

Вариант № 9.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: замкнутый контур

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

 

S: часть поверхности ,  вырезанная плоскостями:

нормаль внешняя по отношению к замкнутой поверхности.

 

Вариант № 10.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: замкнутый контур

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

S: часть поверхности , отсекается плоскостями

, нормаль внешняя.

Вариант № 11.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

 

 

L: замкнутый контур

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

 

S: часть поверхности , отсекаемая плоскостью

,  нормаль внешняя.

 

Вариант № 12.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

 

 

L: отрезок AB, соединяющий точки   A (1, 2, -2) и  B (-2, 1, 4).

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

S: часть поверхности , отсекаемая плоскостью

, нормаль внешняя.

Вариант № 13.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L: замкнутый контур x²+(y-1)²=1, обход в положительном направлении.

3) Вычислить поток векторного поля через часть плоскости S: x /3 + y +2 z =1 расположенную в первом октанте, в направлении внешней нормали.

Вариант № 14.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

L: x²+y²+z²=4, z = 1, (y≥0)

от  точки M(√3;0;1) до точки N (-√3;0;1).

 

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали.

S:

 

 

Вариант № 15.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

L: замкнутый контур

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S

S:   нормаль внешняя.

Вариант № 16.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

L:  контур треугольника, ограниченного осями координат и прямой

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S

S:  , нормаль внешняя   

Вариант № 17.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L: замкнутый контур        (обход из точки 0(0,0,0) виден совершающимся против часовой стрелки).

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

S:

Вариант № 18.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L: контур треугольника OAB, где O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,2).

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

S:

 

Вариант № 19.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.              

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L:  x²+y²=1,  (y≥0) от точки M(1;0) до точки N (-1;0).

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

S:

Вариант № 20.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L: , 0≤t≤2

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

S:

 

Вариант № 21.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый):

L:    

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали:

S:

Вариант № 22.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый):

L:    

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность (первый октант) в направлении внешней нормали:

S:

 

 

Вариант № 23.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (замкнутый контур):

L:   

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали

S:

Вариант № 24.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L:   , 0≤t≤2

3) Вычислить поток векторного поля через поверхность S в направлении внешней нормали:

S: часть плоскости  ,

находящаяся в I октанте.           

Эллипсоид

Гиперболоид однополостный

Гиперболоид двуполостный

Конус второго порядка

Параболоид эллиптический

Параболоид гиперболический

Эллиптический цилиндр второго порядка

Введение.

Предлагаемое учебное пособие предназначено студентам заочного отделения, для выполнения индивидуальных домашних заданий по курсу «Математический анализ» по следующим разделам векторного анализа: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода.

В представленном пособии кратко изложены теоретические вопросы и приведены подробные решения типовых задач, предлагаемых в качестве индивидуальных домашних заданий.

Основное внимание в пособие уделено задачам на вычисление работы векторного поля; определению потенциала векторного поля; вычислению потоков векторного поля.

В «Приложении» приведены варианты индивидуальных домашних заданий по вышеуказанным разделам «Математического анализа»;  уравнения и вид поверхностей второго порядка, наиболее часто встречающихся в задачах; вопросы к экзамену по векторному анализу  и рекомендуемая литература.

Данное пособие предназначено, в основном, студентам заочного отделения для самостоятельного изучения вышеуказанных разделов курса «Математический анализ», однако, пособие может быть полезным и студентам дневного отделения при выполнении индивидуальных домашних за