Дифференциальное уравнение теплопроводности.

, Вт;                                                          (13.1)

, Вт/м².                                                             (13.2)

Знак “-” означает противоположную направленность теплового потока dQ и градиента температуры gradT.

l, Вт/(м×К) – коэффициент теплопроводности – тепловой поток (Вт), проходящий через единицу площади теплопередающей поверхности (м ²) при единичном градиенте температуры (К/м).

l - физическая характеристика, зависящая от химического и физического строения вещества, температуры, влажности и некоторых других факторов.

Численные значения l и зависимость от Т

газы: l=0,005…0,5 Вт/(м×К);            l увеличивается с ростом Т;

жидкости: l=0,1…1,0 Вт/(м×К); l уменьшается с ростом Т;

                                                     (исключение вода и глицерин)

строительные и теплоизоляционные материалы:

l=0,02..3,0 Вт/(м×К), при l<0,2 Вт/(м×К) – теплоизоляция;

l увеличивается с ростом Т;

металлы: l=10…430 Вт/(м×К); l уменьшается с ростом Т

(исключение  и некоторые сплавы).

Дифференциальное уравнение нестационарной

теплопроводности (уравнение Фурье)

Схема передачи теплоты в выделенном элементарном объеме dV со сторонами dx, dy, dz представлена на рис. 13.1.

 

Рис. 13.1

Передача теплоты по оси Х:

Аналогично определяются выражения передачи теплоты по осям y и z:

; .

Сумма .

Накопление теплоты в объеме dV ведет к увеличению температуры:

; ;                              (13.3)

,                                                                               (13.3,а)

где  – коэффициент температуропроводности, м ² /с, ;

Ñ (набла) – оператор Лапласа.

Уравнение имеет множество решений. Для конкретизации решения задаются краевые условия (условия однозначности).

Краевые условия

· Геометрические: плоская стенка, цилиндрическая и т.д., размеры.

· Физические: материал, l=f(T), r=f(T), с=f(T).

· Начальные: T_w=f(x, y, z, t₀).

· Граничные: 1–го рода – распределение температуры по поверхности                 ;

2–го рода – распределение плотности теплового потока по поверхности                      ;

3–го рода – интенсивность теплообмена с окружающей средой

,

где a, Вт/(м²×К) – коэффициент теплоотдачи; индексы “ w ” – твердое тело;    “ f ” – среда.

Теплопроводность плоской стенки: теплопроводность плоской однослойной стенки; теплопроводность плоской многослойной стенки.

В однослойной стенке (рис.13.2):

.

Из начальных условий: при  и ; при . Тогда

,       (13.4)

Рис. 13.2    где R= d/ l - термическое сопротивление, м²К/Вт.

Изменение Т в стенке линейное. Q=Aq, Вт.

    Многослойная стенка

В многослойной стенке (рис.13.3) при стационарном режиме плотность теплового потока q через каждый слой одинакова.

 

         

+

Рис. 13.3

        

.

,                   (13.5)

где  -термическое сопротивление, м²К/Вт.

Для n слоев   ,                          (13.6)

Q=Aq, Вт.                                                    (13.7)

Теплопроводность цилиндрической стенки: теплопроводность однослойной цилиндрической стенки; теплопроводность многослойной цилиндрической стенки.

Однослойная стенка

      В однослойной стенке (рис.13.4)

; ;

; ;

; , (14.8) где R - термическое сопротивление, .

Рис.13.4                 Изменение Т в стенке логарифмическое.

 Многослойная стенка

При стационарном режиме (рис.13.5):

+

Рис. 1 3.5

;

=  .     (13.9)

    Для n слоев

;                                                     (13.10)

;           .