Метод  симметричных  составляющих

 

Любую несимметричную трехфазную систему ЭДС, напряжений или токов можно представить в виде суммы, в общем случае, трех симметричных трехфазных систем: прямой, обратной и нулевой последовательностей. Их называют симметричными составляющими данной несимметричной трехфазной системы.

На рис. 2.5, например, приведена несимметричная трехфазная система ЭДС Е _А, Е _В, Е _С.

 

 

Рис. 2.5

Представим ЭДС Е _А, Е _В, Е _С в каждой фазе в виде суммы трех слагаемых, таких чтобы первые из них образовали в трех фазах симметричную систему прямой последовательности (Е ₁, а² Е ₁, а Е ₁), вторые – симметричную систему обратной последовательности (Е ₂, а Е ₂, а² Е ₂) и третьи – систему нулевой последовательности (Е ₀, Е ₀, Е ₀). Получаем уравнения:

 

Е _А = Е ₁ + Е ₂ + Е ₀;

Е _В = а² Е ₁ + а Е ₂ + Е ₀;                                     (10)

 

Е _С = а Е ₁ + а² Е ₂ + Е ₀.

 

Здесь три уравнения и три неизвестные величины Е ₁, Е ₂, Е ₀. Решая эту систему уравнений, находим

 

                             (11)

 

Векторы Е _1A, Е _2A, Е _0A, которые относятся к фазе А исходной системы, изображены на рис. 2.5,б. Все три ЭДС действуют в фазе А, в чем легко убедиться, выполнив их суммирование.

Формулы (11) служат для нахождения симметричных составляющих Е _1А, Е _2А, Е _0А по известным ЭДС Е _А, Е _В, Е _С несимметричной системы (формулы прямого преобразования) [1]. Расположение симметричных составляющих других фаз показано на рис. 2.5,б.

Аналогичные рассуждения можно привести по отношению к несимметричным системам напряжений и токов.

Из первого равенства (11) видно, что нулевая составляющая отсутствует, если сумма рассматриваемых синусоидальных величин всех трех фаз равна нулю. Не содержит нулевой составляющей и система линейных токов при отсутствии нейтрального провода. При наличии нейтрального провода по нему протекает утроенная нулевая составляющая несимметричной системы линейных токов (см. рис. 2.4).

 

 

Расчет  трехфазных  цепей  методом  симметричных

Составляющих

 

Для расчета несимметричных режимов в трехфазных цепях использование метода симметричных составляющих сводит сложную задачу, при наличии несимметричных ЭДС, токов и напряжений, к нескольким более простым задачам расчета той же цепи при симметричных режимах. Особенно ценным этот метод является потому, что часто сопротивления элементов цепи (линии электропередач, генераторы, потребители в виде асинхронных двигателей, трансформаторы) оказываются зависящими от характера несимметрии токов, то есть сопротивление участка цепи неоднозначно для различных симметричных составляющих.

Наиболее важным является случай трехфазной электрической цепи, содержащей вращающиеся электрические машины – генераторы, двигатели, синхронные компенсаторы.

Обозначим через Z ₁, Z ₂, Z ₀ комплексные эквивалентные сопротивления некоторого элемента электрической системы (например, электрической машины) для токов прямой, обратной и нулевой составляющих соответственно.

Во вращающихся трехфазных машинах магнитное поле, создаваемое системой токов прямой последовательности, вращается в одном направлении с ротором, а поле, вызываемое системой токов обратной последовательности, вращается в противоположном направлении. Это приводит к тому, что для машины сопротивление статорной обмотки Z ₁   Z ₂, так как реакция ротора на цепь статора оказывается для прямой и обратной последовательностей различной.

Токи нулевой последовательности не создают вращающегося поля. Потоки, созданные токами нулевой последовательности, одновременно во всех трех фазах направлены к ротору или от него и вынуждены замыкаться от ротора к статору по воздуху в торцевых частях машины. Вследствие этого магнитные потоки от токов нулевой последовательности малы, что обусловливает малое значение сопротивления Z ₀ по сравнению с Z ₁ и Z ₂ (по модулю).

Расчет сопротивлений Z ₁, Z ₂ и Z ₀ по конструктивным параметрам машины не представляет сложной задачи.

Наиболее резкая несимметрия токов в цепях с вращающимися машинами наблюдается при коротких замыканиях в цепи. Именно для случаев несимметричных коротких замыканий метод симметричных составляющих находит самое широкое применение.

На рис. 2.6 представлена трехфазная цепь, включающая симметричные источник ЭДС, линию передачи и приемник электроэнергии.

В точке К линии передачи включены сопротивления Z _A ≠ Z _B ≠ Z _C, по которым будет замыкаться несимметричная система токов I _A, I _B, I _C. Фазные напряжения точек А, В, С можно записать в виде равенств:

 

U _A = I _A Z _A;

U _B = I _B Z _B;                                             (12)

 

U _C = I _C Z _C.

 

Рис. 2.6

 

Падения напряжений на сопротивлениях (12) образуют соответственно несимметричную систему напряжений, которую, согласно методу симметричных составляющих, можно записать в виде наложения прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Образовавшийся после включения сопротивлений Z _A, Z _B, Z _C несимметричный режим с учетом выражения (12) представлен на рис. 2.7.

Несимметричную систему напряжений U _A, U _B, U _C  заменим тремя симметричными составляющими:

 

                              (11,a)

 

На электрической схеме эти напряжения можно представить в виде источников ЭДС через их симметричные составляющие U ₁, U ₂, U ₀ (рис. 2.8). Напряжения, найденные в соответствии с выражением (11,а) и замененные источниками ЭДС той же величины, должны быть отнесены к цепи АО (см. рис. 2.7), то есть к фазе А. Напряжения в других цепях ВО и СО могут быть выражены через найденные по формулам (11,а) согласно порядку следования соответствующей последовательности (см. выражение (10)).

 

Рис. 2.7

 

 

Рис. 2.8

Несимметричный режим системы, изображенный на рис. 2.8, по принципу наложения можно представить как одновременное существование в изображенной цепи трех симметричных режимов. В данной цепи действуют только симметричные ЭДС различных последовательностей. Используя принцип наложения, вполне допустимо эти режимы рассматривать независимо, то есть составить и рассматривать три схемы, которые называют схемами замещения прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Так как все три режима симметричные, их можно представить схемами однофазного переменного тока, то есть рассматривать их протекание в одной (особой) фазе. На рис. 2.9 изображена схема замещения, соответственно, прямой (а), обратной (б) и нулевой (в) последовательностей.

На этих схемах замещения сопротивления снабжены индексами, соответствующими последовательности протекающего по элементам схемы тока. Величины этих сопротивлений заранее известны, так как либо задаются в технических данных, либо рассчитываются.

 

 

Рис. 2.9

 

Относительно точек К – О внешние цепи путем преобразования могут быть заменены эквивалентными (или суммарными) ЭДС и сопротивлениями. При этом не равная нулю ЭДС внешней цепи (по отношению к несимметричному участку К – О) имеет место только в преобразованной схеме замещения прямой последовательности (см. рис. 2.9,г). Преобразованные схемы замещения обратной и нулевой последовательностей, представленные соответственно на рис. 2.9,д и 2.9,е, не содержат источников ЭДС.

Для преобразованных схем замещения основные уравнения второго закона Кирхгофа, отдельно для каждой последовательности, будут иметь вид

U ₁ = E _Σ – Z _{1 Σ} I ₁;                                          (13)

 

U ₂ = 0 – Z _{2 Σ} I ₂;                                           (14)

 

U ₀ = 0 – Z _{0 Σ} I ₀.                                               (15)

 

Уравнения (13), (14) и (15) содержат шесть неизвестных: три составляющие напряжения и три составляющие тока, т.е. U ₁, U ₂, U ₀ и I ₁, I ₂, I ₀. Уравнения (13) – (15) должны быть дополнены еще тремя уравнениями (12), где неизвестные напряжения U _A, U _B, U _C и токи I _A, I _B, I _C необходимо записать через их симметричные составляющие U ₁, U ₂, U ₀ и I ₁, I ₂, I ₀. Тогда уравнения (12) будут иметь вид

 

U ₁ + U ₂ + U ₀ = Z _А (I ₁ + I ₂ + I ₀);                                (16)

 

a² U ₁ + a U ₂ + U ₀ = Z _В(a² I ₁ + a I ₂ + I ₀);                        (17)

 

a U ₁ + a² U ₂ + U ₀ = Z _С(a I ₁ + a² I ₂ + I ₀).                        (18)

 

Совместное решение системы шести уравнений (13) – (18) с шестью неизвестными позволяет определить три составляющие напряжения U ₁, U ₂, U ₀ и три составляющие тока I ₁, I ₂, I ₀. Заметим, что уравнения (16), (17) и (18) получили название граничных условий, то есть условий на границе собственно несимметричного участка цепи. В практике исследования несимметричных коротких замыканий эти условия часто упрощаются настолько, что решение всей системы уравнений (13) – (18) может быть выполнено простейшим методом – методом подстановки.

Если найдены симметричные составляющие тока и напряжения на участке несимметрии, то значения напряжений и токов по фазам легко находятся по формулам обратного преобразования (10).