Определение опорных реакций балок

Цель работы:

1 Научиться определять реакции в опорах балок.

2 Составлять уравнения равновесия плоской системы произвольно-расположенных сил.

3 Научиться определять равнодействующую силу распределенной нагрузки.

Порядок выполнения работы:

1 Заменить распределенную нагрузку ее равнодействующей, которая является сосредоточенной силой. Для равномерно распределенной нагрузки равнодействующая равна произведению интенсивности нагрузки q на длину участка, на котором она действует:

R = q • l,                                            (2)

Перед решением задач рекомендуется уяснить и закрепить порядок нахождения равнодействующей и определения расстояний от нее до опор. При отсутствии навыков решения таких задач необходимо указывать положение равнодействующей относительно опор. В дальнейшем этого можно не делать.

2 Обозначить опоры. Общепринято их обозначать буквами А и В (D). Простая балка имеет одну шарнирно-неподвижную и вторую шарнирно-подвижную опору.

З Освободиться от опор и заменить их действие на балку реакциями. На балку действуют только вертикальные нагрузки и сосредоточенные моменты. Реакции опор при такой нагрузке будут только вертикальными. Обычно их направляют вверх (против действия основной нагрузки) и обозначают реакцию опоры A – R_A, а опоры B - R_B.

4 Составить уравнения равновесия вида:

∑ F_{i х} = 0;

∑ F_{i у} = 0;

    ∑ М_А = 0,                                       (3)

Напомним, что моментом силы относительно точки называется произведение этой силы на плечо – кратчайшее расстояние от этой точки приложения силы (в общем случае до линии действия силы).

Если сила стремится повернуть балку относительно рассматриваемой точки по часовой стрелке, то будем считать ее момент положительным, а если против – отрицательным. Сосредоточенный момент не умножается на расстояние до опоры, а правило знаков остается тем же, что для момента силы.

Решить уравнения и найти реакции R_A и R_B.

5.Выполнить проверку решения. Для этого составляют уравнение равновесия:

∑ М _B = 0,                                          (4)

Если оно удовлетворено, то реакции найдены правильно, а если нет, то в решении допущена ошибка.

 

Пример 2 Определить реакции опор балки, если известно

F = 20 кН, М =10 кН × м, q = 1 кН/м (рисунок 5).

Рисунок 5 Схема задачи

Решение:

1 Изображаем балку вместе с нагрузками.

2 Выбираем расположение координатных осей, совместив ось Х с балкой, а ось У направив перпендикулярно оси Х.

3 Производим необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклонённую к оси балки под углом α, заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими

F_х = F × сos 30 ° = 20 × 0,866 = 17, 32 кН

F_у = F × сos 60 ° = 20 × 0,5 = 10 кН,

а равномерно распределенную нагрузку - её равнодействующей

Q = q × CD = 1 × 2 = 2 кН,

Равнодействующая Q приложена в середине участка CD, в точке К (рисунок 6).

Рисунок 6  Схема преобразования заданных активных сил

4 Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями, направленными вдоль выбранных осей координат (рисунок 7).

 

 

Рисунок 7  Схема реакций балки

5 Составляем уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор и определяем неизвестные реакции опор.

 

∑ М_А = 0; F _у × АВ + M + Q × AK - R_Dy × AD = 0 (1)

∑ М _D = 0; R_Ay × AD - F _у × В D + M - Q × KD = 0 (2)

∑ F_iх = 0; R_Aх - F_х = 0 (3)

6 Определяем реакции опор балок R_Ay, R_Dy и R_Aх решая уравнения.

Из уравнения (1) получаем

R_Dy = F_у × АВ + M + Q × AK / AD = 10 × 1 + 10 + 2 × 3 / 4 = 6,5 кН

Из уравнения (2) получаем

R_Ay × = F_у × ВD - M + Q × KD / AD =10 × 3 - 10 + 2 / 4 = 5,5 кН

Из уравнения (3) получаем

R_Aх = F_х = F × сos 30 ° = 20 × 0,866 = 17, 32 кН

7 Проверяем правильность найденных результатов:

∑ F_{i y} = 0; R_Ay - F_у - Q + R_Dy = 5,5 - 10 - 2 + 6,5 = 0

Условие равновесия ∑ F_{i y} = 0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

 

Таблица 3 Схемы балок (вторая цифра варианта)

 

Таблица 4 Исходные данные (первая цифра варианта)

Первая цифра варианта	F, кН	М, кН•м	q, кН/м
0	10	7	5
1	20	11	6
2	30	15	7
3	40	19	8

Контрольные вопросы:

1 Что называется моментом силы относительно точки? Как выбирается знак момента?

2 Что такое плечо силы?

3 Изменится ли момент силы относительно данной точки при переносе силы по линии её действия?

4 Сформулировать условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил.

5 В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?

6 Как определить равнодействующую равномерно-распределенной нагрузки?

7 Что значит привести силу к данному центру?

 

Практическая работа № 3

Определение центра тяжести сечения

Цель работы:

1 Научиться анализировать конструкции и производить разбивку сложносоставленной фигуры на простые.

2 Научить определять центр тяжести сложных сечений.

 

Порядок выполнения работы:

1 В соответствии с заданием начертить чертеж фигуры сложной формы в масштабе и проставить ее размеры.

2 Разбить чертёж фигуры на простейшие составные части, показать центр тяжести каждой из них.

3 Провести оси координат так, чтобы они охватывали всю фигуру (если фигура не симметричная, желательно располагать плоскую фигуру в первой четверти системы координатных осей).

4 Используя знания по определению центра тяжести простейших плоских фигур (рисунок 8), заполнить таблицу 5

Рисунок 8 Центры тяжести простейших плоских фигур

Таблица 5 Сводная ведомость результатов

№ п/п	Простейшая фигура	Площадь сечения А, см^2	Расстояние до центра тяжести простой фигуры
			по оси Xi, см	по оси Y, см
1
2
…
n

5 Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры аналитическим способом.

Координаты центра тяжести всей фигуры Х _с и У_с определяют по формулам:

         (5)

где Х ₁, Х ₂….Х _i - расстояние от оси У до центра тяжести простой фигуры, см;

У ₁, У ₂….У _i - расстояние от оси Х до центра тяжести простой фигуры, см;

А ₁, А ₂….А _i - площадь простой фигуры, см ².

Если сложная фигура имеет отверстие в виде геометрических фигур, то эти площади необходимо ввести в формулу со знаком «минус». Этот метод называется методом отрицательных площадей.

6 Проверить правильность решения задачи, используя другой метод разбивки.

Пример 3 Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, изображённой на рисунке 9, если известно a = 40 см, b =100 см, r = 20 см.

Рисунок 9 Схема задачи

 

Решение:

1 Разбиваем чертёж фигуры на простейшие составные части: прямоугольник, треугольник, полукруг, обозначаем центр тяжести каждой из них и располагаем чертёж фигуры в первой четверти координатных осей (рисунок 10).

Рисунок 10 Разбиение на части

2 Заполняем таблицу

№ п/п	Простейшая фигура	Площадь сечения А, см^2	Расстояние до центра тяжести простой фигуры
			по оси Xi, см	по оси Y, см
1	прямоугольник	2400	30	20
2	треугольник	800	73,3	13,3
3	полукруг	- 628	40	31,5

а) Площади сечения простейших фигур

для прямоугольника А₁ = 40 × 60 = 2400 см²

для треугольника А₂ = 40 × 40 / 2 = 800 см²

для полукруга А₁ = p × 20² / 2 = 628 см²

б) Центры тяжестей рассматриваемых частей фигуры имеют следующие координаты:

для прямоугольника х₁ = 30 см, y₁ = 20 см;

для треугольника х₂ = 60+40/3=73,3 см, y₂ = 40/3=13,3 см;

для полукруга х₃ = 40 см, y₃ = 40-4·20/(3·π) =31,5 см.

3 Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам

Х_с = (2400×30 + 800×73,3 - 628×40) / (2400 + 800 - 628) = 41 см

Y_c = (2400×20 + 800×13,3 - 628×31,5) / (2400 + 800 - 628) = 15,1 см

Ответ: С (41;15,1)

 

Контрольные вопросы:

1 Можно ли рассматривать силу тяжести тела как равнодействующую систему параллельных сил?

2 Может ли располагаться центр тяжести все самого тела?

3 В чем сущность опытного определения центра тяжести плоской фигуры?

4 Как определяется центр тяжести сложной фигуры, состоящей из нескольких простых фигур?

5 Как следует рационально производить разбиение фигуры сложной формы на простые фигуры при определении центра тяжести всей фигуры?

6 Какой знак имеет площадь отверстий в формуле для определения центра тяжести?

7 На пересечении каких линий треугольника находится его центр тяжести?

8 Если фигуру трудно разбить на небольшое число простых фигур, какой способ определения центра тяжести может дать наиболее быстрый ответ?

 

 

Таблица 6 Схемы фигуры (вторая цифра варианта)

0	4	7
1	5	8
2	6	9
3	Значение размера «a» по первой цифре варианта, мм
	0	45
	1	50
	2	55
	3	60