Металлических колец при помощи

 МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

Лабораторная работа № 4.5

 

Цель работы: определить момент инерции металлических колец при помощи маятника Максвелла.

Оборудование: маятник Максвелла, набор металлических колец с известными и неизвестными моментами инерции.

 

 Описание установки и методики измерения

Маятник Максвелла представляет собой ролик (маховичок), который закреплен на оси и бифилярным способом горизонтально подвешен на неподвижной балке. На ролик маятника могут накладываться сменные металлические кольца, позволяющие изменить момент инерции системы    (рис.1)

 

Рис.1

Маятник Максвелла является основной частью лабораторной установки, содержащей электромагнит, фотодатчики и электронный измеритель времени.

Если сначала поднять маятник до некоторой высоты, наматывая нити подвеса виток к витку на валик путем его поворота, а затем отпустить, то он достаточно длительное время будет совершать периодические движения вниз-вверх. Отсюда, собственно, и название системы «маятник». В момент достижения маятником нижнего положения происходит упругий удар, в результате которого скорость поступательного движения получает противоположное направление, практически не меняя своей величины. Направление же вращательного движения остается прежним. В результате этого нити подвеса будут навиваться на валик в противоположном направлении, и маятник будет подниматься вверх. Процесс перемещения маятника вниз-вверх будет многократным.

        Если пренебрегать силами сопротивления, то маятник Максвелла в целом можно рассматривать как консервативную систему, а его движение – соответствующее закону сохранения механической энергии.

Пусть m – масса маятника, I – его момент инерции. Положение маятника в текущий момент времени будем определять координатой центра масс относительно его начального положения h = 0 в момент t = 0.

На рис.2 указаны основные силы, действующие на тело маятника, и направления его движений. Считаем, что нити подвески маятника практически вертикальны. Заменяем действие двух нитей на тело их суммарной силой F. На основании законов динамики плоско-параллельного движения тела имеем два уравнения:

                                     ,                                                         (1)

                                          .                                                         (2)

 

Здесь a –ускорение вертикального перемещения тела вниз, - угловое ускорение вращательного движения тела вокруг центральной оси О.

Из данной системы уравнений определяем

                                                ,                                                             (3)

и высоту на которую опустится маятник за время t

                                            .                                                     (4)

Высоте h задается определенное значение, которое в процессе всех опытов остается неизменным. Из равенства (4) для момента инерции получим следующее соотношение  

                                            ,                                           (5)

где D = 2 R - диаметр навивки нитей подвеса.

При выполнении данной работы необходимо вначале определить момент инерции I₀ ненагруженного маятника. Затем, проведя аналогичные измерения с нагруженным маятником, момент инерции кольца рассчитывается по формуле 

где m₀ и  m – масса маятника и масса кольца.

 

 Порядок выполнения работы

 1. Изучить лабораторную установку и её действие. Записать значения характеристик маятника.

2. Включить прибор в сеть и нажать клавишу «Пуск». При этом произойдет обнуление измерителя времени и включение электромагнита, а также начнут светиться фотоэлектрические датчики.

3. Аккуратно навить нити подвеса на валик маятника до его прилипания к электромагниту. Навивка нитей должна быть симметричной относительно ролика и осуществляется за концы валика.

4. Нажатием клавиши «Сброс» маятник освобождается от электромагнита и запускается индикатор времени, а маятник начинает опускаться. В момент, когда маятник достигает крайнего нижнего положения, измеритель времени прекращает свою работу. При этом индикатор измерителя будет показывать время опускания маятника.

5. Результаты нескольких измерений и соответствующих расчетов для ненагруженного маятника занести в табл. 1.

                                                                                                         Таблица 1

№	m 0, кг	h, м	t0,c	I0,кг × м^2	I 0ср,кг × м^2
1 2 3

 

  

 

 

6. Аналогичные измерения и расчёты провести для нагруженного маятника. Результаты занести в табл.2.

                                                                                          Таблица 2

№	m, кг	h, м	t0,c	I,кг × м^2	I ср,кг × м^2
1 2 3

 

7. Измерить внутренний и внешний диаметры кольца. Рассчитать теоретическое значение момента инерции кольца по формуле 

.

8. Оценить в процентах отклонение значений момента инерции, полученное в опыте, от теоретически рассчитанной величины.

 

Контрольные вопросы

1. Что представляет собой маятник Максвелла?

2. Как записать закон сохранения механической энергии для маятника Максвелла?

3. В чём заключается метод определения момента инерции кольца с помощью маятника Максвелла?

4. Как рассчитать момент инерции кольца?

5. Что такое плоское движение? Как определить кинетическую энергию при плоском движении тела?

6. Как формулируется основной закон динамики для поступательного и вращательного движения тела?

 

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА И           МОМЕНТА СИЛ ТРЕНИЯ

Лабораторная работа № 4.3

   Цель работы: экспериментальная проверка законов динамики вращательного движения, определение момента инерции маховика и момента сил трения

    Принадлежности: экспериментальная установка, набор грузов, штангенциркуль, секундомер.

 

 Описание установки и методики измерений

Схема установки показана на рис.1. Установка имеет массивный маховик 1 и катушку, насаженные на горизонтально расположенный валик 3. Валик заключен в подшипники скольжения 4, установленные на платформе 5, закрепленной на вертикальной стойке 6. На катушку наматывается нить, один конец которой жестко связан с катушкой, а второй конец нити, переброшенной через легкий шкив 7, связан с ведущим грузом 8. 

      

 

 

Получим выражения для искомых величин, момента сил трения M и момента инерции I маховика. Пусть в свободном устойчивом состоянии системы груз m по нижней грани имеет координату x ₁ (положение1). Путем поворота маховика против часовой стрелки поднимем груз на некоторую предельно возможную высоту и, удерживая маховик, сделаем отсчет координаты x ₂ той же грани нового положения груза (положение 2). При этом высота подъема груза m: h ₁ = x ₁ - x _{2 ,} а его потенциальная энергия U ₁ = U ₀ + mgh ₁. Под  действием силы тяжести  груз начнет опускаться, приводя во вращательное движение маховик. При этом дополнительно сообщенная грузу потенциальная энергия в основном будет переходить в кинетическую энергию маховика и самого груза, и частично в тепловую энергию Q за счет имеющихся сил трения. Когда груз достигнет нижнего положения, система вследствие ограниченности движения груза приобретет максимальную кинетическую энергию, равную

                            T_m = U ₁ - U ₀ – Q = mgh ₁ – Q =  ,                             (1)

где I и w _m – момент инерции и угловая скорость маховика, u _m – скорость груза, Q – рассеянная энергия силами трения, соответствующая промежутку времени перемещения груза на участке пути h ₁. Продолжая вращение, но уже замедленное, маховик, наматывая нить на катушку, начнет поднимать груз вверх. В некоторый момент времени вращение маховика прекратится и груз остановится, допустим на отметке x ₃ (положение 3), после чего груз вновь начнет опускаться, приводя маховик в противоположное вращение.

Понятно, что в положении 3 кинетическая энергия системы будет равна нулю, а потенциальная энергия              

                                         U ₂ = U ₀ + mgh ₂,                                                     (2)           

где h ₂ = x ₁ – x ₃.

 Вследствие действия сил трения полная механическая энергия системы не сохраняется. Первоначально сообщенная системе механическая энергия в процессе движения будет затрачиваться на работу против сил трения и в конечном итоге вся запасенная в начале механическая энергия перейдет во внутреннюю (тепловую) энергию системы. Однако за период времени, когда груз совершил путь h ₁ + h ₂, будет рассеяна только часть сообщенной механической энергии, равной mg (h ₁ - h ₂).

 Если пренебречь трением движущихся тел системы о воздух, то убыль полной механической энергии в процессе движения будет обусловлена работой сил трения в подшипниках вращающегося маховика. Работу сил трения в подшипниках, соответствующую перемещению h ₁ + h ₂ груза m, определим через их момент относительно оси вращения:

                            A _тр = M · j = M ,                                    (3)

где r – средний радиус цилиндрической навивки нити, практически равный радиусу катушки. В равенстве (2) предполагается, что M = const, т.е. M не зависит от w и от давления на ось маховика.

По закону сохранения энергии имеем равенство

                                               mg (h ₁ - h ₂)= M .                                          (4)

Отсюда получим формулу для момента сил трения в подшипниках маховика

                                        M= .                                           (5)          

Второй частью задачи является определение момента инерции тела вращения. Чтобы определить эту величину, рассмотрим принципиальую схему механической системы (рис.2) и составим динамические и кинематические уравнения для движущихся тел – груза и тела вращения:

 

I e = F _н ·r – M,

ma = mg - F _н,

                                                            a = e r,                                                  (6)

a =2 h ₁ / t ².

 

 Система равенств (6) и выражение (5) позволяют получить формулу для момента инерции тела вращения:

.                   (7)

В выражении (7) t - время спуска груза m из положения 2 в положение 1.

 

 Порядок выполнения работы

1.Измерить штангенциркулем диаметр d катушки, закрепленной на валу маховика и записать среднее значение ее радиуса r  в табл.1 вместе с другими величинами.

Таблица  1.

M 0, кг	M 1, кг	m 2, кг	, мм	h 1, см

 

    2. Снять с подвеса перегрузки m ₁ и m ₂. Заменить положение x ₁ нижней грани груза m ₀ и, наматывая нить на поверхность катушки путем поворота маховика против хода часовой стрелки, поднять подвес до отметки x ₂ = x ₁ + h ₁.

    3. Освободить маховик, отпустить подвес без начальной скорости и одновременно с этим включить секундомер. Как только подвес достигает нижнего положения 1 (отметки x ₁), остановить секундомер, продолжая наблюдение за движением груза m ₀ до тех пор, пока он не достигнет максимальной высоты на некоторой отметке x ₃. Показание секундомера t и величину h ₂ = x ₃ – x ₁ внести в табл.2. С грузом m ₀ провести три опыта, результаты которых также поместить в табл.2.   

   4. Аналогичные опыты проделать с перегрузками – сначала с одним m ₁        (m = m ₀ + m ₁), а затем с двумя - m ₁ и m ₂ (m = m ₀ + m ₁ + m ₂), причем в каждом из вариантов – по три опыта.

   5. Выполнить расчеты величин M и I по формулам (5) и (7), а полученные результаты записать в табл.6.2.

    6. Найти средние значения моментов инерции и сил трения данной системы и дать оценку погрешностей проделанных измерений данных величин.

 

 

Таблица 2.

№ опыта

m = m 0

m = m 0 + m 1

m = m 0 + m 1 + m 2

h 2, см

t, с

M Н·м

I, кг·м^2

h 2, см

t, с

M, Н·м

I, кг·м^2

h 2, см

t, с

M, Н·м

I, кг·м^2

1 2 3

 

  7. Вычислить среднее значение величин M и I  

,    .

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеют основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений твердого тела?

2. Записать формулы кинетической энергии твёрдого тела при поступательном, плоском и вращательном движениях.

3. Как формулируются законы сохранения механической энергии и импульса?

4. Как определить работу силы при вращательном движении твёрдого тела?

 

 

                                          

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

В ЖИДКОСТИ

Лабораторная работа 4.9

 

     Цель работы: определения коэффициента вязкости жидкости и числа Рейнольдса.

    Принадлежности: стеклянный цилиндр с жидкостью, микрометр, секундомер, шарики.

 

 Описание установки и методика измерения

Всем реальным жидкостям присуще внутреннее трение, называемое вязкостью. Вязкость проявляется в частности в том, что возникшее в жидкости течение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Рассмотрим установившееся медленное течение жидкости в круглой трубе (рис.1). Ее скорость меняется от нуля в непосредственной близости к стенкам сосуда, до максимума на оси трубы. Жидкость оказывается как бы разделенной на слои, которые скользят друг относительно друга. Такое течение называется ламинарным (слоистым).

Между слоями жидкости действуют силы внутреннего трения, удовлетворяющие соотношению

                                            ,                                                     (1)

где  - коэффициент динамической вязкости, зависящей от природы и состояния жидкости;  - градиент скорости, показывающий, как быстро изменяется скорость в перпендикулярном направлении движения слоев;  - площадь слоя. Коэффициент вязкости жидкости, прежде всего, зависит от температуры, уменьшаясь с ее увеличением.

Единица вязкости – паскаль-секунда (). Это вязкость такой среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости, равном единице, возникает сила внутреннего трения в 1Н на 1 м² поверхности касания слоев.

Слоистое или ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях. С увеличением скорости характер течения жидкости резко меняется. Происходит интенсивное образование вихрей и перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным (вихревым). Характер течения определяется значением безразмерной величины, получившей название числа Рейнольдса

                                              ,                                                      (2)

где  - характерный размер сечения, например, радиус трубы.

При малых течение носит ламинарный характер. Начиная с некоторого значения , называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер.

Один из методов определения вязкости основан на измерении скорости падения в жидкости медленно движущихся небольших тел сферической формы. При движении тела в смачивающей жидкости очень тонкий ее слой прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за внутреннего трения последующие слои. Характер обтекания тела жидкостью зависит от формы тела и вязкости жидкости. Полное обтекание возможно лишь в случае идеальной жидкости (η = 0). Наличие вязкости приводит к тому, что поток жидкости может отрываться от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри. Давление в образующейся за телом вихревой области оказывается пониженным, вследствие чего результирующая сил давления отлична от нуля и обусловливает дополнительное сопротивление давления.

Таким образом, при движении тела в жидкости вдоль ее скорости действуют две силы – сила внутреннего трения и сила сопротивления давления, создающие лобовое сопротивление. Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давления определяется значением числа Рейнольдса.

При малых значениях Re основную роль играет сопротивление трения, так что сопротивлением давления можно пренебречь. По мере увеличения Re роль сопротивления давления все больше растет и становится преобладающей. Стокс установил, что сила сопротивления движению в жидкостях небольших шариков при малых скоростях равна

                                              F ₁ = 6 π η r υ.                                                     (3)

 

 

С учетом того, что на шарик действует еще сила тяжести  

                                            F _Т = mg = 4/3 π r ³ ρ₁ g                                              (4)

и выталкивающая сила (Рис.1)

                                                    F ₂ = 4/3 π r ³ ρ₂ g,                                                (5)

где ρ₁ – плотность шарика; ρ ₂ – плотность жидкости, уравнение движения принимает вид 

                              или     ma = - F ₁ - F ₂ + F _Т.                          (6)

 Сила F ₁  зависит от скорости движения. По достижении некоторой скорости υ ₀ она станет равной силе F _Т – F ₂, в результате чего движение будет равномерным (а=0). Это условие позволяет написать равенство

                                    ,                                       (7)

Отсюда получим

                                              .                                        (8)

Так как r << R, то динамическое влияние стенок трубы радиуса R на оценку коэффициента вязкости η исследуемой жидкости не учитывалось.

 Порядок выполнения работы

 1.Записать табличные для данной установки величины в табл.1.                                                            

Таблица 1

Плотность вещества
Стали ρ ст, кг/м^3	Масла ρ гл, кг/м^3	Свинца ρ св, кг/м^3	Алюминия ρ ал, кг/м^3
7900	870	11340	2600

 

2. Измерить с помощью микрометра диаметр шарика. Найти среднее значение диаметра d и радиуса r = d /2. Опустить шарик в сосуд с жидкостью, как можно ближе к оси цилиндра. Измерив, время t прохождения шарика от верхней метки до нижней и расстояние между ними L, рассчитать установившуюся скорость υ ₀  движения шарика по формуле υ ₀ = L / t. Опыт с разными шариками повторить не менее пяти раз. Результаты измерений занести в табл. 2.

                                                                                                         Таблица 2

Номер Опыта	d,   мм	r,   мм	l ^*,   м	T,   C	u 0,   м/с	η,   кг/м с	,   кг/м с	^2,   кг^2/м^2с^2
1 ----- ---- 5
Среднее значение								∑=

 

3. По формуле (8) расcчитать значение коэффициента динамической вязкости жидкости η. Так как вязкость жидкости сильно меняется с температурой, то необходимо отметить температуру Т во время опыта. Рассчитать число Рейнольдса по формуле (2). Сделать расчеты погрешностей измерений и записать окончательный результат.

                                                       

Контрольные вопросы

1. Что понимают под идеальной жидкостью? На чем основан вывод уравнения Бернулли?

2. Поясните, что такое вязкость жидкости? Какой физический смысл имеет коэффициент вязкости жидкости?

3. В чем отличие ламинарного течения от турбулентного?

4. Что характеризует число Рейнольдса?

5. Каков физический смысл уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости и как его вывести?

 

 

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

 МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ