Уравнения моментной теории оболочек

Рассмотрим слой оболочки на расстоянии z от срединной поверхности. Точки А и  лежат на одной нормали к срединной поверхности и имеют одни и те же координаты

В теории тонких оболочек деформации слоя z определяются гипотезой прямых нормалей, согласно которой точки, лежащие до деформации оболочки на какой-либо нормали к срединной поверхности, будут перемещаться вместе с этой нормалью в процессе деформации оболочки. Эта гипотеза устанавливает кинематическую связь между перемещениями  точки А и перемещениями  точки

                                                                             (30)

Углы поворота  нормали к срединной поверхности в точке А определяются по следующим формулам

Для определения деформаций  слоя z воспользуемся следующими формулами

Заменяя в них перемещения  перемещениями  и геометрические величины  срединной поверхности геометрическими величинами  поверхности слоя z. Получим:

Подставляя в эти уравнения значения  из выражений (30) и учитывая, что

получаем с точность до первой степени величины z:

где - тангенциальные деформации срединной поверхности

Чтобы определить погонные силы и моменты, слой оболочки считают находящими в условиях плоского напряжённого состояния. Закон Гука для слоя z изотропной оболочки без учёта температурных деформаций можно представить в форме

Напряжения  линейно изменяются по толщине оболочки. Вместо напряжений можно ввести статически эквивалентные им погонные силы  и погонные моменты  Поскольку радиусы кривизны для слоя z мало отличаются от радиусов кривизны среднего слоя, получим следующие выражения меридианальной погонной силы:

                                                                (31)

кольцевой погонной силы

                                                               (32)

погонной сдвигающей силы

                                                                       (33)

погонного изгибающего момента в меридиальной плоскости

                                                                (34)

погонного окружного изгибающего момента

                                                                (35)

погонного крутящего момента

                                                                  (36)

Где  -цилиндрическая жёсткость оболочки на изгиб.

В рассматриваемой моментной оболочке при составлении уравнений равновесия элемента  срединной поверхности, к которой отнесены силы  и моменты надо ещё учесть погонные перерезывающие силы  Это чисто статические факторы, определяемые из уравнений равновесия элемента .

Из равенства нулю суммы моментов относительно линии  определяют силу

                                                        (37)

Аналогично из уравнения моментов относительно линии  определяют силу

                                                                          (38)

Получим уравнения равновесия в проекции на касательную к меридиану:

                                                            (39)

то же, для касательной к параллели:

                                                          (40)

и уравнение равновесия в проекции на нормаль:

                                               (41)

Шестое уравнение равновесия элемента — равенство нулю суммы моментов относительно нормали — должно быть следст­вием парности касательных напряжений и удовлетворяться автомати­чески при точных выражениях усилий и моментов через деформации и параметры изменения кривизны.

Для полученных выражений (31)... (36) это уравнение точно не удовлетворяется вследствие отождествления радиусов кривизны рассматриваемого слоя и срединной поверхности. Так как система пя­ти уравнений равновесия в принципе достаточна для полного решения задач о деформации оболочки, шестое уравнение равновесия можно не рассматривать.