Решение показательных уравнений и систем.

Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида . Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.

Задача№4. Решить уравнение  

На первом этапе приведем все к одному показателю степени. Так как у нас есть выражение , то, применяя свойство степени разности получим, что , Подставим . Избавимся от знаменателя, для этого обе части уравнения умножим на 4, получим ;    

Разделим обе части уравнения на 3, получим ;    

Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим         Ответ:  

Задача№5. Решить уравнение  

Используя свойства степеней, выражение  можно переписать следующим образом: . Подставим уравнение

Сделаем замену, пусть  тогда уравнение примет вид

Используя теорему Виета или формулу дискриминанта, получим следующие корни

Вернемся к замене:

1) , тогда

2)  тогда

Ответ:  и .

Задача№6. Решить систему уравнений

Для решения данной системы уравнения воспользуемся методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 2 и сложим уравнения между собой

     ;

;       ;  ;      

Чтобы найти вторую переменную  подставим  во второе уравнение, получим

; ;    

Ответ: (-2;0).

Решение тригонометрических уравнений и систем

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, содержащее в себе одну или несколько тригонометрических функций.

    Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

  Также пригодится таблица значений тригонометрических функций

Задача№7. Решить уравнение  

Приведём уравнение к однородному, т.е. к такому, в котором только один вид тригонометрической функции. Из основного тригонометрического тождества можно вывести следующую формулу . Подставим ее в уравнение

 ;

Обе части уравнения умножим на -1, получим      

Сделаем замену , получим           

Получили квадратное уравнение, решая его через дискриминант:

Вернемся к замене. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

1)

2)

Ответ:  и .

Задача№8. Решить уравнение  

Приводим уравнение к однородному: разделим обе части уравнения на .

         

, получим

Замена: пусть , тогда уравнение примет вид

Вернемся к замене. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

1)

2)

Ответ:  и .

Задача№9. Решить систему уравнений

;        

Воспользовавшись формулой синуса суммы, получим

;                  ;

Разделим обе части уравнения на ; ;

Чтобы найти вторую переменную  подставим найденный  в выражение :

                Ответ: .