Тема: соотношение неопределенностей Гейзенберга. Уравнение Шредингера.

Основные формулы

Энергия фотона		; hω	(1) (2)
Масса фотона			(3)
Импульс фотона			(4)
Соотношение неопределенностей Гейзенберга			(5)
Соотношение неопределенностей Гейзенберга			(6)
Длина волны де Бройля			(7)
Общее уравнение Шредингера (зависящее от времени):		, где Ψ = Ψ(x, y, z, t) – волновая функция, описывающая состояние частицы; ħ = h / 2 π; m - масса частицы; Δ - оператор Лапласа (ΔΨ = ∂^2Ψ / ∂x^2 + ∂^2Ψ / ∂y^2+ ∂^2Ψ / ∂z^2);  - мнимая единица; U = U(x, y, z, t) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.	(8)
Уравнение Шредингера для стационарных состояний:		,	(9)
Вероятность нахождения частицы в объеме dV:		dW = ΨΨ^*dV = | Ψ |^2dV, гдеΨ = Ψ (x, y, z)– координатная (амплитудная) часть волновой функции, Ψ^*- функция, комплексно сопряженная сΨ; | Ψ |^2 = ΨΨ^*- квадрат модуля волновой функции	(10)
Условие нормировки вероятностей		| Ψ |^2dV = 1, где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам x, y, z от - ∞ до + ∞.	(11)
Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до x2:		W = | Ψ(x)|^2dx.	(12)
Среднее значение физической величины L, характеризующей частицу, находящуюся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ:		<L> = L | Ψ |^2dV.	(13)
		Ψ (x, y, z, t) = ψ (x, y, z) e^–^i^* (^E^/ ħ) *^t); где ψ = ψ (x, y, z) – координатная часть волновой функции	(14)
Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы:		, где A – амплитуда волны де Бройля; px = k ħ - импульс частицы; E = ħ ω - энергия частицы.	(15)
Собственные значения энергии En частицы, находящейся на n–м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению энергии:		En= n^2 (π^2 ħ^2) / (2 m l^2), (n = 1, 2, 3, …),     , (n = 1, 2, 3, …). где l – ширина ямы.	(16)
Глубина проникновения квантовой частицы вглубь барьера:		.,	(18)
Коэффициент отражения:		,	(19)
Коэффициент прозрачности Dпрямоугольного потенциального барьера конечной ширины l:		, гдеD0– множитель, который можно приравнять единице; U- высота потенциального барьера; E - энергия частицы.	(20)
Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике:		, где (m* ω0^2 * x^2) / 2 = U– потенциальная энергия осциллятора; ω0- собственная частота колебаний осциллятора; m - масса частицы.	(18)
Собственные значения энергии квантовой частицы:			(18)
Собственные значения энергии гармонического осциллятора:		En = (n + 1/2) ħ ω0, (n = 0, 1, 2, …).
Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора:		E0 = 1/2 ħ ω0.
Общее уравнение Шредингера				(1)
Уравнение Шредингера для стационарных состояний				(2)
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной потенциальной ямы				(3)
Собственные функции				(4)
Энергия частицы				(5)
Энергетический интервал между двумя соседними уровнями				(6)

Методические указания

Гипотеза Планка утверждает, что излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а дискретно, т.е определенными порциями (квантами).

Энергия кванта определяется частотой ν: где h- постоянная Планка.

 Для микрочастицы одновременно невозможно точно определить и величину координату и импульса, а неопределенности этих величин подчиняются соотношению неопределенностей Гейзенберга. Соотношение неопределенностей Гейзенберга является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Состояние микрочастиц в квантовой механике описывается с помощью волновой функции Y, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах.

Примеры решения задач

Пример №1. Определить неопределенность Δх в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью ν = 1.5_*10⁶ м/с, если допускаемая неопределенность Δν в определении скорости составляет 10 % от ее величины.

Дано:	Решение:
vx = 1.5*10^6м/с me = 9.1*10^-31кг Δ vx = 10% vx= = 0.15*10^6 м/с	Запишем соотношение неопределенностей для координаты х и проекции импульса рx и найдем ответ на вопрос задачи. Δх* Δ vx*me ≥ h /(2*π); Δх = h/(2*π *me* Δ vx).
Δх=?

Ответ: Δх = 0.77 м

 

Пример №2. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике (яме) шириной L = 0.5 нм на первом энергетическом уровне. Найти вероятность нахождения электрона в интервале L / 4, равно удаленном от стенок ящика.

Дано:	Решение:
L=0.5*10^-9м n = 1 ΔL = L / 4	Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2 равна: W = P = ∫│φ (х)│^2*dx Выразим х1 и х2 через L.
W = P=?

х₁ = L/2 – L/8 = 3_*L/8;

х₂ = L/2 + L/8 = 5_*L/8.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид:

.

Т.к по условию задачи n = 1, то

.

Получим:

.

Преобразуем, произведя замену для вычисления интеграла:

,

и разобьем на два интеграла:

.

Проведем расчет:

Ответ: W = P = 0,2485 ≈ 0,249.

 

Пример №3. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d = 0.5 нм Высота барьера U больше энергии Е электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D если энергия электрона Е = 100 эВ.

Дано:	Решение:
E= 100 эВ U = Е + 1%Е d = 0.5нм = 5*10^-10м	По определению коэффициент прозрачности D равен: . Подставив данные, получим:
D=?

.

Ответ: D = 6.5_*10^-3.

 

Пример №4. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Запишите уравнение Шредингера в пределах "ямы" 0 ≤ Х ≤ l и решите его.

Дано:	Решение:
0 ≤ Х ≤ l X< 0, U→ ∞ X>l, U→ ∞	. 0 ≤ Х ≤ l, U = 0,
Ψ(x) -?

.

,

.

.

, B = 0, , ,

.

Ответ: .

 

Пример №5. Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U, причем Е <U. Принимая А₁ = 1 и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определить плотность вероятности | Ψ₂(0) | ² обнаружения частицы в точке х = 0 области 2.

 

Дано:	Решение:
Е <U А1 = 1 Ψ1(0) = Ψ2(0) Ψ1¢(0) = Ψ2¢(0)	, . , . ,
| Ψ2(0) | ^2 =?

,

, .

,

1 + B₁ = A₂, k₁ - B₁ k₁ = A₂k₂

B₁ = A₂ – 1, k₁ – (A₂ – 1) k₁ = A₂k₂

2 k₁ = (k₁ + k₂)A₂, A₂ = 2 k₁ / k₁ + k₂

Ответ: .

 

Пример №6. Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид Ψ(x) = Asinkx. Определите: 1) вид собственной волновой функции Ψ _n (x); 2) коэффициент А, исходя из условия нормировки вероятностей.

Дано:	Решение:
Ψ(x) = Asinkx	Ψ (0) = Ψ (l) = 0, Ψ (l) = A sin kl = 0. kl = n π, k = n π / l, Ψ n (x) = A sin n π / l x.
1) Ψn(x) =? 2) A =?

| Ψ _n (x) |² dx = 1,

 A²sin ² n π / l * x dx = A² l/2 = 1,

Ответ: 1) Ψ _n (x) = A sin n π / l * x; 2) .