Институт математики, физики и информационных технологий

Институт математики, физики и информационных технологий

Кафедра «Общая и теоретическая физика»

 

 

Потемкина С.Н., Сарафанова В.А.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ

 

3^й семестр

 

Модуль 6

 

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ И АТОМНОЙ ФИЗИКИ

Практическое занятие №6.

Тема: Тепловое излучение.

Основные формулы

Энергетическая светимость		(1)
Спектральная плотность энергетической светимости	,	(2)
Спектральная поглощательная способность	.	(3)
Закон Кирхгофа:	.	(4)
Закон Стефана-Больцмана:	. σ - постоянная Стефана-Больцмана,T- термодинамическая температура. σ = 5,67 * 10^-8 Вт/(м^2 * К^4). .	(5)
Закон смещения Вина:	, b- постоянная Вина. b = 2,9 · 10^-3 м ·К	(6)
Интегральная энергетическая способность тела:	.	(7)   (8)
Радиационная температура:		(9)
Цветовая температура:		(10)
Связь между радиационной температурой и истинной:	, где АТ – поглощательная способность серого тела.	(11)
Формула Планка для универсальной функции Кирхгофа:	, или , или ,	(12)     (13)     (14)

Методические указания

Известно, что тела, нагретые до достаточно высоких температур, светятся. Свечение тел, обусловленное нагреванием, называется тепловым (температурным) излучением. Тепловое излучение совершается за счет энергии теплового движения атомов и молекул вещества (т.е. за счет внутренней энергии вещества). Оно свойственно всем телам, температура которых выше 0 К. Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, а при низких температурах – преимущественно длинные (инфракрасные).

Особенностью теплового излучения является его равновесность, т. е. тело в единицу времени излучает столько же энергии, сколько и поглощает.

При изучении теплового излучения вводят понятия черного и серого тел.

Тело, способное поглощать полностью при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты, называется абсолютно черным (АЧТ). Тело, поглощательная способность которого меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и состояния поверхности, называется серым (СТ).

При решении задач на определение характеристик теплового излучения удобно использовать определения его характеристик (1), (2), (3) и три закона теплового излучения: закон Кирхгофа (4), закон Стефана –Больцмана (5) и закон смещения Вина (6).

При определении температуры нагретых тел с помощью законов теплового излучения, принято использовать три вида температуры нагретых тел.

1. Радиационная температура – это такая температура, при которой энергетическая светимость АЧТ равна энергетической светимости исследуемого тела. Для ее расчета используют закон Стефана-Больцмана (5). Радиационная температура всегда меньше истинной температуры тела.

2.  Для серых тел или близких к ним по свойствам тел, распределение энергии в спектре такое же, как и в спектре АЧТ, имеющего такую же температуру. Поэтому к серым телам применим закон смещения Вина. Зная длину волны, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, можно найти температуру, называемую цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной.

3. Яркостная температура – это температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна плотности энергетической светимости исследуемого тела. Истинная температура тела всегда больше яркостной.

Примеры решения задач

Пример №1. Найти температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью S = 6,1 см² имеет мощность N = 34,6 Вт. Излучение считать близким к излучению АЧТ.

Дано:	Решение:
S = 6.1см^2 N = 34.6 Вт	По определению: Rэ= W/S·t или
Т –?
	Rэ = N/S	(1)

Согласно закону Стефана–Больцмана для АЧТ:

.

(2)

Сравнив (1) и (2) получим:

Т= .

Проверка единицы измерения:

.

Расчет: К.

Ответ: Т = 1000 К

Пример №2. Температура вольфрамовой спирали 25-ваттной электрической лампочки T = 2450 К. Отношение ее энергетической светимости к энергетической светимости АЧТ при данной температуре равно k = 0.3. Найти площадь излучающей поверхности.

Дано:	Решение:
N = 25Вт T = 2450К k= 0.3	Для нечерного тела величина энергетической светимости равна: Rэ= k1*σ*T^4, а по определению Rэ^'= N/S. Тогда
S =?

N/S = k_*σ_*T⁴,

S = N/σ_*k_*T⁴.

Проверка единицы измерения:

[S] = м² = Вт_*м²_*K⁴/Вт_*K⁴ = м²;

Расчет числового значения: S = 0.4079_*10^{-4 м2}≈ 0.41см²;

Ответ: S = 0.41 см²

Пример №3. Какую энергетическую светимость R_э имеет АЧТ, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λ = 484 нм?

Дано:	Решение:
λmax= 484 нм	Согласно закону Стефана-Больцмана: Rэ = σ·T^4 (1).
Rэ =?

Для нахождения T воспользуемся законом Вина:

λ_m= C₁/T,

отсюда:

T=C₁/λ.

Получим:

R_э = (σ_*C₁⁴)/λ⁴.

Проверка единицы измерения:

[R_э] = Дж/м²·с = Вт/м²·К⁴ ·м⁴_*К⁴/м⁴ = Дж/с·м²;

Расчет числового результата:

R_э = (5,67·10^-8·2.9⁴·10^-12)/(484)⁴·10^-36 = (10²⁰·5.67·2.9⁴)/(484)⁴ = = 73.5 МВт/м²

Ответ: R_э = 73.5 МВт/м².

Пример №4. Абсолютно черное тело имеет температуру T₁ = 2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилось на ∆λ = 9мкм. До какой температуры T₂ охладилось тело?

Дано:	Решение:
T1 = 2900 К ∆λ = 9мкм = 9·10^-6 м	Согласно закону Вина: λmax2 = C1/T2, гдеT1-начальная, а T2-конечная температура тела;
T2=?

λ_max1 = C₁/T₁

Т.к. тело охлаждается, то T₂ < T₁ , аλ_max2 >λ_max1; λ_max2 = λ_max1+∆λ

И получим:C₁/λ_max+∆λ = T₂

T₂ = C₁/(C₁/T₁)+∆λ = 1/(1/T₁)+(∆λ/C₁) = C₁·T₁/(∆λ·T₁+C₁)

Проверка единицы измерения:[T₂] = K= м·К/м = К;

Расчет числового значения:

T₂ = 290 К;

Ответ: T₂ = 290 К.

Пример №5. При нагревании АЧТ длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилась от 690 до 500 нм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?

Дано:	Решение:
λ1 = 690 нм λ2=500 нм	По закону Стефана – Больцмана для АЧТ имеем:
Rэ2 / Rэ1=?

где Т₁ и Т₂ – температуры соответствующие значениям λ₁ и λ ₂.

Значения температур найдем из 1-го закона Вина:T₁=С₁/λ_max1

T₂=C₁/λ_max2

Получим: R_э1 = σ ·С₁⁴/λ_max1⁴; R_э2 = σ ·С₁⁴/ λ_max2⁴;

Найдем отношение:

R_э2/R_э1=σ·С₁⁴·λ_max1⁴ / λ_max2⁴· σ·C₁⁴=(λ_max1/λ_max2)⁴

Проверка единицы измерения:

[R_э2/ R_э1]=1 (безразмерная величина)

Расчет числового значения:

R_э2/R_э1=3.63 (раз)

Ответ: R_э2/R_э1=3.63 раз.

Пример №6. Исследования спектра излучения Солнца показывают, что максимум спектральной плотности излучательной способности соответствует длине волны λ=500 нм. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить: 1) излучательность R_e Солнца; 2) поток энергии Ф, излучаемый Солнцем; 3) m массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Дано:	Решение:
λ = 500 нм t = 1 c	1. Излучательность Re АЧТ выражается законом Стефана-Больцмана: Re = σ * T^4. Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина: λmax = b / T.
Re -? Ф -? m -?

Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана-Больцмана, получим:

R_e = σ(b / λ_max)⁴.

Расчет: R_e= 64 МВт / м²

2. Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению излучательности Солнца на площадь S его поверхности:Ф = R_eS

Или Ф = R_e 4 πr²,

гдеr – радиус Солнца. Подставив в формулу значения π, r и R_e и, произведя вычисления, получим:         Ф = 3,9 10 ²⁶ Вт.

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t = 1 c, определим применив закон пропорциональности массы и энергии Е = m с². Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время:    Е = Ф t.

Следовательно,        Ф t = m с²,

Откуда: m = Ф t / с².

Расчет: m = 4 10 ¹² г.

Ответ: m = 4 10 ¹² г.

Пример №7. Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке, диаметром d = 0,8 мм, температура которого в вакууме поддерживается постоянной и равной t = 2800 ⁰ С. Поверхность проволоки считать серой с поглощательной способностью А_Т = 0,343. Удельное сопротивление проволоки при данной температуре ρ = 0,92 * 10 ^–4 Ом см. Температура окружающей проволоку среды t₀= 17 ⁰ С.

Дано:	Решение:
d = 0,8 мм = 8 10 ^–4 м t = 2800^0 С Т = 3073 К АТ = 0,343 ρ = 0,92 10 ^–4 Ом см = = 9,2 10 ^–7 Ом м t0= 17 ^0 С T0 = 290 К	Ризл = АТσT^4S Рпогл = АТσT0^4S Р = (Ризл - Рпогл) = АТσS (T^4 - T0^4) Р = I ^2 R S = π d l; R = ρ l / Sсеч; Sсеч = π d ^2 / 4 Расчет: I = 48,8 А.
I =?

Ответ: I = 48,8 А.

БИЛЕТ N 1

1. Запишите определение и единицу измерения в СИ: а) энергетической светимости тела; б) спектральной поглощательной способности тела.

2. Сформулируйте: а) закон Кирхгофа для теплового излучения; б) Какой физический смысл имеет универсальная функция Кирхгофа?

3. Запишите формулу определяющую: а) величину спектральной плотности энергетической светимости тела; д) закон Стефана-Больцмана.

4. При увеличении термодинамической температуры АЧТ в 1,5 раза длина волны, на которую приходится max спектральной плотности энергетической светимости, уменьшилась на Δλ = 200 нм. Определить начальную и конечную температуры тела.

БИЛЕТ N 2

1. Запишите определение и единицу измерения в СИ: а) интегральной энергетической светимости тела; б) спектральной плотности энергетической светимости тела.

2.Сформулируйте: а) Закон смещения Вина; б) запишите численное значение и единицу измерения постоянной Стефана-Больцмана.

3. Определите, как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, если повысить его температуру?

4. Определите температуру тела, при которой оно при температуре окружающей среды t^o =27^оС излучало бы энергии в 8 раз больше, чем поглощало.

БИЛЕТ N 3

1. Запишите определение и единицу измерения в СИ: а) спектральной энергетической светимости тела; б) энергетической светимости тела.

2.Сформулируйте: а) закон Стефана -Больцмана; б) запишите численное значение и единицу измерения постоянной Вина.

3.Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость АЧТ, если его термодинамическая температура уменьшится в 2 раза?

4. Найти температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью S = 6,1 см² имеет мощность N = 34,6 Вт. Излучение считать близким к излучению АЧТ.

БИЛЕТ N 4

1. Запишите: а) определение спектральной плотности энергетической светимости и единицу ее измерения; б) формулуРэлея_Джинса.

2. Запишите формулу определяющую: а) величину радиационной температуры тела; д) закон Стефана-Больцмана.

3. Определите, как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, если понизить его температуру?

4.  Температура вольфрамовой спирали 25-ваттной электрической лампочке T = 2450 К. Отношение ее энергетической светимости к энергетической светимости АЧТ при данной температуре равно k = 0.3. Найти площадь излучаемой поверхности

БИЛЕТ N 5

1. Запишите определение и единицу измерения в СИ: а) радиационной температуры тела; б) энергетической светимости тела.

2.Сформулируйте: а) закон Кирхгофа; б) запишите численное значение и единицу измерения постоянной Вина в законе Вина.

3. Почему вольфрам является лучшим материалом для изготовления нитей ламп накаливания?

4. Найти температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью S = 6,1 см² имеет мощность N = 34,6 Вт. Излучение считать близким к излучению АЧТ.

БИЛЕТ N 6

1. Запишите определение: а) яркостной температуры тела; б) энергетической светимости тела.

2.Запишите: а) формулу Планка для универсальной функции Кирхгофа; б) численное значение и единицу измерения постоянной Планка.

3. Какое излучение называется тепловым? Какова его особенность?

4. Абсолютно черное тело имеет температуру T₁ = 2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилось на ∆λ = 9мкм. До какой температуры T₂ охладилось тело?

БИЛЕТ N 7

1. Запишите определение: а) абсолютно черного тела; б) теплового излучения

2.Запишите: а) формулу для расчета цветовой температуры серого тела; б) численное значение и единицу измерения постоянной Стефана-Больцмана.

3. Какие методы измерения температуры тела называются оптической пирометрией?

4. При нагревании АЧТ длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилась от 690 до 500 нм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?

БИЛЕТ N 8

1. Запишите определение: а) энергетической светимости тела, б) какова особенность, выделяющая тепловое излучение среди всех видов излучения?

2. Запишите формулу, определяющую: а) закон смещения Вина; б) энергетическую светимость АЧТ. Привести пример АЧТ.

3. Определите, как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, если повысить его температуру?

4. Температура АЧТ при нагревании изменилась от 1000 до 3000 К. Во сколько раз увеличилась при этом его энергетическая светимость?

БИЛЕТ N 9

1.  Сформулируйте: а) теплового излучения; б) определение абсолютно черного тела. 

2. Запишите формулу, определяющую: в) длину волны, соответствующую максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости АЧТ; б) цветовую температуру серого тела.

3. Запишите: а) формулу для расчета радиационной температуры черного тела; б) численное значение и единицу измерения постоянной Вина.

4. Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке, диаметром d=0,8 мм, температура которой в вакууме поддерживается постоянной и равной t^о = 2800 ⁰ С. Поверхность проволоки считать серой с поглощательной способностью А_Т = 0,343. Удельное сопротивление проволоки при данной температуре ρ = 0,92 * 10 ^–4 Ом см. Температура окружающей проволоку среды t₀= 17 ⁰ С.

БИЛЕТ N 10

1. Запишите определение и единицу измерения в СИ: а) спектральной плотности энергетической светимости тела; б) спектральной поглощательной способности тела.

2.Запишите: а) формулу Рэлея-Джинса; б) численное значение и единицу измерения постоянной Вина.

3.Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость АЧТ, если его термодинамическая температура уменьшится в 3 раза?

 4. Температура АЧТ при нагревании изменилась от 1000 до 3000 К. На сколько изменилась при этом длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности его энергетической светимости?

Металлическая поверхность площадью S=15 cм², нагретая до температуры 3000 К, излучает за одну минуту 100 кДж. Определите: энергию, излучаемую этой поверхностью, считая её черной.

Практическое занятие № 7

Волны де Бройля

Основные формулы

Энергия кванта света (фотона):	eg = hν, гдеh = 6,626·10^-34Дж·с - постоянная Планка, ν (Гц) – частота колебания.	(1)
Импульс фотона:	,	(2)
Масса фотона:	, где с = 3·10^8 м/с – скорость распространения света в вакууме.	(3)
Длина волны де Бройля:	, если v<<c	(4)
Длина волны де Бройля:	еслиυ ≈ с, то ,	(5)
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:	, где АВЫХ – работа выхода электрона из металла,me = 9,1·10^-31 кг – масса электрона,N –число фотонов, одновременно передающих энергию электрону, испускаемому металлом (N=2 .	(6)
Уравнение Эйнштейна для многофотонного внешнего фотоэффекта:	,. где АВЫХ – работа выхода электрона из металла,me = 9,1·10^-31 кг – масса электрона.	(6а)
Максимальная кинетическая энергия электронов, вылетевших с поверхности:	Wк мах = e·Uз , где Uз – задерживающая разность потенциалов.	(7)
Максимальная скорость электронов вылетевших с поверхности	.	(8)
Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта	.	(9)
Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии:	, где φ – угол рассеивания электрона.	(10)
Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность	p = [ Ee / c ] (1 + ρ) = ω (1 + ρ), где Ee = Nhυ – облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени);ρ - коэффициент отражения; ω- объемная плотность энергии излучения.	(11)
Связь де Бройлевской волны частицы с импульсом p:	λ = h / p, где h – постоянная Планка. h = 6,63 * 10 ^– 34 Дж * с.	(12)
Фазовая скорость волны де Бройля:	υфаз = ω / k = E / p = c^2 / υ, где E = ħ ω – энергия частицы (ω - круговая частота); p = ħ k – импульс, k = 2 π / λ- волновое число.	(13)
Групповая скорость волны де Бройля:		(14)
Длина волны Комптона	,гдеm- масса электрона, с- скорость света в вакууме.	(15)

Методические указания

Гипотеза Планка, что атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями - квантами, позволила объяснить явление фотоэффекта.

Так как излучение испускается определенными порциями, то энергия осциллятора e_gможет принимать только определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e₀.

При решении задач на явления фотоэффекта необходимо выяснить, какой тип фотоэффекта происходит согласно условиям задачи, выбрать соответствующее ему выражение или закон и найти искомую величину.

 В случае нелинейного (многофотонного) фотоэффекта плотность фотонов в лазерных пучках очень велика, поэтому фотоэлектрон может приобрести энергию, необходимую для выхода из вещества, даже под действием света с частотой, меньшей красной границы при однофотонном фотоэффекте. Таким образом, красная граница нелинейного фотоэффекта смещается в область более длинных волн.

Наиболее полно корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона.

Эффект Комптона - это результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами вещества. При решении задач на эффект Комптона необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.

Примеры решения задач

Пример №1. Электрическая лампа мощностью 100Вт испускает 3% потребляемой энергии в форме видимого света (λ=550 нм) равномерно по всем направлениям. Сколько фотонов видимого света попадает за 1с в зрачок наблюдателя (диаметр зрачка 4 мм), находящегося на расстоянии 10 км от лампы?

Дано:	Решение:
r = 10000 м Pл = 100 Вт λ = 550 нм = = 5,5·10^-7 м d = 4·10^-3м t = 1 c	Полная световая энергия, приходящаяся на единицу площади поверхности, удаленной от источника на расстояние r, равна: Sср=4πr^2, Wсв=0,03·100вт·1с/4πr^2. Энергия одного кванта света εγ= hυ=h c /λ. Число фотонов, попадающих на единицу площади поверхности, удаленной на расстояние r от источника:
Nγ=?

N ` _γ=0,03·P·t·λ/4·π·r²·h·c.

Площадь зрачка наблюдателя

S_зр=π·d²/4.

Тогда

N_γ= N`_γ· S_зр =0,03·P·t·λ·π·d²/16·π·r²·h·c.

Проверка единицы измерения расчетной величины:N_γ =1=Дж·м²·м·с/м²·Дж·м·с=1

Расчет числового значения:N_з=8,3·10⁴ фотонов.

Ответ: N_з=8,3·10⁴фотонов.

 

Пример №2. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой υ₁ = 2,2·10¹⁵, полностью задерживается разностью потенциалов U_з1 = 6.6 В, а вырываемые светом с частотой υ₂ = 4,6·10¹⁵ Гц разностью потенциалов U_з2 = 16.5 В.

Дано:	Решение:
υ1 = 2,2·10^15 Гц Uз1 = 6.6 В υ2 = 4,6·10^15 Гц Uз2 = 16.5 В	Запишем уравнение Эйнштейна для явления внешнего фотоэффекта: h·υ1 = Aвых+е·Uз1, h·υ2 = Aвых+е·Uз2.
h=?

Выразим изА_вых:

А_вых= h·υ₁- е·U_з1,

и подставим в уравнение Эйнштейна

h·υ₂ = h·υ₁ -е·U_з1+ е·U_з2.

Преобразуем так:

h·(υ₂-υ₁) = е·(U_з2-U_з1).

И получим:

h = e·(U_з1-U_з2)/(υ₂- υ₁).

Проверим единицу измерения:

(h) = Дж·с=Кл·В/с^-1= Дж·с

Расчет:

h=1,6·10^-19Кл·9,9В/2,4·10¹⁵=6,6·10^-34Дж·с

Ответ: h=6.6·10^-34Дж·с.

Пример №3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь прошел ускоряющую разность потенциалов U=30кВ. Найти длину волны де Бройля.

Дано:	Решение:
v0 = 0 me=9.1*10^-31кг Uуск.=30·10^3=3·10^4В	По определению длина волны де Бройля равна: λ = h/p. Определим, классически или релятивистки движется электрон. Для этого найдем кинетическую энергию электрона и сравним ее с энергией покоя.
λ=?

Е₀=m_0·c².

Если Т_к=<T₀, то движение электрона является релятивистским,

еслиТ_к<<T₀, то классическим.

Т = е·U₁ = 1.6·10^-19 ·3·10⁴Дж = 4.8·10^-15Дж = 3·10⁴ эВ; еU = m_{e ·}v² / 2.

.

E₀ = m_0·c²=0.5 МэВ = 5·10⁵эВ

Т. к Т<<Е₀- имеем дело с классическим случаем движения электрона.

Тогда

.

Расчет числовой величины:

λ= 11, 61 10 ^–25 м.

Ответ: λ = 11, 61 * 10 ^–25 м.

Пример №4. Определить максимальную скорость υ_мах фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ₁ = 0,155 мкм; 2) γ – излучением с длиной волны λ₂ = 2,47 пм.

Дано:	Решение:
λ1 = 0,155 мкм = = 0,155 10 ^–6 м λ2 = 2,47 пм = = 2,47 10 ^–12 м А вых = 4,7 эВ	Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: ε = А вых + Ек мах. Энергия фотона: ε = hc / λ. Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле:
υмах

Е_к = m₀υ ² / 2,

или по релятивистской:

Е_к = (m - m₀) с ².

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона во много раз меньше энергии покоя электрона, то может быть применена классическая формула; если же энергия фотона сравнима с энергией покоя электрона то вычисление по классической формуле приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по релятивистской формуле.

ε₁ = hc / λ_1.

ε₁ = 8 эВ.

Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая:

ε₁ = А _вых + m₀υ ² / 2,

откуда:

.

Расчет:

υ_мах = 1,08 Мм/с.

Вычислим энергию фотона γ – излучения:

ε₂ = hc / λ₂ = 8,04 * 10 ^–15 Дж = 0,502 МэВ.

Работа выхода электрона пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ – фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:

Е_{к мах} = ε₂ = 0,502 МэВ.

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии:

Е_{к мах} = Е₀(1/  – 1),

где Е₀ = m₀ с ², выполнив преобразования получим:

β =  (2 Е₀ + Е_{к мах}) Е_{к мах} / (Е₀ + Е_{к мах}) = 0,755

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ – излучением:

υ_мах = с β = 226 Мм/с.

Ответ: 1) υ_мах = 1,08 Мм/с. 2) υ_мах = 226 Мм/с.

Пример №5. Определить красную границу λ₀ фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ= 400 нм максимальная скорость фотоэлектронов равна υ_мах = 0,65 Мм/с?

Дано:	Решение:
λ= 400 нм = = 4 * 10 ^–7 м υмах =0,65мм/с = = 6,5 * 10 ^5 м/с	При облучении светом, длина волны λ0 которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а,следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта запишется в виде: ε = А вых + Ек;
λ0 =?

hc / λ₀ = А,

отсюда:

λ₀ = hc / А.

Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйнштейна:

А _вых = ε - Е_к = hc / λ - m υ ² / 2 = 3,05 * 10 ^–19 Дж,

тогда:

λ₀ = 640 нм.

Ответ: λ₀ = 640 нм.

Пример №6. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ = 90 ⁰. Энергия ε^, рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.

Дано:	Решение:
θ = 90 ^0 ε^, = 0,4 МэВ	Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона в виде: λ^, - λ = 2 * (2 π ħ / m с) sin^2 θ/2,
ε =?

преобразуем, с учетом:

ε = 2 π ħ с / λ,

а длины волн λ^, и λ выразим через энергии ε^, и ε соответствующих фотонов:

2 π ħ с / ε^, - 2 π ħ с / ε = (2 π ħ с/ m с²) 2 sin² θ/2

ε = (ε^, m с² ) / m с² - ε^, 2 sin² θ/2 = ε^, Е₀ / Е₀ – 2 ε^,sin² θ/2, где Е₀ = m₀ с ²

Расчет: ε = 1,85 МэВ.

Ответ: ε = 1,85 МэВ.

Пример №7. Параллельный пучок света длиной волны λ = 500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление р = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию фотонов n в пучке; 2) число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с.

Дано:	Решение:
λ = 500 нм S = 1 м^2 р = 10 мкПа t = 1c	Концентрация фотонов n в пучке может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии ω на энергию одного фотона ε n = ω / ε. Из формулы p = ω * (1 + ρ), определяющей давление света, где – коэффициент отражения найдем:
n=? n1=?

ω = p / (1 + ρ).

И получим:

n = p / (1 + ρ) ε.

Энергия фотона зависит от частоты, а следовательно и от длины световой волны:

ε = hυ = hc / λ.

Получим искомую концентрацию фотонов:

n = p λ / (1 + ρ) hc.

Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности принимаем равным нулю.

Расчет:

n = 2,52 * 10 ¹³ м^–3.

Число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с, найдем из соотношения n₁ = N / St, где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но N = ncSt, следовательно, n₁ = ncSt / St = nc

Расчет:

n₁ = 7, 56 * 10 ²¹ м^–2 с ^–1

Ответ: n = 2,52 * 10 ¹³ м^–3, n₁ = 7, 56 * 10 ²¹ м^–2 с ^–1.

Билеты для самоконтроля

Билет № 1

1.Сформулируйте определение: а) "красной границы" фотоэффекта; б) внешнего фотоэффекта.

2. Запишите формулу, определяющую: в) массу фотона; б) численное значение и единицу измерения постоянной Планка.

3. Нарисуйте и объясните вольт-амперную характеристику фотоэлемента с внешним фотоэффектом; 

4. Фотон с энергией 0,3 МэВ рассеялся под углом q= 180^о на свободном электроне. Определите отношение энергии падающего фотона к энергии рассеянного фотона.

 

Билет № 2

 1. Запишите: а) Какие условия необходимы для многофотонного фотоэффекта; б) формулу определяющую импульс фотона.

2.Сформулируйте 1 и 2 и 3-ой законы внешнего фотоэффекта.

3.При замене одного металла другим длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, уменьшается. Сравните величины работ выхода этих металлов.

4.Найти численное значение постоянной Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой υ₁ = 2,2·10¹⁵ Гц, полностью задерживается разностью потенциалов U_з1 = 6,6 В, а вырываемые светом с частотой υ₂ = 4,6·10¹⁵ Гц - разностью потенциалов U_з2 = 16,5 В.

Билет № 3

1.Запишите: а) уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта; б) формулу, определяющую давление света при нормальном падении.

2. Сформулируйте: а) какое явление называется эффектом Комптона? Б) что такое задерживающее напряжение?

3.Объясните, используя уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, 1 и 2-й законы фотоэффекта.

4. Определите максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цинка g- излучением с длиной волны l=2,47 пм. Работа выхода из цинка А=4 эВ.

Билет № 4

5. Сформулируйте 2 и 3-ой законы внешнего фотоэффекта.

6. Нарисуйте вольт-амперную характеристику фотоэлемента с внешним фотоэффектом и объясните, возникновение фототока насыщения.

7. Запишите: а) формулу Комптона; б) формулу, определяющую максимальное значение скорости вырванного из фотокатода фотоэлектрона.

4. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину волны де Бройля.

Билет № 5

1. Запишите определение: а) внутреннего фотоэффекта; б) вольт-амперной характеристики фотоэффекта.

2. Запишите формулу, определяющую: а) формулу де Бройля; б) комптоновскую длину волны, при рассеянии фотона на электроне. 

3.Чему равно отношение давлений света на зеркальную и зачерненную поверхности?

4. Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона, длина волны которого λ= 2пм.

Билет № 6

1. Запишите определение: а) красной границы фотоэффекта; б) гипотезу де Бройля.

2. Запишите формулу, определяющую: а) массу фотона; б) импульс фотона.

3. В чем заключается отличие характера взаимодействия фотона и электрона при явлениях фотоэффекта и Комптона? 

4. При освещении катода вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны l=10 нм фототок прекращается при некотором задерживающем напряжении. При увеличении длины волны на 25% задерживающее напряжение оказывается меньше на 0,8 В. Определите по этим данным величину постоянной Планка.

Билет № 7

1. Нарисовать и пояснить вольт-амперную характеристику для фотоэлемента с внешним фотоэффектом.

2. Запишите формулу, определяющую: а) уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта; б) формулу Комптона.

3. Сформулируйте: 1 и 3-й законы внешнего фотоэффекта.