Методика обучения младших школьников решению уравнений.

Какие способы решения уравнений используются в начальных классах?

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

Термин “решение” употребляется в двух случаях: он обозначает так число (корень), при подготовке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, т.е. способ решения уравнения. В данной работе для нас важнее второе толкование этого термина, поэтому рассмотрим некоторые способы решения уравнений более подробно.

Способы решений уравнений могут быть различными, желательно, чтобы учащиеся овладели их разнообразием. Выделяют следующие способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел.

Способ подбора.

При решении уравнений в начальной школе не редко используется способ подбора. Прежде всего он формирует осознанный и материалистически верный подход к решению уравнений, т.к. ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится. Так, решая уравнение x+2=5, ученик пробует подставить вместо x число 1, 2, 3. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще “доказать” его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х. В этом случае для проверки осознанности, действий учащегося можно задать ему вопрос: “Почему х не может равняться 2? (Если вместо х подставить 2, то получится 4, а не 5).

 

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. При подборе чисел в процессе решения уравнений ученик должен прежде всего, подумать, с какого числа целесообразнее его начать.

Способ подбора формирует у учащегося умение “оценить”, “проанализировать” записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем с помощью “правил”.

Решение уравнений на основе соотношения между частью и целым.

Уравнения на сложение и вычитание с фигурами, линиями, числами рассматриваются в программе Л.Г. Петерсон.

Составляя подобные равенства, учащиеся на основе практических предметных действий выводят и усваивают правила:

· целое равно сумме частей

· чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть

Взаимосвязь между частью и целым является затем для учащихся тем удобным и надежным инструментом, который позволяет им легко решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым.

Решение уравнений на основе знаний конкретного смысла умножения.

При решении уравнений в начальной школе используется способ решения уравнения на основе знаний конкретного смысла умножения. В ходе решения уравнения вида 17+17=17·х можно преобразовывать левую часть. Проанализировав вид уравнения, можно найти рациональный способ его решения.

Необходимо заменить сумму одинаковых слагаемых действием умножения. Затем сравнивая левую и правую часть, делается вывод, что этот вид уравнения можно решить на основе конкретного смысла умножения

Этот способ формирует у учащегося умение "оценивать", "проанализировать" записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем.

 

УМК Учебник Математика 3 класс Аргинская часть 1 стр 12

 

 

Методика обучения младших школьников решению уравнений.

Большие затруднения для младшего школьника вызывает умение решать уравнения. Изучение данной линии в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальном курсе математике к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальных классах при изучении данного вопроса закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием

правильной математической речи. Изучение уравнений начинается с подготовительного этапа уже в 1 классе, когда дети, действуя с предметами, решают такие «задачи»:

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 1 класс 1 Часть cтр.25

Затем учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в «окошке», например:

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 1 класс 1 Часть cтр.36

 

 

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 1 класс 1 Часть cтр.43

Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа.

На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:

- Сколько надо вычесть из 5, чтобы получилось 2?

- Сколько надо прибавить к 3, чтобы получилось 5?

Кроме этого, дети знакомятся с основными алгебраическими понятиями, подводящими к понятию уравнения: равенство, выражение, числовые и буквенные выражения, понятие целого и его частей, а также изучают основные арифметические действия и взаимосвязи между компонентами этих действий. На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения».

 

 

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 2 класс 1 Часть cтр.80

На этом этапе учащиеся должны научиться распознавать среди математических записей уравнения и уметь находить из предложенных чисел его корни или осуществлять поиск корня уравнения подбором.

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 2 класс 1 Часть cтр.80

 

Далее на протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым вида:

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 2 класс 1 Часть cтр.83

Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений. Решение уравнений данного вида основано на двух подходах:

· взаимосвязей компонентов операций сложения и вычитания.

· взаимосвязей целого и его частей.

Первый подход. Детям вводятся и отрабатываются правила нахождения неизвестного компонента в уравнениях. Уравнения решаются на основе взаимосвязи этих компонентов.

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 2 класс 1 Часть cтр.84

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 2 класс 1 Часть cтр.86

УМК Школа России М.И. Моро С.И. Волкова С.В. Степанова

Математика 2 класс 1 Часть cтр.87

Второй подход. Детям вводится понятия целого и его частей.

Уравнения решаются на основе взаимосвязи между частью и целым. При изучении данной темы дети должны научиться находить в уравнениях компоненты, соответствующие целому (сумма, уменьшаемое), и компоненты, соответствующие его частям (слагаемое, уменьшаемое, разность). При решении уравнений детям нужно будет вспомнить лишь два известных правила:

· Целое равно сумме частей.

· Чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

На данном этапе можно предлагать учащимся задания следующего вида:

Задание 1. Составление и решение уравнений с помощью модели числа.

Решите уравнение:

Х + Δ:: = ΔΔΔ::

Х = ΔΔ

Замените модели числами и запишите уравнение и его решение:

Х + 14 = 34

Х = 20

 

Задание 2. Уравнения с буквами.

 

Как из волка получить вола?

ВОЛК – Х = ВОЛ

Х = ВОЛК – ВОЛ

Х = К

Как из слова ВОРОН получить ВОРОНЕЖ?

ВОРОН +Х=ВОРОНЕЖ

Х= ВОРОНЕЖ –ВОРОН

Х=ЕЖ

Задание 3. Выполни проверку и найди ошибку.

Х + 8 = 16

Х= 16 + 8

Х = 24

Дети решают: 24 + 8 = 16

32 ≠ 16

Правильное решение: Х=16-8, Х=8.

Задание 4. Составь уравнения с переменной Х и числами 4, 10 и реши их. Дети составляют решают уравнения вида:

Х + 4 = 10; 10 – Х = 4; Х – 10 = 4 и т.п.

Задание 5. Из данных уравнений выбери и реши только те, где Х

находится сложением.

Х +16 = 20;    Х -18 = 30;     29 – Х = 19

 

Следующий этап – решение уравнений вида:

а ∙ Х = в; Х ∙а=в; а: Х = в; Х: а = в.

В основе решения уравнений этого вида также выделяют два подхода:

· Уравнения решаются также на основе взаимосвязи между компонентами действий умножения и деления;

· Уравнения решаются также на основе взаимосвязи между площадью прямоугольника и его сторонами.

Для отработки и совершенствования умений и навыков решения уравнений на умножение и деление можно использовать следующие упражнения.

Задание 1. Выполни проверку и найди ошибку.

Х: 2 = 4

Х = 4: 2

Х = 2

Дети решают: 2: 2 = 4

1 ≠ 4

Правильное решение: Х=4 ∙2, Х=8.

Задание 2. Составь уравнения с переменной Х и числами 3, 12 и реши их.

Дети составляют: 12: Х = 3; 3 ∙ Х = 12 и т.п.

Задание 3. Изданных уравнений реши те, которые решаются

делением.

Х ∙ 2 = 6; Х: 4 = 16; 12: Х = 4

Задание 4. Рассмотри решение уравнений и вставь соответствующий

знак в запись уравнения.

Х? 6 = 24

Х = 24: 6

Задание 5. Составь и реши уравнение:

Какое число надо умножить на пять, чтобы получилось 25?

Какое число надо разделить на 6, чтобы получить 2?

 

Последний этап при работе с уравнениями в начальной школе – знакомство учащихся с составными уравнениями. Решение таких уравнений строится на качественном анализе выражения, стоящего в левой и правой части уравнения: какие действия указаны в выражении, какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. К этому времени учащиеся должны твердо овладеть следующими умениями:

– решение простых уравнений,

– анализ решений уравнений по компонентам действий,

– чтение записи выражений в два – три действия,

– порядок выполнения действий в выражениях со скобками и без них.

На данном этапе дети должны понимать, что в записи уравнений в качестве неизвестного числа могут использоваться различные буквы латинского алфавита, например: К + 14 =2 3; Р – 30 = 18; Z: 9 = 6 и т.п. Запись решения уравнений сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Для выработки правильной математической речи и навыков решения первых уравнений данного вида необходимо использовать таблицы с образцами решений. Но так как дети уже с 1– го класса знакомы с записью различных алгоритмов, то можно использовать только алгоритм решения уравнений, по которому дети и анализируют уравнения.

Завершающим этапом в работе с уравнениями является решение текстовых арифметических задач аналитическим способом, то есть составлением уравнения. Данный этап не является обязательным и в некоторых УМК (например, «Школа России) не рассматривается.

УМК Н.Б. Истомина Математика 4 класс 2 часть стр.77

 

УМК Н.Б. Истомина Математика 4 класс 2 часть стр.77

УМК Н.Б. Истомина Математика 4 класс 2 часть стр.79

 

Таким образом, изучение уравнений в начальном курсе математике носит поэтапный характер и направлено на подготовку школьников систематическому изучению данных вопросов в курсе средней школы.