Это уравнение служит основой для расчета лучистого теплообмена между поверхностями конечных размеров.

Закон Ламберта строго справедлив для абсолютно черного тела. Для шероховатых тел этот закон подтверждается опытом лишь для q = 0 - 60^о. При q > 60^о значение e _q = Е _q / Е_{0 q} = f (q) уменьшается и стремится к нулю. Однако это уменьшение практического значения не имеет, ибо среднее значение

Более резкое отклонение от закона Ламберта наблюдается для полированных металлов. При 40^о < q < 80^о значение e _q увеличивается, а при q > 80^о оно стремится к нулю. В этом случае среднее значение  = 1,2 × e _{q = 0}.

 

 

9.Понятие об угловых коэффициентах и их свойства

Рассмотрим две серые диффузные поверхности F_i и  F_к и определим потоки лучистой энергии, попадающей с первой поверхности F_i на вторую F _к.

 Элемент поверхности dF_i  излучает по всем направлениям количество энергии ( собственное излучение )

dQ_di = dF_i × C_i × (T_i / 100)⁴.   (14)

Найдем количество энергии, падающее на элемент dF_к поверхности F_к. Всоответствии с определением яркости «В» это количество

d ² Q_{di d к} = dF_i × B_i × cos q _i × d w                        (15)

где q _i - угол между нормалью к элементу dF_i -   и прямой, соединяющей оба элемента;

d w - элемент телесного угла, под которым видна элементарная площадка dF_к с места расположения dF_i.

Величина d w   по определению равна

d w = dF_к × cos q _к / R²_,                            (16)

где R - расстояние между элементами dF _i и dF_к;

q _к - угол между нормалью к элементу dF_к и прямой, соединяющей оба элемента.

Подставляя d w из уравнения (16) в уравнение (15) и заменяя В _i ( яркость собственного излучения ) на

В _i =   получаем

d²Q _di,_dк  =                       (17)

угловым коэффициентом излучения называется отношение лучистого потока от поверхности (или элемента) одного тела на поверхность (или элемент) другого тела к полному потоку собственного излучения, выходящего со всей поверхности (или элемента) первого тела по всевозможным направлениям в пределах полусферического телесного угла.

Этот коэффициент обозначается буквой j с двумя нижними индексами, из которых первым обозначают излучающую поверхность, а вторым - облучаемую.

Угловые коэффициенты на бесконечно малые элементы называются элементарными и обозначаются d j.

В соответствии с этим определением угловой коэффициент с dF_i на dF_к найдем, разделив уравнение (17) на излучение поверхности во всех направлениях (14)

Количество энергии, которое получает вся поверхность Fк от элемента dF_i определяется интегрированием уравнения (17) по  F_к

             (18)

При интегрировании яркость излучения вынесена за интеграл, т. к. мы считаем её независимой от направления ( излучение изотропно ).

Согласно определению угловой коэффициент с dF_i   на  F_к найдем, разделив уравнение (18) на уравнение (14).

                        (19)

локальным угловым коэффициентом излучения называется угловой коэффициент от элементарной площадки dF_i на конечную поверхность F_к

Определим количество энергии собственного излучения поверхности F_i попадающей на поверхность F_к. Температуру и коэффициенты излучения поверхности F_i  будем считать повсюду одинаковыми ( одинаковая яркость ). Проинтегрируем выражение (18)  по всей поверхности  F_i.

            (20)

Величина полусферического собственного излучения поверхности F_i

Q_i = F_i × C_i × (T_i / 100)⁴                          (21)

Cогласно определению, величина углового коэффициента с поверхности F_i на поверхность F_к  равна отношению количества энергии по выражениям (20), (21)

         (22)

Сравнивая это выражение с (19) находим

Величина j _i,к называется средним угловым коэффициентом

При плоской или выпуклой излучающей поверхности лучистые потоки, исходящие от отдельных элементов, не попадают на другие элементы излучающей поверхности; при вогнутой излучающей поверхности имеет место излучение поверхности на самое себя. В соответствии с этим введено понятие углового коэффициента поверхности на самое себя (j _{i i}), представляющее собой отношение д оли энергии попадающей на поверхность от всего излучения этой поверхности.

10.ВЗАИМНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Поскольку поверхности F_i  и F_к произвольные, то выражение углового коэффициента с поверхности F_к на поверхность Fi может быть написана из уравнения (22), если значки  i и к поменять местами.

         (23)

Умножив уравнение (22) на  F_i, а уравнение (23) на  F_к получаем

             (24)

             (25)

Величины, представленные формулами (24), (25)  называются взаимными поверхностями ( между излучающей и облучаемой ), т. е. взаимной поверхностью пары тел называется произведение площади поверхности одного из тел на средний угловой коэффициент излучения от этого тела на другое.

Угловые коэффициенты и взаимные поверхности являются основными понятиями при исследовании теплообмена излучением между поверхностями. Пользуясь понятиями углового коэффициента и взаимной поверхности можно найти количество энергии, попадающей с поверхности F_i  или элемента  dF_i на поверхность  F_к.

Выше было рассмотрено излучение тела F_i  , которое непосредственно попадает на поверхность F_к. Однако, если тела F_i и F_к окружены серыми телами, то энергия, излученная поверхностью F_i многократно отразится от других серых поверхностей, в том числе и от F_к и от самое себя.

Отношение потока излучения от поверхности (элементарной площадки) одного тела на поверхность (элементарную площадку) другого тела с учетом многократных отражений в системе к потоку собственного излучения, выходящего с поверхности (элементарной площадки) первого тела по всевозможным направлениям в пределах полусферического телесного угла, обозначает разрешающий коэффициент Ф _i,к.

В соответствии с определением

Q_ПАД.,к = Ф _i,к × F _i × C _i × (T _i / 100)⁴.

Угловые коэффициенты являются геометрической характеристикой теплообменивающейся системы. Они обладают разными полезными свойствами.

11.СВОЙСТВО ВЗАИМНОСТИ. Из уравнения для взаимных поверхностей следует их равенство

Н_i,к = Н_к,i  или j _i,к / j _к,i = F_к / F_i

Это свойство называется свойством взаимности. Физическая сущность его заключается в том, что при равенстве температур и коэффициентов излучения двух поверхностей количество энергии, попадающей с первой на вторую, равно количеству энергии попадающей со второй на первую.

12.СВОЙСТВО АДДИТИВНОСТИ. Свойство аддитивности, заключающееся в том, что угловой коэффициент (j _i,к) с поверхности i на сложную поверхность, состоящую из отдельных частей к₁ к₂ к₃ и т. д. равен сумме угловых коэффициентов с поверхности i на каждую поверхность к₁, к₂ × × ×

j _i,к = j _i,к1  + j _i,к2 + j _i,к3 + × × ×

и  Н _{i, к} = Н _i,к1 + Н _i,к2 + Н _i,к3 + × × ×

13.СВОЙСТВО ЗАМЫКАЕМОСТИ. Свойство замыкаемости, заключающееся в том, что сумма угловых коэффициентов с поверхности i на все окружающие тела и на самое себя равно единице.

j _i,i + .                                (26)

Это свойство следует из определения понятия угловых коэффициентов и того факта, что поток излучения с поверхности i  целиком попадает на поверхности тел и на самое себя.

Умножив уравнение (26) справа и слева на F_i получаем:

Н_i,i +

Решение задачи нахождения угловых коэффициентов требует интегрирования, однако существуют и другие методы определения угловых коэффициентов: алгебраический, метод натянутых нитей, светотехнического моделирования.

Рассмотрим значения угловых коэффициентов для некоторых систем состоящих из двух тел.

1. Большие плоские поверхности, расположенные на небольшом расстоянии одна от другой.

j _1,2 = j _2,1 = 1.

2. Две концентрические сферические поверхности

j _1,2 = 1; j _2,1 = F₁ / F₂.

3. Для внутренней поверхности шарового сегмента

j _1,2 = 1; j _2,1 = F₁ / F₂.

4. Для двух поверхностей, составляющих сферическую поверхность или длинный цилиндр.

j _1,2 = F₂ / (F₁ + F₂);

j _2,1 = F₁ / (F₁ + F₂).