Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основаниям и являются его высотой.

2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (теорема Пифагора в пространстве):

d² = a² + b² + c²,

где a, b, c – измерения прямоугольного параллелепипеда,

то есть, его длина, ширина и высота.

 

На рисунке: DB₁² = DA² + DC² + DD₁².

 

3. У прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны:

DB₁ = CA₁ = AC₁ = BD₁.

● Рассмотрим Куб как частный случай прямоугольного параллелепипеда.

Куб – это правильная призма, все стороны которой представляют собой правильный четырехугольник (квадрат).

Свойства куба:

1) У куба все измерения равны (обозначим величину этих равных измерений - а)

2) Квадрат диагонали куба равен:

d ² = a ² + a ² + a ² = 3 a ²,

d = a √ 3.

3) Квадрат диагонали основания равен:

d² = a² + a² = 2a²,

d = a√2.

 

 

● Рассмотрим наклонный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁:

1) В основаниях лежат равные фигуры – равные параллелограммы ABCD и A ₁ B ₁ C ₁ D ₁: ABCD = A ₁ B ₁ C ₁ D ₁.

2) Параллелограммы ABCD и A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ лежат в параллельных плоскостях α и β:

ABC ║ A₁B₁C₁ (α ║ β),

3) То есть параллелограммы ABCD и A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ расположены таким образом, что все боковые ребра параллельны и равны между собой:

АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁, и АА₁=ВВ₁=СС₁=DD₁.

4) В параллелепипеде боковые грани, противолежащие друг другу, параллельны друг другу в соответствии с аксиомой стереометрии о параллельности плоскостей (например, боковая грань АВВ₁А₁ параллельнабоковой грани СС₁D₁D).

 

5) Из вершины А₁ опустим перпендикуляр А₁Н на плоскость АВСD. Отрезок А₁Н является высотой.

 

6) Линия высоты А₁Н не параллельна и не равна по длине линиям боковых ребер АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁.

 

Вывод: параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ является наклонной четырехугольной призмой.

5. Шестиугольная призма

 

1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и

A₁B₁C₁D₁E₁F₁:

ABCDEF = A₁B₁C₁D₁E₁F₁.

2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях:

ABC ║ А₁B₁C (α ║ β).

2) Шестиугольники ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁  расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны и равны по длине:

АА₁║ВВ₁║…║FF₁ и АА₁=ВВ₁=…=FF₁

 

3) Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.

6. Правильная призма

Определение:

Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

 

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА₁В₁С₁.

Если Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, это значит:

- в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны;

- данная призма – прямая.

- боковые ребра перпендикулярны плоскости основания;

- все боковые грани – равные прямоугольники.

 

Итак, если треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, то:

1) Боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, то есть являются высотой: например, AA₁ ⊥ АВС.

2) В основании лежит правильный треугольник:

∆ АВС – правильный.

Вопрос 3. Решение задач

Задача 1

Задача 2

Домашняя работа

Задание 1

Заполнить пропуски (многоточия) на схеме

Задание 2

Для того, чтобы закончить заданную фразу, выберите правильный вариант ответа:

1. Основанием параллелепипеда является:

- произвольный четырехугольник

- параллелограмм

- квадрат

- прямоугольник

2. Основанием прямого параллелепипеда является (в общем случае):

- произвольный четырехугольник

- параллелограмм

- квадрат

- прямоугольник

 

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда является:

- параллелограмм

- прямоугольник

- квадрат

 

4. Прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат, называется:

- квадратным параллелепипедом

- кубом

- правильной четырехугольной призмой

Задание 3

Задача 1

Решить задачу, сопровождая решение схемой:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно:

BD₁=N;         СС₁ = N – 2;         B₁C₁ = _√N,

_{где N – номер студента в классном журнале.}

Найти длину ребра АВ.

Задача 2

Решить задачу, сопровождая решение схемой:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁D₁C₁D₁ известно:

BD₁=N;         СС₁ = N – 4;         ALC = _√N,

_{где N – номер студента в классном журнале.}

 

Найти длину ребра D ₁ C ₁.

Задание 4

Знать ответы на контрольные вопросы:

1. Какой многогранник называется призмой.

2. Назовите виды призмы в зависимости от взаиморасположения плоскостей основания и боковых граней.

3. Назовите виды призм в зависимости от многоугольника, лежащего в основании.

4. Перечислите основные элементы призмы.

5. Что такое поверхность призмы.

6. Какие виды поверхности призмы выделяются.

7. Из чего состоит полная поверхность призмы.

8. Из чего состоит боковая поверхность призмы.

9. Какая призма называется прямой.

10. Какая призма называется наклонной.

11. Какая призма называется усеченной.

12. Какая призма называется правильной.

13. Что такое высота призмы.

Задание 5

1. Законспектировать представленный материал в тетрадь по математике.

2. Изучить материал и выполнить домашнее задание.

3. Конспект и выполненное домашнее задание прислать на страницу преподавателя в виде фото/скан для проверки.