Кафедра «Связь на железнодорожном транспорте»

Кафедра «Связь на железнодорожном транспорте»

 

 

Материалы для практической подготовки

В ходе практики

«Производственная практика, технологическая практика»

 

г. Ростов-на-Дону

2021

Содержание

 

Введение. 3

Постановка задачи. 5

1 Цель и задачи прогнозирования. 6

2 Методы статистической обработки данных. 8

3 Регрессионный анализ в Mathcad. 9

4 Методика обработки статистических данных в среде MathCAD на основе регрессионного анализа. 11

4.1 Линейная регрессия. 11

4.2 Экспоненциальная регрессия. 16

4.3 Логарифмическая регрессия. 19

4.4 Полиномиальная регрессия. 21

4.5 Степенная регрессия. 24

4.6 Верификация и выбор модели прогнозирования. 26

Список использованных источников. 28

Приложение А.. 29

 

Введение

 

Статистические методы прогнозирования, являются не единственно возможными. Существуют и другие методы. Например, в последнее время в прогнозировании научно-технического прогресса интенсивно используются различные нормативные (т.е. основанные на изучении возможных будущих потребностей в технических новшествах) и статистические методы. Широкое применение получили прогнозы, основанные на экспертных оценках. В ряде случаев прибегают к разработке так называемых сценариев развития, морфологическому анализу, историческим аналогиям и т.д. Новым подходом к прогнозированию научно-технического прогресса является “симптоматическое прогнозирование”, суть которого заключается в выявлении “предвестников” будущих сдвигов в технике и технологии. Большие возможности для прогнозирования кроются в применении имитационных моделей. В практике прогнозирования экономики, преобладающими являются статистические методы. Как уже говорилось выше, это связано главным образом с наличием инерционности в развитии экономических явлений и объектов. Немаловажным для практической работы является и то, что статистические методы опираются на аппарат анализа, развитие и практика применения которого, имеют достаточно длительную историю.

Процесс прогнозирования, опирающийся на статистические методы, распадается на два этапа. Первый, индуктивный, заключается в обобщении данных, наблюдаемых за более или менее продолжительный период времени, и в представлении соответствующих статистических закономерностей в виде модели. Статистическую модель получают или в виде аналитически выраженной тенденции развития, или же в виде уравнения зависимости от одного или нескольких факторов-аргументов. В ряде случаев, при изучении сложных комплексов экономических показателей, прибегают к разработке так называемых взаимозависимых систем уравнений, состоящих в основном из уравнений, характеризующих статистические зависимости. Процесс построения и применения статистической модели для прогнозирования, какой бы вид последняя не имела, обязательно включает выбор формы уравнения, описывающего динамику или взаимосвязь явлений, и оценивание его параметров с помощью того или иного метода. Второй этап, собственно прогноз, является дедуктивным. На этом этапе на основе найденных статистических закономерностей определяют ожидаемое значение прогнозируемого признака.

Следует подчеркнуть, что полученные результаты не могут рассматриваться как нечто окончательное. При их оценке и использовании должны приниматься во внимание факторы, условия или ограничения, которые не были учтены при разработке статистической модели, должна осуществляться корректировка обнаруженных статистических характеристик в соответствии с ожидаемым изменением обстоятельств их формирования. Короче говоря, найденные с помощью статистических методов прогностические оценки являются важным материалом, который, однако, должен быть критически осмыслен. При этом главным является учет возможных изменений в самих тенденциях развития явлений и объектов.

 

Постановка задачи

 

На основе имеющихся статистических данных о количестве трафика по магистральной линии связи произвести прогнозирование роста трафика на период в один год с применением методов регрессионного анализа.

Поквартальные статистические данные об объеме переданной информации за 9 лет для гипотетического участка приведены в таблицах А1-А3 в приложении А с разделением на варианты.

Для прогнозирования рассмотреть регрессионные модели следующих видов:

‒ Линейная;

‒ Полиномиальная n-ой степени;

‒ Фрагменты полиномов 2-ой степени;

‒ Экспоненциальная;

‒ Логистическая функция;

‒ Синусоидальная;

‒ Степенная;

‒ Логарифмическая;

‒ Логарифмическая короткая;

Для всех моделей определить степень достоверности. На основании выбора наилучшей модели определить значение прогнозируемого трафика.

 

 

Линейная регрессия

 

Рассмотрим процесс построения регрессионной модели в среде MathCAD.

Статистические данные об объеме трафика по магистральным линиям связи за 9 лет для гипотетического участка приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Исходные данные

год	квартал	Объем трафика	год	квартал	Объем трафика	год	квартал	Объем трафика
1	1	97,38	4	1	139,79	7	1	184,50
	2	89,45		2	114,67		2	188,04
	3	96,78		3	125,72		3	248,49
	4	100,31		4	144,23		4	198,16
2	1	106,36	5	1	78,91	8	1	277,48
	2	80,64		2	130,70		2	359,55
	3	110,93		3	164,91		3	286,03
	4	85,83		4	145,86		4	355,72
3	1	110,98	6	1	212,88	9	1	358,94
	2	137,98		2	102,17		2	400,24
	3	58,39		3	153,00		3	430,43
	4	94,69		4	168,44		4	523,52

 

В MathCAD по заданным векторам значений X и Y можно непосредственно найти коэффициенты регрессионной прямой Y=a X+b функциями intercept ("отрезок, отсекаемый с оси") и slope ("наклон").

Данные функции не предполагают, что данные отсортированы по возрастанию значений X, не предполагает этого и встроенный инструмент построения графиков, но без сортировки на больших размерностях пакет может тормозить.

*Отсортировать пару векторов (X, Y) можно с помощью функции " csort".

Далее найдем коэффициенты a и b с помощью функций "intercept" и "slope".

Одним из показателей, описывающих качество построенной модели в статистике, является коэффициент детерминации (R²), который ещё называют величиной достоверности аппроксимации. С его помощью можно определить уровень точности прогноза.

В зависимости от уровня коэффициента детерминации, принято разделять модели на три группы:

– 0,8 – 1 – модель хорошего качества;

– 0,5 – 0,8 – модель приемлемого качества;

– 0 – 0,5 – модель плохого качества.

В последнем случае качество модели говорит о невозможности её использования для прогноза.

Определим коэффициент детерминации с помощью функции: corr(f(X),Y1(X))².

В данном случае коэффициент детерминации при линейной регрессии равен kd=0,772, что характеризует выбранную модель, как модель приемлемого качества.

Листинг программы линейной регрессии приведен на рисунках 1, 2, 3.

 

Рисунок 1 – Листинг программы линейной регрессии

 

Рисунок 2 – Листинг программы линейной регрессии

 

Рисунок 3 – Листинг программы линейной регрессии

 

Экспоненциальная регрессия

 

Для определения экспоненциальной функции решим систему в MathCAD:

 

                 (1)

 

Для этого с помощью значков суммирования векторов  и векторизации , находящихся на панели векторов и матриц, вычисляем: , , , .

Затем составляем матрицы А и B из соответствующих коэффициентов системы линейных уравнений (1) и находим решение системы с помощью встроенной функции "lsolve".

Решив систему (1), получим значения коэффициентов c и a₂.

Коэффициент a₁ вычисляем по формуле: a₁= .

Полученные значения коэффициентов используем в уравнение регрессии Y2(X)= a₁ .

Вычислив параметры экспоненциальной регрессии, строим графики исходной функции  и функции экспоненциальной регрессии Y2(X).

Определим коэффициент детерминации с помощью функции: corr(f(X),Y2(X))².

В данном случае коэффициент детерминации при экспоненциальной регрессии равен kd=0,859, что характеризует выбранную модель, как модель хорошего качества.

Листинг программы экспоненциальной регрессии приведен на рисунках 4, 5.

 

 

Рисунок 4 – Листинг программы экспоненциальной регрессии

Рисунок 5 – Листинг программы экспоненциальной регрессии

 

Логарифмическая регрессия

 

Для определения коэффициентов логарифмической функции воспользуемся встроенной функцией "lnfit(X, Y)".

Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии Y3(X)= .

Вычислив параметры экспоненциальной регрессии, строим графики исходной функции f(x) и функции логарифмической регрессии Y3(X).

Определим коэффициент детерминации с помощью функции: corr(f(X),Y3(X))².

В данном случае коэффициент детерминации при логарифмической регрессии равен kd=0,423, что характеризует выбранную модель, как модель плохого качества и говорит о невозможности её использования для прогноза.

Листинг программы логарифмической регрессии приведен на     рисунках 6, 7.

 

Рисунок 6 – Листинг программы логарифмической регрессии

Рисунок 7 – Листинг программы логарифмической регрессии

 

 

Полиномиальная регрессия

 

Одномерная полиномиальная регрессия с произвольной степенью n полинома и с произвольными координатами отсчетов в MathCAD выполняется функцией "regress(X,Y,n)", которая вычисляет вектор S, в составе которого находятся коэффициенты  полинома n-й степени. В нашем случае n=2.

Значения коэффициентов  могут быть извлечены из вектора S функцией "submatrix(S, 3, длина(S)-1, 0, 0)".

Полученные значения коэффициентов используем в уравнении регрессии .

Вычислив параметры полиномиальной регрессии, строим графики исходной функции f(x) и функции полиномиальной регрессии Y4(X).

Определим коэффициент детерминации с помощью функции: corr(f(X),Y4(X))².

В данном случае коэффициент детерминации при полиномиальной регрессии равен kd=0,916, что характеризует выбранную модель, как модель хорошего качества.

Листинг программы полиномиальной регрессии приведен на       рисунках 8, 9.

 

Рисунок 8 – Листинг программы полиномиальной регрессии

 

Рисунок 9 – Листинг программы полиномиальной регрессии

 

Степенная регрессия

 

Для определения коэффициентов степенной функции воспользуемся встроенной функцией " pwfit(X, Y, g)", где g – вектор из трех элементов, задающий начальные значения коэффициентов С₀, С₁, С₂.

Полученные значения коэффициентов используем в уравнение регрессии .

Вычислив параметры степенной регрессии, строим графики исходной функции f(x) и функции степенной регрессии Y5(X).

Определим коэффициент детерминации с помощью функции: corr(f(X),Y5(X))².

В данном случае коэффициент детерминации при степенной регрессии равен kd=0,94, что характеризует выбранную модель, как модель хорошего качества.

Листинг программы степенной регрессии приведен на рисунках 10, 11.

 

Рисунок 10 – Листинг программы степенной регрессии

Рисунок 11 – Листинг программы степенной регрессии

 

Приложение А

Замечание: Mathcad понимает цифры, написанные через запятую, как два отдельных числа. Для правильной работы вводить исходные данные следует через точку, например, «0.95» вместо «0,95».

Таблица А1 - Статистические данные об объеме трафика по магистральным линиям связи за 9 лет для гипотетического участка для вариантов 1-10

		вариант

Год