Расчет вала на статическую прочность

Расчет производится на совместное действие изгиба и кручения в следующем порядке:

1.Составление расчетной схемы.

Валы рассматриваются как балки на шарнирных опорах, расположенных по оси симметрии подшипника.

При расчете валов очень важно правильно определить направления сил, действующих в зацеплении каждой пары зубчатых колес в отдельности. От этого зависят правильность определения величины и направления реакции опор и изменение изгибающих моментов по длине рассчитываемого вала.

Для определения направления окружного усилия F_t, действующего на зубья шестерни или колеса цилиндрической передачи, следует помнить, что на зубья ведущего зубчатого колеса усилия действуют против направления вращения, а на зубья ведомого колеса - по направлению вращения.

Радиальная сила F_г всегда направлена к оси зубчатого колеса.

Шестерня - правое направление зуба, Колесо - левое направление зуба.

 

2.Определение реакций в опорах и изгибающих моментов в координатных плоскостях и построение эпюр этих моментов.

Определение реакций в опорах и изгибающих моментов, построение эпюр этих моментов производится отдельно для вертикальной и горизонтальной плоскости.

3.Определение суммарных изгибающих моментов

Суммарные изгибающие моменты определяются в характерных сечениях вала по формуле:

 

M_иΣ = (М²_Г+М²_В)^1/2 (3.4.)

 

Где М_г и М_в - изгибающие моменты соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях;

 

М_г=R_а^г*а (3.5.)

 

Где R_а^г - реакция опоры А в горизонтальной плоскости, Н;

а - расстояние от опоры А до центра колеса, мм;

 

М_в = R_а^в*b;

 

Где R_а^в - реакция опоры А в вертикальной плоскости, Н;

b - расстояние от опоры В до центра колеса, мм;

 

а = b = 0,06235 (мм);

R_а^г = (F_t*а)/2*а; (3.6.)

R_а^г = 1320,3/2 = 660,15 (Н);

R_а^в = (F_г*а)/2* (3.7.)

R_а^в = 554,7/2 = 277,35 (Н);

М_г = 505*0,06235 = 41,1 (Н·м);

М_в = 277,35*0,06235 = 17,3 (Н·м);

M_иΣ = (41,1²+17,3²)^1/2 = 44,59 (Н·м);

 

4.Определение приведенного момента в опасном сечении.

Приведенный момент вычисляется по формуле:

 

М_пр = (M_иΣ²+Т₂²)^1/2 (3.8.)

М_пр = (44,59² + 127,77²) ^1/2 = 135,32 (Н·м);

 

5.Выбор материала вала.

Для нашего вала редуктора общего машиностроения применяем сталь 45 улучшенную, отличающуюся хорошей обрабатываемостью, (стр. 18 из [3])

 

Определение диаметра вала в опасном сечении

 

Диаметр вала в опасном сечении определяется по формуле:

 

d_оп =10*[(10*М_пр)/[σ]и]^1/3 (3.11.)

 

где [σ]и- допускаемое напряжение на изгиб, МПа;

 

d_оп = 10*[(10·135,32)/55]^1/3 = 29 (мм);

 

Т.к. в опасном сечении имеется шпоночный паз, то полученное значение диаметра увеличиваем на 5%. Окончательно получаем: d_оп = 30 (мм).

Расчет вала на выносливость

Расчет валов на выносливость выполняется как проверочный для определения расчетного коэффициента запаса прочности n в опасном сечении вала. Опасным является то сечение вала, для которого коэффициент запаса усталочной прочности имеет наименьшее значение.

Хотя для обеспечения прочности вала достаточно иметь n = 1,7, рекомендуется иметь n = 2,5÷3, т.к при таких значениях можно не проводить расчета вала на жесткость.

Коэффициент n определяют из формулы:

 

n =1/[(1/n_σ)²+(1/n_т)²]^1/2≥[n]; (3.18)

 

где n_σ - запас прочности по нормальным напряжениям от изгиба;

n_т- запас прочности по касательным напряжениям от кручения;

[n] - допускаемый коэффициент запаса усталочной прочности;

[n] = 1,5;(стр. 20 из [3])

 

n_σ =σ_-1/[(k_σ/ε_σ) *σ_а + Ψ_σ*σ_m]; (3.19.)

 

где σ_-1 - предел выносливости материала вала при изгибе с симметричным циклом без концентрации напряжений, МПа;

k_σ - эффективный коэффициент концентрации напряжений при изгибе для рассматриваемого сечения;

ε_σ - масштабный фактор, учитывающий влияние абсолютных размеров вала на изменение пределов выносливости при изгибе;

σ_а - амплитуда колебаний цикла при изгибе, МПа;

Ψ_σ - коэффициент приведения несимметричного цикла к равно опасному симметричному;

σ_m - среднее напряжение цикла при изгибе, МПа;

σ_m =0;(стр. 21 из [3])

 

где σ_в- предел прочности материала вала, МПа;(стр. 19 из [3])

 

σ_в= 570 (МПа);

σ_-1 = 0,43*570 = 245,1 (МПа);

k_σ =1,76;(стр.22из[3])

ε_σ = 0,85;(стр. 24 из [3])

Ψ_σ = 0; (стр. 24 из [3])

 

где М_u - изгибающий момент в рассматриваемом сечении, (Н·м);

W_u- момент сопротивления изгибу в этом сечении, мм³;

 

М_u = M_иΣ = 21 (Н·м);

W_u = (3,14*30³)/32 - [10*5* (30 – 5)²]/(2*30) = 2128,54 (мм³);

σ_а= (44,59/2128,54) *1000 = 20,94 (МПа);

n_σ = 245,1/[(1,76/0,85) *20,94 + 0,05*0] = 5,65;

 

Запас прочности при действии одних напряжений кручения равен:

 

 

 

где τ_-1 - предел выносливости материала вала при кручении с симметричным циклом без концентрации напряжений;

 

τ_-1 = 0,58*245,1=142,15;

k_τ - эффективный коэффициент концентрации напряжений при кручении;

ε_τ- масштабный фактор для напряжения кручения

τ_а- амплитуда цикла напряжения кручения, МПа;;

Ψ_τ - коэффициент приведения несимметричного цикла к равно опасному симметричному;

τ_m - среднее напряжение цикла напряжения кручения, МПа;

 

k_τ = 1,54; (стр. 22 из [3])

ε_τ =0,85; (стр. 24 из [3])

Ψ_τ = 0; (стр. 24 из [3])

 

где W_кр - момент сопротивления рассчитываемого сечения при кручении, мм³;

 

 

W_кр = (3,14*30³)/16 - [10*5* (30-5)²]/(2*30) = 4777,92 (мм³);

τ_а = τ_m = (127,7/2*4777,92) *1000 = 13,36 (МПа);

n_τ= 142,15/[(1,54/0,85) *13,36 + 0] = 5,8;

n= 1/[(1/5,65)²+(1/5,8)²]^1/2= 4,1 > 1,5;