Формула полной вероятности. Формула Байеса.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Национальный исследовательский

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

 

АВТОРЫ

 

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией Института экономики и предпринимательства ННГУ для студентов для специальностей 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.02 «Экономика» и 38.03.003 «Управление персоналом»

 

 

Нижний Новгород

2019 г.

УДК 372.851

ББК 74.262.21  

Сборник задач по дисциплине «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» Авторы: ………….. учебно-методическое пособие. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2019. -    с.

 

Рецензент: …………………………………………………………………

Учебно-методическое пособие «Сборник задач по дисциплине «Теория вероятностей», для студентов специальностей 38.03.02 «Менеджмент (по отраслям?)», 38.03.02 «Экономика» и 38.03.003 «Управление персоналом» на базе основного общего образования.

В каждом разделе, оно содержит краткое теоретическое введение и примеры решения типовых задач.

Ответственный за выпуск:

председатель методической комиссии Института экономики и предпринимательства, Летягина Е.Н.

 

УДК 372.851

ББК 74.262.21    

АВТОРЫ

 

© Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2019

 

 

Содержание

Введение …………………………………………………………………………4

Раздел 1. Предмет теории вероятностей, основные понятия и зада-чи ………………………………………………………………………………….5

1.1 Вероятности случайного события. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.………………………………………… 7

1.2 Действия над событиями………………………………………………..………. 10

1.2.1 Сумма событий……………………………….. …………………………10

1.2.2 Разность событий………………………………….………………………. 11

1.2.3 Произведение событий……………………………………………………... 11

1.3 Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события…………………………………………………………………………………… 12

1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса…………………………….. 15

1.5 Задачи для самостоятельного решения………………………………….……. 17

Раздел 2. Повторные независимые испытания. Приближенные форму-лы для расчета вероятности ………………………………………….…………… 23

2.1 Формула Бернулли……………………….………………………………………….. 23

2.2 Формула Пуассона……………………………………………………………….... 24

2.3 Формулы Муавра-Лапласа……………………………………………….……….. 24

2.4 Наивероятнейшее число появления событий…………………………….…... 25

2.5 Задачи для самостоятельного решения ………………………………………. 27

 

Раздел 3 Случайные величины …………………………………………………..… 32

3.1 Дискретные случайные величины. Функция распределения…………...…… 32

3.2 Законы распределения дискретных случайных величин…………………….. 34

3.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин……………...37

3.4 Задачи для самостоятельного решения……………………………………….. 39

3.5 Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики……... 48

3.6 Задачи для самостоятельного решения……………………………………………………………………………………. 50

 

Раздел 4 Закон больших чисел …………………………………………………….. 58

4.1 Неравенство Маркова……………………………………………………………... 58

4.2 Неравенство Чебышева…………………………………………………………… 58

4.3 Теорема Чебышева…………………………………………………………………. 58

4.4 Теорема Бернулли..…………………………………………………………………. 59

4.5 Центральная предельная теорема…………………………………………..59

4.6 Задачи для самостоятельного решения……………………………………….. 62

Приложение……………………………………………………………………………… 69

Информационное обеспечение обучения…………………………………………… 71

Введение

    К настоящему времени, опубликовано довольно большое количество учебников и различных методических пособий, посвященных такой математической дисциплине как т еория вероятностей. Однако, при работе над ними, авторы брали за основу рабочие программы, разработанные для конкретных направлений подготовки специалистов в конкретных учебных заведениях.

    При работе над настоящим пособием, основная цель преследуемая авторами состояла в том, чтобы создать сборник контрольных заданий с краткими теоретическими пояснениями, с учетом специфики подготовки студентов заочной формы обучения на экономическом факультете Нижегородского государственного университета, с конкретной ориентацией на рабочие программы по таким специальностям как Менеджмент (38.03.02), Экономика (38.03.01) и Управление персоналом (38.03.03).

    Пособие состоит из четырех разделов, каждый из которых включает в себя краткое изложение теоретического материала, примеры решения типовых задач и задач предназначенных для самостоятельного решения. Последние, брались из материалов, используемых авторами при подготовке настоящей рукописи, что отмечено путем приведения соответствующих ссылок указанных после каждого номера задачи в квадратных скобках. Кроме того, пособие содержит Приложение с табличными значениями функций необходимых для решения ряда задач, а также списки требуемой для освоения материала обязательной и дополнительной литературы с указанием соответствующих Интернет-ресурсов.

Раздел 1. Предмет теории вероятностей, ее основные понятия и задачи

    Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности в явлениях (событиях) с неопределенным исходом, которые при неограниченном воспроизведении одного и того же испытания (опыта) каждый раз протекают несколько по-иному. Ее основными понятиями являются элементарное событие и пространство элементарных событий. Под элементарным событием следует понимать появление или наоборот непоявление того или иного исхода испытания. Пространство элементарных событий представляет собой множество, каждому элементу которого соответствует один исход испытания. Подмножество пространства элементарных событий принято называть случайным событием, которое в результате испытания может произойти или не произойти (выпадение цифры при подбрасывании монеты, звонок по сотовому телефону в данную минуту и т. д.). Именно математические модели случайных событий и представляют предмет исследования теории вероятностей.

    Задачи теории вероятностей, в первую очередь, заключаются в том, чтобы осуществлять научный прогноз различных явлений за счет предвидения вероятностей предшествующих им других более сложных явлений. Кроме того, с помощью теории вероятностей осуществляется количественная оценка влияния различных случайных факторов на результат какого-либо конкретного испытания. Последнее, представляет интерес для экспериментаторов, с точки зрения изучения возможности оказания влияния на конечный результат этого испытания.

    Каждое из событий обладает той или иной степенью возможности появления, которая (количественно) характеризуется его вероятностью. Событие считается достоверным, если в результате опыта оно обязательно должно произойти. (выпадение одной из шести граней при бросании игральной кости). Его вероятность равна единице. Противоположным достоверному событию считается событие невозможное, которое не может произойти в данном опыте (выпадение десяти очков при бросании игральной кости). Его вероятность равна нулю. В том случае, если вероятность события не равна нулю но близка к нему, данное событие принято называть практически невозможным. А если вероятность не равна единице, но близка к ней – практически достоверным.

    Если в результате осуществления какого-либо опыта, одно из нескольких событий обязательно должно произойти, то считается что последние образуют полную группу событий. В качестве примера можно привести обязательное появление 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при бросании игральной кости. При этом, вполне понятно, что любые два из событий (например, одновременное появление «2» и «5» очков) не могут произойти одновременно. Такие события и им подобные принято называть несовместными.

    Если можно считать, что ни одно из всех возможных событий появляющихся в результате испытания, не является объективно более возможным чем другие (как в случае появления определенного количества очков при бросании игральной кости), то такие события принято называть равновозможными и считать что данное испытание (опыт) обладает симметрией и «сводится к схеме случаев».

 

1.1. Вероятность случайного события. Классическое определение вероятности Элементы комбинаторики.

    Как известно, каждое испытание завершается некоторым исходом (результатом) или событием. Для обозначения событий используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C,…. Каждое из них, как уже отмечалось выше, обладает какой-то степенью возможности своего появления. Числовая мера этой возможности, например какого-либо события A, представляет собой не что иное как вероятность его появления и обозначается символом . Предположим, что проводится испытание и из общего количества  несовместных равновозможных его исходов (случаев),  случаев благоприятствуют событию А. Тогда, согласно классическому определению, вероятность события  определяется отношением числа исходов ему благоприятствующих, к общему числу исходов:

                                                                           (1)

В том случае если А – достоверное событие, то  и ; если невозможное, то  и ; если А – случайное событие, то  и . Следовательно, вполне очевидно что она заключена в пределах: .

Пример 1. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность событий: А – появление четного числа очков; В – появление не менее пяти очков; С – появление не более пяти очков.

Решение. Испытание имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти или шести очков), образующих полную систему. Из них, событию А благоприятствуют три исхода (выпадение двух, четырех и шести очков), поэтому ; событию В – два исхода (выпадение пяти и шести очков), поэтому ; событию С – пять исходов (выпадение одного, двух, трех, четырех и пяти очков), следовательно .

    При вычислении вероятности, часто приходится использовать формулы комбинаторики – раздела математики, который изучает, в частности, методы решения дискретных (комбинаторных) задач, т.е. задач на подсчет числа различных комбинаций. Если выборки (комбинации) из  элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их принято называть перестановками из  элементов.

                                                                (2)

В том случае, если в перестановках из общего числа  элементов имеется некоторое подмножество, состоящее из  элементов, в котором 1-й элемент повторяется  раз, 2-й элемент –  раз, элемент с номером  –  раз и выполняется равенство , то такие перестановки принято называть перестановками с повторением из  элементов:                                                                                              (3)

    Если выборки из  элементов по  отличаются друг от друга только составом элементов, то их называют сочетанием из  элементов по :                                                                             (4)

В случае, когда некоторые элементы (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями из  элементов по :

                  .                                     (5)

    Выборки из  элементов по , отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим) представляют собой размещения из  элементов по :

                                                    (6)

Если некоторые элементы (или все) могут оказываются одинаковыми, то такие размещения называются размещениями с повторениями из  элементов по :

                                                             (7)

Рассмотрим конкретные примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 2. В урне находится 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

Решение. Общее число равновозможных независимых исходов равно

Событию А благоприятствуют  исходов. Следовательно, его вероятность определяется отношением: .

Пример 3. В партии из 24 деталей пять бракованных. Из партии выбирают наугад 6 деталей. Найти вероятность того, что среди этих 6 деталей окажутся 2 бракованных (событие В).

Решение. Общее число равновозможных независимых исходов равно

.

Число исходов  благоприятствующих событию В может быть определено следующим образом:

Среди шести взятых наугад деталей должно быть 2 бракованных и 4 стандартных. Две бракованные детали из пяти можно выбрать  способами, а 4 стандартных детали из 19 стандартных можно выбрать  способами. Каждая комбинация бракованных деталей может сочетаться с каждой комбинацией стандартных деталей, поэтому. . Следовательно:

Пример 10. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

Решение. Здесь число равновозможных независимых исходов есть n = P ₉=9! Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию С. Представим себе, что четыре определенные книги связаны вместе, тогда эту связку можно расположить на полке Р ₆=6! способами (связка плюс остальные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять Р₄=4! способами. При этом каждая комбинация внутри связки может сочетаться с каждым из Р ₆ способов образования связки, т.е. .

Следовательно, .

Пример 11. Сколько можно составить восьмизначных чисел, которые состоят из цифр 2, 3 и 4 при условии что цифры 2 и 3 повторяется по 3 раза, а цифра 4 – 2 раза?

Решение. Каждое восьмизначное число будет отличаться от другого порядком следования цифр (в данном случае, , , , а их сумма равна 8). Т.е., ответом будет являться перестановка из 8 элементов (см. формулу (3)):

                                

Действия над событиями.

В процессе решения задач, непосредственный подсчет случаев благоприятствующих данному событию может оказаться очень затруднительным. В связи с этим, для определения вероятности события часто бывает более удобным представление рассматриваемого события в виде комбинации других событий являющихся более простыми. При этом необходимо знать такие правила действий над событиями как сумма, разность и произведение.

1.2.1. Сумма событий

Определение: Суммой нескольких событий принято называть событие, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них.

Так, например, в простейшем случае, когда событий два (А и В ), сумма(А + В) означает такое третье событие С, которое, если они совместны, состоит в появлении либо события А либо В, или того и другого, и наступление либо А либо В, если они несовместны.

Теоремы сложения вероятностей:

Теорема 1: Вероятность наступления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

                           (8)

Отметим, что применение данной теоремы всегда требует проверки рассматриваемых событий на предмет их совместности!

Пример 12. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, при этом, на один выигрышный билет приходится 100 руб., на 5 билетов – 20 руб., на 100 билетов – 5 руб. Найти вероятность выигрыша не менее 20 рублей по одному лотерейному билету.

Решение. Пусть  – событие состоящее в выигрыше 5 руб., тогда

;

пусть  – событие выигрыша 20 руб., тогда

пусть  – событие выигрыша 100 руб., тогда

События , ,  – несовместны.

Пусть  – событие выигрыша ³ 20 руб., тогда  поскольку наступит или , или , то согласно (8):

Теорема 2: Вероятность суммы двух совместных событий  и  равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, то есть

                                         (9)

Пример 13. Найти вероятность, что при подбрасывании двух игральных кубиков хотя бы один раз выпадет 6 очков.

Решение. Введем события:

 – выпадение 6 очков на 1-ом кубике

 – выпадение 6 очков на 2-ом кубике

Ввиду того, что события  и  совместны, то есть 6 очков по условию задачи может появиться либо на одном из кубиков, либо на обоих сразу, то согласно теореме 2.

С учетом того, что получим:

.

1.2.2 Разность событий

Определение: Разностью двух событий  и :  принято называть событие, которое состоится, если  произойдет, а  не произойдет.

Пример 14. Победитель соревнования награждается: призом ( событие ), денежной премией (событие ), медалью (событие ). Что представляет собой, например, событие  ?

Решение. Событие  заключается в награждении победителя одновременно и призом, и премией без выдачи медали.

 

Примечание:  Разность двух событий  и  можно представить и как произведение события  на событие противоположное : , т.е.: . Соответственно в примере 14 интересующее событие можно представить в виде: .

1.2.3. Произведение событий

Определение: Произведением двух событий  называется такое третье событие, которое состоит в их совместном появлении.

    Если событий более двух, то их произведением называется событие, которое состоит в совместном появлении всех этих событий.

1.3.Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.

Определение: Условной вероятностью  принято называть вероятность события  при условии, что событие  уже произошло. Она определяется следующим образом

                                                                      (10)

Пример 15. В урне содержится три белых и три черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие ).

Решение. В урне, после первого испытания осталось 5 шаров, из них 3 белых. Следовательно, искомая условная вероятность

Получим этот же результат можно получить и по формуле (10). Предварительно отметим, что общее число исходов, т. е. совместного появления двух шаров (не важно какого цвета) определяется числом размещений . Из этого числа исходов, событию , что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый, благоприятствуют  исходов. Поэтому, . Искомая условная вероятность

Теорема: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что второе событие уже произошло.

    (или, )          (11)

Уравнение (11) может быть обобщено на случаи любого количества событий. В частности, для трех событий: .

При этом, совершенно безразлично какое событие считать первым, вторым и. т. д. Т. е., порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым.

Пример 16. Студент должен сдать по математике зачет и экзамен. Вероятность сдачи зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого для студента равна 0,9. Какова вероятность того, что студент сдаст и зачет и экзамен.

Решение. Введем следующие события:

 – сдача студентом зачета, тогда ;

 – сдача студентом экзамена после , тогда , поскольку событие  зависит от , то .

Пример 17. Буквы слова "ЗАДАЧА" написаны на отдельных карточках. Наудачу извлекают по одной четыре карточки без возврата. Какова вероятность того, что при этом получится слово "ДАЧА"?

Решение: Введем следующие события:

 – извлечение буквы "д", тогда ;

 – извлечение буквы "а", тогда .

Поскольку, после наступления события  остается 5 карточек, из которых три содержат букву "а", следовательно,  и  – зависимые события.

 – извлечение буквы "ч", тогда , так как  зависит от наступления событий  и ;

 – извлечение буквы "а", тогда , так как зависит от наступления событий  и  и ;

 – событие, которое состоит в появлении слова "дача", то есть наступят события  и  и  и , которые являются зависимыми, поэтому .

Пример 18. Вероятность попадания в цель каждого из трех орудий соответственно равна ; ; . Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Решение. Пусть события , ,  – попадание в цель первым, вторым и третьим орудием, тогда ; ; . Тогда события , ,  – промахи, соответственно, первого, второго и третьего орудия. Следовательно

.

Событие  состоит в том, чтобы хотя бы одно орудие попало в цель, тогда противоположное событие  будет состоять в том, что все три орудия промахнутся, т. е. .

Тогда

Искомая вероятность

    В том случае когда события независимые, например, вероятность события  не зависит от появление события , теорема умножения (11) принимает следующий вид

                                                                (12)

поскольку, в данном случае, условная вероятность события  равна его безусловной вероятности: . Равенство (12) можно использовать в качестве определения независимых событий. Два события являются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей этих событий. Если  – события  и  являются зависимыми.

Пример 19.. Имеются 3 ящика, которые содержат по 10 деталей. В первом ящике – 8, во втором – 7, а в третьем – 9 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают наудачу по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение.

События , ,  – извлечение стандартной детали, соответственно, из 1-го, 2-го и 3-го ящика.

;     ;     .

Поскольку события ,  и  –  независимые, то согласно (12):

.

Пример 20. На обувной фабрике, брак при изготовлении каблука составляет 1%, подметки – 4%, верхней части обуви – 5%. Какова вероятность покупки потребителем хорошей обуви?

Решение. Введем следующие события:

 – выпуск хорошего каблука;         – выпуск бракованного каблука;

 – выпуск хорошей подметки;        – выпуск бракованной подметки;

 – выпуск качественного верха;      – выпуск бракованного верха.

Согласно условию задачи:

;                      ;                     

Тогда

; ; ;

.

Р(А × В × С) = Р(А) × Р(В) × Р(С) = 0,99 × 0,96 × 0,95 = 0,913.

Следовательно, вероятность покупки хорошей обувной пары:

.

 

Формула Пуассона.

    В том случае, если количество испытаний велико , а вероятность события мала , так что ,  и . то используется приближенная формула Пуассона:

                                                                                (17)

Формулы Муавра-Лапласа..

    Если количество испытаний велико , а вероятности  и  достаточно большие, так что выполняются условия;  и , то применяют следующие приближенные формулы Муавра-Лапласа:

– локальная  где; ; – функция Гаусса.

– интегральная

где  – функция Лапласа.

Функция  – четная (, а – нечетная () Обе функции табулированы (см. Приложение).

Пример 23. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии: 

1) не превысит нормы в течение: а) 4-х суток; б) от 3-х до 4-х суток;

2) превысит норму по крайней мере в течение двух суток.

Решение: 1. Введем событие - это нормальный расход энергии в течение суток, поэтому . Тогда событие  - превышение нормы расхода электроэнергии в течение суток, то есть:

.

Ответим на поставленные вопросы задачи:

а) число испытаний

Событие  наступит 4 раза, т. е. , ;

Используя формулу Бернулли (5), получим:

б) число испытаний