Тема 4: «общие законы и уравнения движения жидкостей и газов».

1. Силы, действующие на движущуюся жидкость.

1) Силы вязкости;

2) Силы сопротивления.

 

2. Уравнение движения невязкой несжимаемой жидкости (уравнение Эйлера). Физический смысл его компонентов.

Рассмотрим движущуюся невязкую жидкость, плотность которой равна ρ. Выделим в жидкости элементарный параллелепипед с рёбрами dx, dy и dz, параллельными координатным осям (рис.). На массу жидкости в объёме параллелепипеда, равную ρdxdydz, действуют массовые силы, пропорциональные массе, и поверхностные силы давления окружающей жидкости, распределённые по граням параллелепипеда, направленные по внутренним нормалям к граням и пропорциональные площадям соответствующих граней.

Составим уравнения движения выделенной массы в проекциях на координатные оси. Произведение массы жидкости в параллелепипеде на проекцию ускорения движения его центра масс (полюса) по направлению OX равно: , где u_x – скорость центра масс в горизонтальном направлении.

Проекция на направление OX массовых сил, действующих на выделенную массу жидкости:  , где F_x – проекция на ось OX плотности распределения массовых сил.

Чтобы записать проекцию сил давления на горизонтальную ось OX, вспомним, что в сплошной жидкой среде давление есть непрерывная функция координат точек жидкости и времени:

Обозначим давление p в произвольной точке с координатами (x, y, z). В силу сплошности жидкости и непрерывности функции давления в точке с координатами (x+dx, y, z) давление равно  с точностью до бесконечно малых второго порядка.

Разность давлений  не будет одинакова для любой пары выбранных на гранях точек с одинаковыми координатами y и z, при этом проекция на ось OX результирующей силы давления равна: .

Записав уравнения движения в направлении OX, получим:

После деления на массу ():

Аналогично для проекций на направления осей OY и OZ:

Т.о., система ДУ движения невязкой жидкости имеет вид:

3. Уравнение Бернулли для элементарной струйки несжимаемой жидкости. Его геометрический и энергетический смысл.

Выделим в элементарной струйке сечениями I и II некоторую массу жидкости и составим уравнение кинетической энергии для этой массы. За время dt выделенная масса, переместившись, займёт положение, ограниченное сечениями I’-II’. Область между этими сечениями можно разделить на три объёма: a, b, c. При этом по условию сплошности масса объёма а равняется массе объёма b.

Приращение кинетической энергии при перемещении выделенной массы жидкости из положения I-II в положение I’-II’:

Т. к. движения установившееся, то кинетическая энергия жидкости объёма с в моменты t и t+dt будет постоянна. Поэтому для всей выделенной массы:

Определяем величину кинетической энергии жидкости в объёмах a и b:

В случае невязкой жидкости к выделенному объёму приложены силы тяжести, сила давления жидкости на боковую поверхность и силы давления на торцовые площадки объёма.

Т. к. жидкость несжимаема, внутренняя энергия рассматриваемого объекта не меняется при его перемещении, и в уравнение кинетической энергии входит только работа внешних сил. При перемещении выделенной массы жидкости из положения I-II в положение I’-II’ вес жидкости в объёме с работу не совершает, следовательно, работа сил тяжести может быть вычислена как работа при перемещении жидкости, заключённой в объёме а, в положение жидкости, заключённой в объёме b:

z­₁, z₂ – расстояния до центров тяжести объёмов а и b от некоторой горизонтальной плоскости (ордината этих центров тяжести).

Работа сил давления на боковую поверхность равняется нулю, т. к. эти силы нормальны к этой поверхности. Работа сил давления на торцы равна разности: .

Уравнение кинетической энергии имеет следующий вид:

Произведём замену: . Разделим левую и правую части уравнения на γ*dQ*dt, находим:

После некоторой перестановки компонентов получаем:

Геометрический смысл.

z – геометрическая высота, или напор; т. е. высота от центра тяжести живого сечения до плоскости сравнения (строго горизонтальной поверхности);

 – пьезометрическая высота, или напор; высота внешнего давления;

 – скоростная высота, или напор.

Все эти величины имеют линейную размерность, значит, их сумма, обозначаемая через H, имеет размерность длины.

H – полный напор в данном живом сечении.

Соединив между собой концы отрезков H, получим кривую, называемую линией полного напора.

Соединив между собой концы отрезков , получим кривую, называемую линией пьезометрического напора.

Энергетический смысл.

z – удельная потенциальная энергия положения;

 – удельная потенциальная энергия внешнего давления;

 – полная удельная потенциальная энергия;

 – удельная кинетическая энергия;

Все эти величины имеют уже не линейную размерность, как и их сумма E, называемая полной удельной энергией в живом сечении.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения механической энергии при движении идеальной жидкости.

4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости, его геометрический и энергетический смысл. Понятие пьезометрического и гидродинамического напоров.

Вязкая жидкость испытывает сопротивление при движении, и её удельная энергия не может сохраняться неизменной вдоль струйки. В соответствии с этим при движении вязкости жидкости в уравнение Бернулли надо ввести поправку на потери напора при переходе от некоторого живого сечения к сечению, расположенному ниже по течению. Обозначая потери напора через , получим следующую запись уравнения Бернулли применительно к некоторым двум произвольным живым сечениям трубопровода.

Геометрический смысл.

z – геометрическая высота, или напор; т. е. высота от центра тяжести живого сечения до плоскости сравнения (строго горизонтальной поверхности);

 – пьезометрическая высота, или напор; высота внешнего давления;

 – скоростная высота, или напор.

 – сумма потерь напора при движении жидкость от начального живого сечения трубопровода к конечному.

Все эти величины имеют линейную размерность, значит, их сумма, обозначаемая через H, имеет размерность длины.

H – полный гидродинамический напор, или высота, в данном живом сечении.

Линия, проведённая через концы отрезков полного напора, называется и в этом случае линией полного напора, но она понижается в направлении течения; чем больше наклон этой линии, тем интенсивнее потери напора / расход энергии по пути. Пьезометрическая линия по-прежнему может как снижаться, так и повышаться в зависимости от изменения скорости при изменении площади живого сечения трубопровода.

Соединив между собой концы отрезков , получим кривую, называемую линией пьезометрического напора.

Энергетический смысл.

z – удельная потенциальная энергия положения;

 – удельная потенциальная энергия внешнего давления;

 – полная удельная потенциальная энергия;

 – удельная кинетическая энергия;

 – сумма потерь энергии при движении жидкость от начального живого сечения трубопровода к конечному.

Все эти величины имеют уже не линейную размерность, как и их сумма E, называемая полной удельной энергией в живом сечении.

5. Пьезометрический и гидродинамический уклоны.

Пьезометрический уклон – уклон, определяемый выражением:

Пьезометрический уклон может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Гидродинамический уклон – отношение потерь напора на участке, ограниченном двумя живыми сечения трубопровода, к длине этого участка.

6. Распространение уравнения Бернулли для элементарной струйки на поток жидкости. Понятие о плавно изменяющемся движении. Учёт неравномерности распределения скоростей по сечению потока. Коррективы количества движения и кинетической энергии, их физический смысл.

В случае плавно изменяющегося движения уравнение Бернулли, составленное для элементарной струйки, можно распространить на поток с поперечным сечением конечных размеров (в таком потоке скорости различных точках поперечного сечения различны).

Плавно изменяющееся движение – такое движение, при котором линии тока параллельны или почти параллельны. Т. е. угол расхождения между соседними элементарными струйками настолько мал, что составляющими скорости в поперечном сечении можно пренебречь. Обратимся к ДУ Эйлера:

В этих условиях распределение давления по поперечному сечению следует закону гидростатики, т. е. величина  для всех точек сечения.

Рассмотрим поток как совокупность элементарных струек. Энергия каждой отдельной элементарной струйки:

Для всего потока:

Слагаемое, выделенное красным цветом, являет собой кинетическую энергию, его рассмотрим более подробно.

1)

2)

α – коэффициент Кориолиса, или корректив кинетической энергии, учитывает неравномерность распределения скоростей по живому сечению.

Данный коэффициент всегда больше единицы (за исключением случая, когда местные скорости в данном сечении равны между собой, тогда α=1 [идеальная жидкость]) и при обычном распределении скоростей равняется ≈1,1; во многих случаях (например, при расчёте трубопроводов) практически можно полагать α=1.

Для ламинарного режима: .

Для турбулентного режима: .

Продолжаем расчёт:

Разделяем на γQ, получаем:

Для потока вязкой жидкости уравнение Бернулли нужно дополнить четвёртым слагаемым – потерями напора (энергии) на пути движения жидкости от начального живого сечения трубопровода до конечного.

7. Понятие о равномерном и неравномерном движениях. Примеры.

Равномерное движение – вид движения, при котором средняя скорость потока остаётся постоянной на всём его протяжении (v=const.). Примером равномерного движения служит движение жидкости в цилиндрической трубе или канале неизменного сечения и постоянной глубины.

Неравномерное движение – вид движения, при котором средняя скорость потока изменяется вдоль его направления (v ≠ const.). Примером неравномерного движения служит движение жидкости в конической трубе, в естественном русле, на перепаде.