Тема 3: «Основы кинематики».

1. Методы изучения движения жидкости. Переменные Лагранжа и Эйлера.

Существуют два метода исследования движения жидкости – метод Лагранжа и Эйлера. В обоих методах жидкость (капельная и газообразная) рассматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая пространство. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается «частица» бесконечно малых размеров, но не отождествляемая с молекулой или атомом; вследствие этого рассматриваемая схема применима к изучению молекулярных движений.

1) Метод Ж. Л. Лагранжа. При этом способе предлагается рассматривать движение каждой частицы жидкости. В начальный момент времени положение частицы определено начальными координатами её полюса x₀, y₀ и z₀. При движении частица перемещается, и координаты её полюса меняются. Движение жидкости определено, если для каждой частицы можно указать координаты x, y, z как функции начального положения (x₀, y₀ и z₀) и времени t:

Переменные x₀, y₀, z₀ и t – переменные Лагранжа. Совокупность приведённых функций описывает траектории движений частиц жидкости. Из уравнений функций можно найти проекции на координатные оси скоростей и ускорений всех жидких частиц. Если обозначить через u вектор скорости жидкой частицы и через а вектор ускорения этой частицы, то проекции скоростей:

И ускорений:

При описании движений жидкости методом Лагранжа можно пользоваться также криволинейными координатами.

Способ применяют при решении специальных задач, например, при расчёте волновых движений.

2) Метод Л. Эйлера. При этом способе движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторой неподвижной области, выбранной в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этой области, определяемой координатами x, y и z, находится частица жидкости, имеющая некоторую скорость u. Эту скорость называют мгновенной местной скоростью. Совокупность мгновенных местных скоростей представляет собой векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае оно может изменяться во времени и по координатам:

Переменные x, y, z и t – переменные Эйлера.

 

2. Понятие траектории и линии тока. Дифференциальное уравнение (ДУ) линии тока. Могут ли совпадать траектории и линии тока?

Траектория – геометрическое место точек пространства, через которые движущаяся частица последовательно проходит по времени.

Линия тока – линия, соединяющая ряд последовательно движущихся одна за другой частиц таким образом, чтобы в каждой точке векторы скоростей являлись касательными к линии. Траектория и линия тока могут совпадать при установившемся движении частицы.

Из условия совпадения касательной к линии и вектора местной скорости можно получить уравнение линии тока. Направляющие косинусы (косинусы углов касательной к линии тока с осями координат) равны  (dx, dy, dz – проекции элемента линии тока dl на оси координат).

Косинусы углов вектора скорости с осями координат (направляющие косинусы для местной скорости u) равны u_x/u, u_y/u, u_z/u.

На линии тока:

Или:

Отсюда ДУ линий тока для данного момента времени равны:

Здесь t рассматривают как параметр, имеющий заданное значение. Задавая различные значения t, можно определить линии тока для разных моментов времени.

Линии тока можно построить следующим образом (рис.): пусть в области, через которую движется жидкость, в выделенной нами в некоторый момент времени т. 1 скорость равна u₁. В т. 2, расположенной бесконечно близко на отложенном из т. 1 векторе скорости u₁, в тот же момент времени скорость равна u₂. На векторе u₂ в бесконечно близкой т. 3 в тот же момент времени скорость равна u₃ и т.д. Векторы скоростей u₁, u₂, u₃ и т.д. образуют в общем случае ломаную линию. Если провести огибающую этой ломаной, то получим линию тока.

3. Что такое критические точки? Привести примеры.

Через точку, где скорость не обращается в нуль или в бесконечность, может проходить лишь одна линия тока, т. е. линии тока не пересекаются. В точках, где скорость равна нулю или бесконечности, линии тока могут пересекаться или разветвляться. Такие точки называют особыми, или критическими, точками. Пример: обтекание рекой участка суши.

4. Понятие трубки тока и элементарной струйки. Охарактеризовать струйчатую модель стока.

Если в некоторый данный момент времени выделить в области, через которую движется жидкость, замкнутый, не пересекающий себя контур abcd, ни одна из точек которого не является особой точкой потока, то через каждую точку такого контура в данный момент времени проходит единственная линия тока. Совокупность линий тока, проведённых через все точки контура, образует поверхность, называемую трубкой тока.

Движущая внутри трубки тока жидкость образует струйку. Внутри трубки тока в данный момент времени жидкость течёт, не касаясь «стенок», т.к. скорости потока касательны к линиям тока.

Элементарная струйка – струйка, боковая поверхность которой образована линиями тока, проходящими через бесконечно малый замкнутый контур.

Характеристики струйчатого стока:

1) Живое сечение;

2) Местная скорость (скорость элементарной струйки);

3) Смоченный периметр;

4) Гидравлический радиус;

5) Объёмный расход жидкости;

6) Средняя скорость потока.

5. Что такое живое сечение потока?

Живое сечение – сечение, проведённое строго перпендикулярно направлению движения элементарной струйки или целого потока (или перпендикулярно направлению вектора средней скорости.

ω – площадь живого сечения, м².

6. Понятие гидравлического радиуса.

Гидравлический радиус – величина, являющая собой отношение живого сечения к смоченному периметру.

Смоченный периметр χ, м – часть периметра живого сечения, имеющая контакт со стенками русла.

 

 

7. Виды потоков.

1) Напорный поток (движение) – происходит за счёт разности давлений в начале и в конце трубопровода. При таком потоке свободная поверхность отсутствует.

2) Безнапорный поток (движение) – имеется свободная поверхность, имеет место быть уклон, причём движение проходит в сторону положительного уклона.

8. Понятие местной и средней скорости.

Местная скорость u, м/с – скорость элементарной струйки.

Средняя скорость v, м/с – среднее арифметическое местных скоростей. Определяется выражением:

Q – расход жидкости, м³/с; ω – площадь живого сечения, м².

9. Что такое объёмный расход? Понятие о массовом расходе.

Объёмный расход жидкости Q – количество жидкости, протекающее через данное живое сечение в единицу времени:

Массовый расход жидкости Q_ρ – масса вещества, протекающего через данное живое сечение в единицу времени:

10. Какое давление мы называем установившимся и неустановившемся? Как можно выразить на языке математики?

По характеру изменения во времени поля скоростей движения жидкости можно подразделить на следующие два вида:

1) Установившееся движение – вид движения, при котором основные характеристики (средняя скорость потока v и гидростатическое давление p) переменны в пространстве, но постоянны во времени:

Средняя скорость и гидростатическое давление есть функции, зависящие от положения частицы жидкости в пространстве.

2) Неустановившееся движение – вид движения, при котором основные характеристики движения переменны как в пространстве, так и во времени.

Средняя скорость и гидростатическое давление есть функции, зависящие от положения частицы жидкости в пространстве и от времени.

11. Уравнение неразрывности потока в дифференциальной и гидравлической формах для сжимаемой и несжимаемой жидкости в условиях неустановившегося движения.

Дифференциальная форма. Пусть в некотором поперечном сечении элементарной струйки скорость равна u. За время dt частицы жидкости переместятся на расстояние ds=udt. Следующие за ними частицы жидкости заполнят всё освобождаемое пространство, и поэтому за указанное время dt через поперечное сечение пройдёт объём жидкости:

Разделим данное уравнение на dt, получим:

Элементарный расход жидкости:

Получаем выражение:

Рассмотрим такое движение жидкости, при котором в потоке не возникает пустот (т. е. текущая жидкость представляется сплошной средой). В этом случае для двух соседних сечений элементарной струйки несжимаемой жидкости I и II (рис.) можем написать:

По условию сплошности течения не может быть меньше , иначе между рассматриваемыми сечениями образовалась бы пустота, т. к. в этом случае из сечения II выходило бы большее, количество жидкости, чем входит через сечение I. Точно так же не может быть больше . Следовательно, единственно возможное условие . Повторяя эти рассуждения применительно к другим сечениям струйки, можно написать:

Т. о., объёмный расход жидкости остаётся неизменным на всём протяжении данной элементарной струйки.

Гидравлическая форма.

1) Для несжимаемой жидкости можно записать:

2) Для сжимаемой жидкости (газообразной) можно записать:

12. Режимы движения. Число Рейнольдса. Его практическое применение и физический смысл.

Различают следующие режимы движения:

1) Ламинарный – строго упорядоченное движение частиц жидкости.

2) Турбулентный – хаотичное движение частиц жидкости.

Число Рейнольдса Re – безразмерный комплекс, составленный из кинематической вязкости ν, внутреннего диаметра трубы d и средней скорости потока v. Характеризует режим движения жидкости и отношение сил инерции к силам трения (вязкости).

Скорость, при которой меняется режим движения жидкости, называется критической скоростью. О. Рейнольдсом было обнаружено существование двух критических скоростей: одной – при переходе ламинарного режима движения в турбулентный режим (верхней критической скорости), другой – при переходе турбулентного режима в ламинарный (нижней критической скорости). Установлено, что значение верхней критической скорости зависит от внешних условий: постоянства температуры, уровня вибраций установки и т. д. Нижняя же – остаётся практически неизменной вне зависимости от изменений внешних условий. Было показано, что нижняя критическая скорость для потока в цилиндрической трубе круглого сечения пропорциональна кинематической вязкости и обратно пропорциональна диаметру трубы:

Коэффициент пропорциональности k оказался одинаковым для различных ν и d:

Данное число было названо критическим числом Рейнольдса.