Вычисление пределов (Правило Лопиталя)

 

Рассмотрим вычисление пределов дроби , когда x a или x , причем f (x) и g (x) либо одновременно стремятся к нулю, либо одновременно стремятся к бесконечности.

Теорема 6. Пусть функции f и g дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности U точки a (т.е дифференцируемы во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки a), g ’(x) отлично от нуля в U, и пусть . Тогда если существует , то существует и , причем эти пределы равны:

= .

 

в случае, когда  и , геометрический смысл этой теоремы состоит в следующем. Графики функций  и  пересекают ось абсцисс в точке М(a;0), и поэтому уравнения их касательных к этим графикам в точке М имеют вид  и  Но предел отношения функций  и  при  равен пределу отношения ординат касательных при , а этот предел и равен .

Доказательство. Доопределим функции f и g, положив их значение в точке a равным нулю, f (a)= g (a)=0, то

 

= ,

 

где точка c лежит между a и x. При  имеем  и поэтому

 

=

 

что и требовалось доказать. [2, c. 135]

Замечание. Условие теоремы 1 выполнены, если функции f и g дифференцируемы в проколотой окрестности точки a, непрерывны в этой точке, причем f (a)= g (a)=0.

Теорема 7. Пусть функции f и g дифференцируемы на луче , причем , и пусть . Если существует , то существует и :

= .

Доказательство. Положим х = .Тогда

 

, ,

, .

Имеем

 

.

Для вычисления предела  воспользуемся теоремой 1. Получим

 

= .

 

Теорема доказана. [2, c. 135]

В этих теоремах мы рассмотрели случаи раскрытия неопределенности вида , когда  и когда x + . Аналогично обстоит дело и в случае, когда x - или x . Заметим, что проведенные доказательства сохраняют свою силу и в том случае, когда  равен  или , где a - число или один из символов  или .

Теперь мы рассмотрим вопрос о раскрытие неопределенности вида . Начнем со случая, когда x + (случаи, когда x - или x , рассматриваются аналогично).

Теорема 8. Пусть функции f и g дифференцируемы на луче , причем , и пусть  .Тогда если существует , то существует и , причем

= .

 

Доказательство. Возьмем произвольное положительное число ε>0. по условию существует ; положим =А. Тогда по определению предела найдется такое число N, что для  выполняется неравенство

 

. (21)

 

Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что . Применив к отрезку  теорему Коши, получим

 

 где .

 

Так как , то, воспользовавшись неравенством (21), получим

 

,

 

откуда

 

 . (22)

 

Перепишем это неравенство в виде

 

, (22’)

где для краткости через  обозначена дробь .

Так как , то  и поэтому .

Разделим обе части неравенства (22’) на . Так как , то при достаточно больших значениях x имеем  и , а поэтому

 

. (23)

 

Итак, для любого ε>0 существует число М, такое, что для выполняется неравенство (23), а это означает, что

= A. [2, c.137]

 

Замечание. Теорема сохраняет свою силу и в случае, когда .

 

В этом случае , а тогда и . Отсюда следует, что , т. е.

.

 

Замечание. Теорема справедлива и в случае , где a - число. Для доказательства достаточно положить . Если , то  и теорема сводится к уже доказанной.

Теоремы 6, 7, 8 называются правилом Лопиталя.

Рассмотрим примеры применения правила Лопиталя для вычисления пределов функций.

Пример 21. Вычислим

 

.

 

Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя, можем записать:

 

 

Разумеется, используя и в дальнейшем подобную краткую запись, мы предполагаем, что все условия соответствующей данному случаю теоремы выполнены и, в частности, что предел отношения производных существует.

Пример 22. Вычислим

 

,

а при  знаменатель  , в нуль. Поэтому поступим иначе. Сначала с помощью правила Лопиталя найдем предел

 

.

 

Но тогда, в силу того, что функция  ограничена и потому , получаем

 

.

 

Иногда при вычисление пределов с помощью правила Лопиталя получается, что  снова представляет собой неопределенность вида  или . В таком случае, если выполняются условия соответствующих теорем, можно еще раз применить правило Лопиталя, заменив отношение функций  и  отношением их производных, т. е. выражением .

Пример 23. Вычислим

 

.

 

Решение. Имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:

.

 

Снова получилась неопределенность вида . Условие теоремы 7 выполняются. Применим к полученному выражению еще раз правило Лопиталя:

 

.

 

Итак,

 

=0.

 

Во многих случаях дифференцирование, которое мы применяем по правилу Лопиталя, приводит к более простым выражениям, если предварительно заменить бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой или выполнить необходимые упрощения.

Пример 24. Вычислим

 

.

 

Решение. Так как ~ при , то ~ и, следовательно,

 

.

Имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя, получим

 

.

 

Снова имеем неопределенность вида  и вновь применим правило Лопиталя. Но, прежде чем перейти к повторному дифференцированию, воспользуемся тем, что . Получим

 

 

Заключение

Изучив материал в количестве 10 источников были решены и поставлены задачи исследования и достигнута цель работы. В представленной работе материал структурирован. Общий объем работы 40 страниц. Работа содержит две главы, в первой главе «Понятия необходимые для решения математических задач с помощью производной» даны понятия производной, предела функции, интеграла, дифференциала функции. Во второй главе «Применение производной к решению задач» описано исследование функции, применение производной при решении задач в разных науках, таких как геометрия, физика, вычисление интегралов, доказательство неравенств, вычисление пределов (правило Лапиталя).

Было решено 24 примера, из них самостоятельно составлено 5 примеров.

Работа по данной теме способствовала формированию поисковых и исследовательских навыков, развитию логического и конструктивного мышления.

Работа по данной теме интересна, и поэтому будет продолжено ее исследование в методическом аспекте.

 

Список литературы

 

1.Алимов Ш.А. алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Ш.А. Алимов, Ю.В. Сидоров и др.- М.: Просвещение, 1992.- 254 с.

.Виленкин Н.Я. Математический анализ: Дифференц. исчисление. Учебн. пособие для студентов-заочников I курс физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович, Е.С. Куницкая.- 2-е изд., перераб.- М.: Просвещение, 1984.- 175 с.

.Гусев В.А. Математика: Справ. Материал: Кн. для учащихся. / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович.- М.: Просвещение, 1988.-416 с.

.Колмогоров А.Н. алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. - 2-е изд.- М.: Просвещение, 1991.-320 с.

. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для вузов. В 2-х т. Т. 1. / Н.С. Пискунов.- М.: Интеграл-Пресс, 2002.-416 с.

.Рубинов А.М. элементы математического анализа: Учеб. пособие для учителей / А.М. Рубинов, К.Ш. Шапиев.- М.: Просвещение, 1972.-278 сШефель В.Г. Высшая математика. Учебн. пособие для студентов-заочников / В.Г. Шефель, М.В. Грунина, В.Н. Бабин,.- Новосибирск, 2001.-253 с.

.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц; пред и прим А.А. Флоринского.- М.: ФИЗМАТЛИТ, Лаборатория Знаний, 2003.-680 с.

.Жафяров А.Ж. Геометрия: Учеб. пособие: В 2-х ч. Ч. 2.-2-е изд., адаптированное под стандарты II поколения.- Новосибирск: Сиб. унив. Изд-во, 2003.-267 с.

.Жафяров А.Ж. Геометрия: Учеб. пособие: В 2-х ч. Ч. 1.-2-е изд., адаптированное под стандарты II поколения.- Новосибирск: Сиб. унив. Изд-во, 2002.-271 с.