Понятие дифференциала функции

 

Пусть функция f дифференцируема в точке x, т.е. пусть ее приращение может быть записано в виде

,

 

где . Это приращение состоит из двух слагаемых: , пропорционального , и , зависимость которого от  сложнее, так как  тоже зависит от . Слагаемое  называют дифференциалом функции f и обозначают df,

 

. (19)

 

Таким образом, дифференциал функции равен произведению ее производной на приращение аргумента.

Дифференциал- от латинского слова differentio- разность.

Теорема 2. Если функция f дифференцируема в точке x, причем производная от f не обращается в нуль в этой точке, то дифференциал функции f и ее приращение являются при  эквивалентными бесконечно малыми, т.е.

 

.

Доказательство. Мы имеем  и . Так как , то

 

.

Поскольку дифференциал эквивалентен при  приращению функции, причем он в отличие от приращения пропорционален (а не только «почти пропорционален») приращению аргумента, то дифференциал функции является главной линейной частью приращения.

Заметим, что , то дифференциал функции f в точке  равен нулю. В этом случае  и поэтому приращение является бесконечно малой более высокого порядка, чем :

 

.

 

Заметим, что дифференциал может быть и больше, чем приращение функции (это будет иметь место, если ). [2, c. 14]

Пример 5. Найдем приращение и дифференциал функции  при x = 1, .

Решение. Так как , то .

При ,  имеем .

Приращение же функции  при x = 1,  равно .

Найдем дифференциал для функции f, где f (x)= x. Так как , то . Поскольку для этой функции f (x)= x, то пишут . Таким образом, считают дифференциал независимой переменной равным приращению этой переменной. В соответствии с этим формулу (17) обычно записывают в следующем виде: . В приложениях функции обычно записывают в виде , обозначая буквой x аргумент, а буквой y - значение функции. При такой записи производную от функции f обозначают  или . Соответственно дифференциал функции y = f (x) обозначают , причем употребляют как запись , так и запись .

Из формулы  следует, что

 

.

 

Запись  (или ) используется для обозначения производной функции f.

 

Глава 2. Применение производной к решению задач

Исследование функции

 

Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.

Возрастание и убывание функций.

Как известно функция, заданная на множестве , называется возрастающей на этом множестве, если для любых , таких, что , имеем :

 

.

Если

,

 

то функция  называется неубывающей на множестве .

Аналогично определяются понятия убывающей и невозрастающей функций.

Теорема 3. Если функция   непрерывна на отрезке , а ее производная положительна на интервале , то   возрастает на .

Доказательство. Рассмотрим две любые точки , такие, что . Так как для функции  на отрезке  выполняется условие теоремы Лагранжа, то

, (18)

 

где точка  лежит между  и .

Поскольку оба множителя правой части равенства (18) положительны ( по условию,  в силу выбора точек), то

, (19)

 

а значит, и

.

 

Итак,  и, следовательно, функция  возрастает на , что и требовалось доказать. [2, c. 99]

Теорема 4. Если функция   непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна на интервале , то   убывает на .

Доказательство этой теоремы аналогично.

Пример 6. Докажем, что функция  убывает на всей числовой прямой.

Решение. Имеем

 

.

Так как при любом  выполняется неравенство  и, кроме того, равенство  выполняется только в одной точке , то на всей числовой прямой , причем  в одной точке. Значит, функция убывает на всей числовой прямой. Экстремумы функции.

Определение 7. Пусть функция , заданная на множестве , определена в некоторой окрестности точки  и непрерывна в этой точке. Если существует такая окрестность точки , что для всех точек  этой окрестности выполняется неравенство ,

то  называется точкой максимума (минимума) функции .

Точки максимума называют точками экстремума. [2, c. 85]

Определение 8. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими (иногда точки, где производная равна нулю, называют стационарными). [2, c. 86]

Теорема 5. пусть функция  определена в точке  и пусть существует , такое, что функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервалах , причем производная данной функции сохраняет знак на каждом из этих интервалов.

Если на  знаки производной различны, то - точка экстремума, а если совпадают, то  не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку  производная меняет знак с «+» на «-», то точка - точка максимума, если же производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума.

Доказательство. Пусть производная  положительна на интервале  и отрицательна на . Докажем, что - точка максимума функции.

По условию функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале   и на этом интервале имеем . Значит по теореме 1 функция  возрастает на отрезке . Поэтому из неравенства , где , следует . Аналогично устанавливаем, что функция  убывает на отрезке , а поэтому из неравенства , где , следует .

Таким образом, в - окрестности точки   для точек , отличных от , выполняется неравенство

 

.

Это означает, что - точка максимума функции .

Рассмотрим случай, когда производная не меняет знака при переходе через точку ; пусть она отрицательна как слева, так и справа от . Тогда функция убывает как на отрезке , так и на отрезке . В таком случае   не является точкой экстремума.

Остальные два случая рассматриваются аналогично. Теорема доказана. [2, c. 101] Таким образом, чтобы исследовать функцию  на экстремум, нужно: 1) найти ее производную; 2) найти критические точки; 3) рассмотреть окрестность каждой из критических точек, не содержащую других критических точек, и исследовать знак производной слева и справа от рассматриваемой точки; 4) опираясь на данную теорему сделать выводы.

Пример 7. Исследуем на экстремум функцию .

Решение. Имеем

 

.

 

Приравняв производную к нулю, находим . При переходе через точку  производная меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку  производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. Имеем .