Тема 4 Методы, используемые для установления

Подобия и отличия объектов и систем

Критерий Стъюдента (t)

Критерий наименьшей существенной разности (НСР)

Критерий Фишера (F)

4 Критерий соответствия (χ²)

 

 

Достоверность различий между генеральными сово­купностями (Ni, N ₂...) может быть определена с помощью следующих критериев достоверности: критерия Стьюдента (t), наименьшей существенной разности (НСР), кри­терия соответствия (χ²), критерия Фишера (F).

 

1Критерий Стьюдента. Сравнение выборочных сово­купностей по критерию Стьюдента t позволяет утверж­дать с некоторой долей уверенности сходство или раз­личие между средними выборок по разнице между ними с использованием фор­мулы

                                      (4.1)

где d – разность между средними (М₁ – М₂); т _d – ошиб­ка разности средних.

Выделяют три типа сравниваемых статистических со­вокупностей: независимые с одинаковым объемом вы­борок (N ₁ = N ₂), независимые с разным объемом выбо­рок (N ₁ N ₂), сопряженные только с одинаковым объ­емом выборок (N ₁ = N ₂).

Независимые статистические совокупности могут быть получены на одной или нескольких точках, но при оди­наковых условиях проведения эксперимента: например, измерение температуры воздуха в июле в г. Минске в течение нескольких лет и установление достоверных раз­личий между этими показателями по годам исследова­ний; определение содержания бора в автономных ланд­шафтах. Поэтому при установ­лении степени свободы в каждом независимом экспери­менте выборочные совокупности суммируются.

Сопряженные статистические совокупности, как и не­зависимые, однозначны по смыслу, их получают при про­ведении исследований на одном или нескольких ключах, но в разных условиях. Например: измерение температур воздуха и почвы на глубине 5 см в г. Минске в июле и сравнение полученных показателей (условия разные, точка наблюдения одна и та же); Степень свободы в каждом рассматриваемом эксперименте опреде­ляется по числу пар сравниваемых выборок (N_u). Рассмотрим расчеты достоверности различий для одинакового и разного объемов выборок.

 

Пример 1. При исследовании глубины расчленения рельефа в Воложинском районе N ₁ и Браславском районе N ₂ необходимо уста­новить, объединять рассматриваемые участки в один геоморфологи­ческий район по степени расчленения рельефа или различать их как самостоятельные. Воложинский район – 20, 17, 16, 15, 15; Браславский район – 17,16, 15, 14, 14. (N₁ = N₂)

1) Находим среднее арифметическое для каждой выборки

 

 

Таблица 2 – Форма обработки вариант в независимых совокупностях

х1	(x1 – M1)	(x1 – M1)^2	х2	(x2 – M2)	(x2 – M2)^2
20	3,4	11,56	17	1,8	3,24
17	0,4	0,16	16	0,8	0,64
16	- 0,6	0,36	15	- 0,2	0,04
15	- 1,6	2,56	14	- 1,2	1,44
15	- 1,6	2,56	14	- 1,2	1,44
		Σ = 17,2			Σ = 6,8

 

2) Находим разность между средними

                                   d =М₁ – M ₂                                              (4.2)

d = 16,6 – 15,2 = 1,4 м

При расчете разницы между средними из большей величины вычитают меньшую независимо от нумерации выборочных совокупностей.

3) Затем находят ошибки средних для каждой выборки в отдельности по формуле

                        (4.3)

4) Находим ошибку разности между средними по формуле:

                                      (4.4)

 

5) Число степеней свободы устанавливают следующим об­разом:

                                     v = N ₁ + N ₂ – 2                                    (4.5)

                                     v= 5 + 5 – 2 = 8

6) Определяем Критерий Стьюдента

                                              (4.6)

 

Сопоставляем табличные значения критерия Стьюдента t_т=2,32 и 3,36 (см. приложение 4) при Р=0,95 и 0,99 для v=8 с расчетным. Поскольку t_Т > t _Ф,, то разность между средними признается несу­щественной (недостоверной). Следовательно, при выделении геомор­фологических районов по глубине расчленения рельефа рассматри­ваемые участки необходимо объединить в один геоморфологический район.

 

Пример 2. При исследовании глубины расчленения рельефа в Воложинском районе N ₁ и Браславском районе N ₂ необходимо уста­новить, объединять рассматриваемые участки в один геоморфологи­ческий район по степени расчленения рельефа или различать их как самостоятельные. Воложинский район – 20, 17, 16, 15, 15; Браславский район – 17,16, 15, 14, 14, 16. (N₁ ≠ N₂)

1) Находим среднее арифметическое для каждой выборки

 

 

Таблица 2 – Форма обработки вариант в независимых совокупностях

х1	(x1 – M1)	(x1 – M1)^2	х2	(x2 – M2)	(x2 – M2)^2
20	3,4	11,56	17	1,7	2,89
17	0,4	0,16	16	0,7	0,49
16	- 0,6	0,36	15	- 0,3	0,09
15	- 1,6	2,56	14	- 1,3	1,69
15	- 1,6	2,56	14	- 1,3	1,69
			16	0,7	0,49
		Σ = 17,2			Σ = 7,34

2) Находим разность между средними d =М₁ – M ₂ = 16,6 – 15,3 = 1,3 м

3) Ошибка разности средних, определяется по формуле

 

              (4.7)

где Σ(x₁ – M₁)²  – сумма квадратов отклонений от среднего для первой выборки; Σ (х₂ –М₂)² – второй выборки; N₁, N₂– количество вариант в первой и второй выборках соответственно;

4) Число степеней свободы для разного объема выборок устанавливают следующим об­разом:

                      (4.8)

 

                                         (4.9)

m₁, m₂— ошибка среднего первой и второй выборок соответственно

                   (4.10)

 

 

5) Определяем Критерий Стьюдента

                                               (4.11)

Сопоставляем табличные значения критерия Стьюдента t_т=2,45 и 3,71 (приложение 4) при Р=0,95 и 0,99 для v=6 с расчетным. Поскольку t_Т > t _Ф,, то разность между средними признается несу­щественной (недостоверной) рассматри­ваемые участки необходимо объединить в один геоморфологический район.

 

Пример 3. Получены сопряженные выборки только с одинаковым объ­емом конечно-моренного ландшафта N ₁ и донно-моренного ландшафта N ₂. Число пар N _П = 5. Воложинский район – 20, 17, 16, 15, 15; Браславский район – 17,16, 15, 14, 14  ( N ₁ = N ₂).

1) Находим среднее арифметическое для каждой выборки

 

 

 

Таблица 3 – Форма обработки данных сопряженных наблюдений

Глубина расчленения, м		di
N1	N2
20	17	3	9	+ 1,6	2,56
17	16	1	1	—0,4	0,16
16	15	1	1	—0,4	0,16
15	14	1	1	—0,4	0,16
15	14	1	1	—0,4	0,16
Σ=83	Σ=76	Σ=7	Σ=13	Σ=0	Σ=3,20
M1=16,6	М2=15,2	= l,4		=1,4

2) Находим разность между средними

                                                                                               (4.12)

= 16,6 –15,2=1,4

 

3) Находим ошибку разности между средними по формуле:

                      (4.13)

                                             (4.14)

где di – разность между индивидуальными сопряжен­ными вариантами в выборках;   – разность между сред­ними сопряженных выборок; N _П – число сопряженных пар в сопряженных выборках.

4) Число степеней свободы устанавливают следующим об­разом:

                                  v = N_П – 2                                                  (4.15)

v= 5 – 2=3

5) Определяем Критерий Стьюдента

Сопоставляем табличные значения критерия Стьюдента t_т=3,18 и 5,84 (приложение 4) при Р=0,95 и 0,99 для v=3 с расчетным. Поскольку t _Ф > t_Т при Р=0,95,то разность между средними признается су­щественной (достоверной). Следовательно, при выделении геомор­фологических районов по глубине расчленения рельефа рассматри­ваемые участки необходимо рассматривать как самостоятельные.

 

2 Критерий наименьшей существенной разности (НСР) показывает то ми­нимальное различие между средними, начиная с которо­го при выбранном уровне вероятности средние сравни­ваемые показатели существенно отличаются друг от дру­га. Величина критерия НСР выражается в тех же единицах, что и сравниваемые средние выборочных со­вокупностей, и определяется по формуле:

                                                                       (4.16)

где т _d – ошибка разности средних; t_T – табличное зна­чение критерия Стьюдента при выбранном значении уровня вероятности.

Если разность между сравниваемыми средними в условиях эксперимента больше или равна величине НСР при Р = 0,95 или 0,99, то различие существенно. Если разность между средними меньше НСР, то различие обусловлено случайными факторами и признается недо­стоверным.

Проверим достоверность разности между средними арифметическими с использованием критерия НСР для случаев независимого и сопряженного наблюдений по формуле:

НСР₀,₉₅ = 2,32 • 1,1 = 2,55 м, НСР₀,₉₉ = 3,36• 1,1 = 3,696 м для независимых наблюдений;

НСР₀,₉₅ = 3,18 • 0,40= 1,27 м, НСР₀,₉₉ = 5,84 •,40 = 2,34 м для сопряженных наблюдений.

По величине НСР достоверное различие между средними уста­новлено лишь при сопряженном наблюдении для уров­ня вероятности 0,95 (HCP₀,₉₅=1,27< = 1,4 м).

 

3 Критерий Фишера (F) используется для установления достоверностиразличия между совокупно­стями по дисперсиям. В таких случаях лучше использовать критерий Фишера F (положи­тельное асимметричное распределение). Расчет критерия Фишера производится по формуле:

                                                                      (4.17)

где  по абсолютной величине должна быть больше, чем .

Если величина расчетного критерия Фишера F_Ф не превышает величины приведенного в таблице F_T (при­ложение 5), то различие между сравниваемыми диспер­сиями считается недостоверным. При Fф > F_т эти диспер­сии достоверно различны, а различие сравниваемых ге­неральных совокупностей признается неодинаковым. Степень свободы рассчитывается для сравниваемых со­вокупностей отдельно по формуле v = N – 1.

 

Пример. Необходимо установить достоверность различия в содержании гумуса в дерново-подзолистой заболоченной суглинистой почве для северной n ₁ и центральной n ₂ провинций РБ. Количе­ство вариант в обеих совокупностях одинаковое.

В результате обра­ботки данных получены следующие средние и дисперсии: M₁ = 3,53 %, =0,0024 %; M₂ = 3,32 %, =0,00032 %. Сравниваемые совокуп­ности весьма сходны и можно констатировать отсутствие различия между ними. Однако пределы колебаний в совокупностях сущест­венно отличаются по вариантам (более чем в 2 раза), что требует для доказательства сходства или различия использовать критерий Фишера. В результате вычислительных операций получены следую­щие результаты:

F_ф = / = 0,0024: 0,00032 = 7,5.

 

Степень свободы равна: v₁ = 5—1=4,

                                v₂ = 5—1=4.

Для P=0,95 и 0,99 F_T = 6,39 и 15,98 (приложение 5) соответственно. Поскольку Fф>F_т, то различие в содержании гумуса по провинциям признается существенным при уровне вероят­ности Р=0,95.

4 Критерий соответствия (χ²) - количественное изучение явле­ний требует создания гипотез, с помощью которых мож­но объяснить эти явления. Для этой цели используется критерий кси-квадрат (χ²), или кри­терий соответствия, который рассчитывается по формуле

                               (4.18)

где φ, φ' – число наблюдений в опыте фактическое и теоретически ожидаемое.

Если рас­четные значения кси-квадрат превышают табличные (приложение 6), то гипотеза о независимости признаков отвергается. Если < , то признаки можно считать не­зависимыми.

Степень свободы при проверке гипотезы о нормальном распределении вычисляется по формуле

                                             v = k –3                                          (4.19)

где k – число классов.

Достоверность расчетных данных можно также оце­нить по формуле:

                                                                       (4.20)

Различие считается достоверным, если D 3. При обра­ботке данных по условиям применения критерия кси-квадрат требуется, чтобы частота в каждом классе была не менее пяти.

 

Пример. Следует определить число сельских жителей с бронхолегочными заболеваниями, обострение болезни у которых связано с природными условиями местожительства.

Для обработки выбороч­ных вариант составляем таблицу. Всего выявлен 71 больной жи­тель из 639 обследованных одного возраста и пола по 9 человек в каждом населенном пункте.

Таблица 4 - Сравнение эмпирических и теоретических частот с использованием критерия кси-квадрат

Число обследованных жителей (классы)	Число фактических больных, φ	Число теоретически больных, φ'	φ – φ'	(φ- φ')^2	(φ- φ')^2 φ'
1	2	3	4	5	6
1-71 72-142 143-213 214-284 285-355 356-426 427-497 498-568 569-639	10 15 12 10	13 14 10 11	-4 (11-15)   -3 1 2 -1 5	16   9 1 4 1 25	1,06   0,69 0,07 0,40 0,09 3,12
i=9	N=71	N=71		=5,43

Для обработки данных количество об­следованных сгруппировано в 9 классов. Поскольку частота в каж­дом классе φ, φ' должна быть не менее 5, объединяем первые три и последние два класса в столбцах 2 и 3. Получаем новые классы с частотами 11,15 и 13,8 (всего по 6 классов распределения). Затем производим расчеты, которые позволяют получить критерий  (см. таблицу).

Сравниваем и при величине степени свободы v= k –3=6–3=3 и для Р= 0,95. Поскольку =5,43< =7,815 (приложение 6), теоретическое распределение частот несущественно отличается от эмпи­рического, а гипотеза признается состоятельной.

Определим также достоверность :

 

Полученная величина D=0,99<3, следовательно, рассчитанное значение  показывает достоверное влияние природных условий на распространение бронхолегочных заболеваний.

 

 

Задания для самостоятельной работы

1 Необходимо установить достоверность различия в содержании гумуса в дерново-подзолистой заболоченной суглинистой почве для северной N₁ и центральной N₂ провинций РБ. Количество вариант в обеих совокупностях одинаковое. В результате обработки данных получены следующие средние и дисперсии:  М₁= 4,223 %, σ₁²= 2,055 %;  М₂= 3,15 %, σ₂²= 22,1 %; N = 15.

2 Сравнить глубину расчленения рельефа в пределах конечно-моренного ландшафта N₁ и донно-моренного ландшафта N₂ (получены сопряженные выборки). Исходные данные представлены в таблице 2.

3 При исследования глубины расчленения рельефа в двух районах Беларуси N₁ и N₂ необходимо установить, объединять рассматриваемые участки в один геоморфологический район по степени расчленения рельефа или различать их как самостоятельные. Данные приведены в таблице 2.

 

 

Таблица 2

Х1	Х2
5 6 5 3 4 4	4 5 6 5 6 6

4 Собрав данные о городах юго-запада Англии с числом жителей 8-12 тыс. в каждом, обнаружено, что число антикварных магазинов выше среднего (5) в тех городах, где высока доля пенсионеров. Таблица 1 показывает полученное распределение частот.

Таблица 1 – Наблюдаемое и теоретическое распределение антикварных магазинов по группам городов, сгруппированных с учетом доли пенсионеров в их населении

	Доля пенсионеров в населении города, %
	0-1	2-3	4-5	6-7	8
Города с населением 8-12 тыс. чел., имеющие более 5 антикварных магазинов каждый   Теоретическое распределение	2   1	4   2	4   4	8   10	10   10

Проверить, правильно ли утверждение.

 

 

5 Существует гипотеза, что распределение пастбищ не зависит от высоты местности над уровнем моря. Доказать или опровергнуть гипотезу. Оценить достоверность расчетов. Данные представлены в таблице 3

Таблица 3

	Территория, занятая возвышенностями, %
	0-20	21-40	41-60	61-80	81-100
Наблюдаемая частота Теоретическая частота	5   27	10   27	10   27	30   27	80   27

Вопросы для самоконтроля

 

 

1 Назовите основные статистические критерии различия?

2 Какие виды выборок используются для обработки с помощью критериев различия?

3 Что показывает критерий НСР?

4 С какой целью используется критерий Стьюдента при обработке выборок различного объема?

5 По какому критерию устанавливаются различия между выборочными совокупностями?

6 Какой критерий доказывает или опровергает выдвинутую гипотезу?

 

 

Приложение 1

Таблица 1 - Таблица достаточно больших чисел

 

P	Ошибка опыта p, %
	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
0,75	33	40	51	67	91	132	206	367	827	3308
0,80	41	50	64	83	114	164	256	456	1026	4105
0,85	51	63	80	105	143	207	323	575	1295	5180
0,90	67	83	105	138	187	270	422	751	1690	6763
0,91	71	88	112	146	199	287	449	798	1796	7185
0,92	76	94	119	156	212	306	478	851	1915	7662
0,93	82	101	128	167	227	328	512	911	2051	8207
0,94	88	109	138	180	245	353	552	981	2210	8843
0,95	96	118	150	195	266	384	600	1067	2400	9603
0,96	105	130	164	215	292	421	659	1171	2636	10544
0,965	111	137	173	226	308	444	694	1234	2778	11112
0,970	117	145	183	240	327	470	735	1308	2943	11773
0,975	125	155	196	256	348	502	784	1395	3139	12559
0,980	135	167	211	276	375	541	845	1503	3382	13529
0,985	147	182	231	301	410	591	924	1643	3697	14791
0,990	165	204	259	338	460	663	1036	1843	4146	16587
0,995	196	243	307	402	547	787	1288	2188	4924	19698
0,999	270	334	422	552	751	1082	1691	3009	6767	27069

 

 

Приложение 2

Таблица 2 -  Случайные числа

 

3393	6270	4228	6909	9407	1865	8549	3217	2351	8410
9108	2330	2157	7416	0398	6173	1703	8132	9065	6717
7891	3590	2502	5945	3402	0491	4328	2365	6175	7695
9085	6307	6910	9174	1753	1797	9229	3422	9861	8357
2638	2908	6368	0398	5495	3283	0031	5955	6544	38383
1313	8338	0623	8600	4950	5414	7131	0134	7241	0651
3897	4202	3814	3505	1599	1649	2784	1994	5775	1406
4380	9543	1646	2815	8415	9120	8062	2421	6161	4634
1618	6309	7909	0874	0401	4301	4517	9197	3350	0434
4858	4676	7363	9141	6133	0549	1972	3461	7116	1496
5354	9142	0847	5393	5416	6505	7156	5634	9703	6221
0905	6986	9396	3975	9255	0537	2479	4589	0562	5345
1420	0470	8679	2328	3939	1292	0406	5528	3789	2882
3218	9080	6604	1813	8209	7039	2086	3369	4437	3798
9697	8431	4387	0622	6893	8788	2320	9358	5904	9539
0912	4964	0502	9683	4636	2861	2876	1273	7870	2030
4636	7072	4868	0601	3894	7182	8417	2367	7032	1003
2515	4734	9897	6761	5636	2949	3979	8650	3430	0635
5964	0412	5012	2369	6461	0678	3693	2928	3740	8047
7848	1523	7904	1521	1455	7089	8094	9872	0898	7174
5182	2571	3643	0707	3434	6818	5729	8615	4298	4129
8438	8325	9886	1805	0226	2310	3675	5058	2515	2388
8166	6349	0319	5436	6838	2460	6433	0644	7428	8556
9158	8263	6504	2562	1160	1526	1816	9690	1215	9590
6061	3525	4048	0382	4224	7148	8256	6526	5340	4064

 

 

Приложение 3

 

 

Таблица 3 - Значение критерия τ в зависимости от объема выборки N и уровня значимости α

 

N	α 0,05               0,01	N	α 0,05              0,01
4	0,955           0,991	17	0,359           0,460
5	0,807           0,916	18	0,349           0,449
6	0,669           0,805	19	0,341           0,439
7	0,610           0,740	20	0,334           0,430
8	0,544           0,683	21	0,327           0,421
9	0,512           0,635	22	0,320           0,414
10	0,477           0,597	23	0,314           0,407
11	0,450           0,566	24	0,309           0,400
12	0,428           0,541	25	0,304           0,394
13	0,410           0,520	26	0,299           0,389
14	0,395           0,502	27	0,295           0,383
15	0,381           0,486	28	0,291           0,378
16	0,369           0,472	29	0,287           0,374
		30	0,283           0,369

 

 

Приложение 4

Таблица 4 - Значения критерия Стьюдента t при различных уровнях значимости

 

ν	Уровни вероятности 0,95       0,99    0,999	ν	Уровни вероятности  0,95       0,99      0,999
2	4,30     9,93     31,60	21	2,08     2,83      3,82
3	3,18     5,84     12,94	22	2,07     2,82      3,79
4	2,78     4,60       8,61	23	2,07     2,81      3,77
5	2,57     4,03       6,86	24	2,06     2,80      3,75
6	2,45     3,71       5,96	25	2,06     2,79      3,73
7	2,37     3,50       5,41	26	2,06     2,78      3,71
8	2,31     3,36       5,04	27	2,05     2,77      3,69
9	2,26     3,25        4,78	28	2,05     2,76      3,67
10	2,23     3,17       4,49	29	2,04     2,76      3,66
11	2,20     3,11       4,44	30	2,04     2,75      3,65
12	2,18     3,06       4,32	40	2,02     2,70      3,55
13	2,16     3,01       4,22	50	2,01     2,68      3,50
14	2,15     2,98       4,14	60	2,00     2,66      3,46
15	2,13     2,95       4,07	80	1,99     2,64      3,42
16	2,12     2,92       4,02	100	1,98     2,63      3,39
17	2,11     2,90       3,97	120	1,98     2,63      3,37
18	2,10     2,88       3,92	200	1,97     2,60      3,34
19	2,09     2,86       3,88	500	1,96     2,59      3,31
20	2,09     2,85       3,85	∞	1,96     2,58      3,29

 

Приложение 5

Таблица 5 - Критические значения F (критерия Фишера)

 

 

ν2*	ν1 – степени свободы для большей дисперсии