Электромагнитные процессы п магнитных цепях синусоидального тока

При подключения к обмотке с числом витков W (рисунок 4) синусо-идального напряжения u (t) по обмотке будет протекать переменный ток. i (t), создавая переменный магнитный поток (1.13). а ЭДС самоиндукции dᴪ / dt совместно с падением напряжения на активном сопротивлении R обмотки будут уравновешивать приложенное напряжение u (t), как (1.14).

Поскольку  и магнитное потокосцепление рассеяния в сотни рад меньше рабочего потокосцепления , как было отмечено выше в уравнении электрического состояния, величиной dᴪ_σ / dt, можно пренебречь так же, как и падением напряжения на активном сопротивлении R обмотки.

Поэтому:

т. о. закон изменения рабочего магнитного потока можно записать и виде:

Эго свидетельствует о том, что закол изменения рабочего потока полностью определяется напряжением на обмотке и не зависит от параметров цепи. Для такой цепи:

т. е. рабочее потокосцепление  пропорционально магнитной индукции В _{C Т}, а ток i (t) пропорционален напряженности поля Н.

Иначе говоря, потокосцепление   нелинейно зависят от тока i (t), так как зависимость магнитного потока or величины тока имеет вид кривой намагничивания (рисунок 2, а), поэтому при синусоидальной форме магнитопотока форма тока несинусоидальная (рисунок 2. б). Для вычисления параметров, связывающих несинусоидальные величины, целесообразен переход от реальной несинусоидальной функции к эквивалентной по площади синусоидальной (рисунок 2, (в)), что позволяет применить метод комплексных амплитуд:

Из изложенного следуют характерные свойства:

- индуктивность обмотки магнитопровода  зависит от тока в электрической цепи;

- при синусоидальном напряжении ток несинусоидален, так как уравнения для электрических цепей с обмоткой и магнитопроводом нелинейные. В магнитопроводе при переменном токе в катушке, вследствие гистерезиса и

вихревых токов возникают потери электроэнергии, называемые магнитными потерями.

Практическая часть

Задание 1

Определить значения В_т и Н_т в магнитопроводе катушки по результатам измерений в схеме рисунок 6.28, если приложенное напряжение U = 120 В, ток I = 0,3 А, частота f = 400 Гц. Магнитопровод изготовлен из листовой стали (рисунок 7) и имеет размеры d_BH = 56 мм, d_H = 83,5 мм, b = 20 мм, 1_В = 0, коэффициент заполнения поперечного сечения сталью (коэффициент заполнения стали) k _ст = 0,9; обмотка магнитопровода состоит из 200 витков. Для упрощения расчета активное сопротивление обмотки принимается равным нулю.

Рисунок 7 Тороидальный магнитопровод

 

Решение

Магнитный поток согласно (6.3):

Активное сечение стали магнитопровода:

Амплитуда индукции магнитопровода:

Длина средней линии магнитопровода:

Амплитуда напряженности магнитного поля:

 

Задание 2.

Для магнитопровода, рассмотренного в задании1, определить удельные потери в стали, если при частоте f ₁ = 400 Гц, напряжении U = 120 В и токе 1₁ = 0,3 А мощность, измеряемая ваттметром (рисунок 8), равна р₁ = 10 Вт.

Рисунок 8. Схема для приближенного определения параметров катушки с ферромагнитным магнитопроводом при переменном токе в обмотке.

Произвести разделение потерь, если при уменьшении частоты до f ₂ = 100 Гц, напряжения до U ₂ = 30 В и тока до I ₂ = 0,28 А показание ваттметра равно Р₂ = 3 Вт. Сопротивление обмотки, измеренное при постоянном токе, равно r = 20 Ом. Потери в измерительных приборах принимаются равными нулю.

Решение

Масса магнитопровода

Так как э.д.с. Е = 4,44В _m S_CTf прямо пропорциональна частоте, то приближенно имеем:

Откуда B_1m ≈ B_2m.

Проведем разделение потерь.

Удельные потери в стали при частоте f ₁ = 400 ГЦ:

Удельные потери в стали при частоте f ₁ = 100 ГЦ:

В соответствии с выражениями (6.1) и (6ю2) можно записать:

где k _Г и k_B – коэффициенты пропорциональности:

k _Г = 2,98 10^-2 Дж/кг и k _В = 5,04 10^-5 Дж/кг.

При частоте f ₁ = 400 Гц удельные потери на гистерезис:

и на вихревые токи:

При частоте f ₂ = 100 Гц:

 

Задание 3

Построить векторную диаграмму катушки, рассмотренной в заданиях 1 и 2, при частоте f = 400 Гц, если индуктивность рассеяния катушки L_S = 5 мГн.

Решение

Индуктивное сопротивление катушки это тоже, что и сопротивление рассеяния:

Сдвиг фаз между эквивалентной синусоидой тока и напряжения:

Комплексное сопротивление катушки:

Комплексное сопротивление ветвей намагничивания и потерь в стали:

Комплексная проводимость ветвей намагничивания и потерь в стали:

Проводимость ветви потерь в стали:

g₀ = 6,23 10^-4;

Проводимость ветви намагничивания:

b ₀ = 25,4 10^-4;

Ток потерь в стали:

Намагничивающий ток:

Угол потерь:

Электродвижущая сила:

E = z₀I = 382 x 0,3 =114,5B;

Магнитный поток в магнитопроводе

По значениям Ф _m, Е, I _ф, δ, I _п, I, φ, r, x_s, U построена векторная диаграмма на рисунке 9.

Рисунок 9. Векторная диаграмма катушки с магнитопроводом.

Задание 4

На магнитопроводе, рассмотренном в примерах 1 - 3, кроме первой обмотки с числом витков w_l = 200 дополнительно намотана вторая обмотка с числом витков w ₂ = 100. Таким образом, получается трансформатор с коэффициентом трансформации:

При замкнутой накоротко вторичной обмотке этого трансформатора, напряжении U ₁ = 12 В и частоте f = 400 Гц ток I ₁ = 0,249 А и мощность Р₁ = 2,47 Вт.

Определить показания приборов (рисунок 10) при напряжении U ₁ = 120В, сопротивлении нагрузки Z_H = 25∟45° Ом и построить векторную диаграмму. 

Рисунок 10. Двухобмоточный трансформатор.

Решение

Угол между векторами первичного напряжения и тока:

Входное сопротивление (сопротивление короткого замыкания тран- cформатора):

Из задания 1 известно, что при y ₀ = 120 В и разомкнутой вторичной обмотке индукции В_т ≈ 1,41 Тл.

При U ₁ = 12 В и замкнутой вторичной обмотке индукция уменьшится более чем в 10 раз, а напряженность поля уменьшится в несколько десятков раз вследствие нелинейной связи В_т ≈ f (Н _т). Поэтому проводимость y ₀ уменьшиться по сравнению с вычисленной в задании 3 в несколько десятков раз.

Сопротивление нагрузки, приведенное к первичной обмотке:

Рисунок 11. Задание 4

 

При напряжении U ₁ = 120 В необходимо учитывать проводимость К₀, которая может быть принята такой же, как в задании 3. Схема замещения трансформатора при нагрузке изображена на рисунке 11, а. На рисунке 11, б схема замещения преобразована для расчета, в Результате которого получается:

Остальные величины, необходимые для построения векторной диаграммы. получаются в результате следующих вычислений:

Начальная фаза вектора I ₀ равна углу потерь δ = 13°45', вычисленному в задании 3.

Векторные диаграммы на рисунке 12 построены по полученным в дан­ном примере значениям напряжений и токов.

 

Рисунок 12. Векторные диаграммы трансформатора: для встречного (а) и согласного (б) направлений токов.

 

Задание 5

Напряженность магнитного поля в магнитопроводе пик-трансформатора изменяется по закону

Н = 725 sin 2512 t А/м.

Определить э. д. с. в обмотке из w = 1000 витков, насаженной намагнитопровод, если поперечное сечение стали магнитопровода   S = 0,9 см², а связь между индукцией В и напряженностью Н может быть представлена в виде В = 3 10^-3 Н – 2 10^-9 Н³, Тл.

Решение

Магнитный поток в магнитопроводе:

 

Контрольные вопросы

ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

4-1. Потери на гистерезис в ферромагнитном материале р_п —

0 1 Вт/кг при частоте f_t = 100 Гц. Определить потери на гистерезис р_г2 при частоте = 400 Гц, если индукция изменяется по синусоидаль­ному закону и амплитуда ее сохраняется неизменной.

Ответ: 4 Вт/кг.

4-2. Потери на вихревые токи в ферромагнитном материале р_в1 = = 0,5 Вт/кг при частоте Д = 100 Гц. Определить потери на вихревые токи р_в2 при частоте 400 Гц, если индукция изменяется по синусоидаль­ному закону и амплитуда ее сохраняется неизменной.

Ответ: 8 Вт/кг.

4-3. В результате испытаний образца стали из листов толщиной Д_х = 0,1 мм и Д₂ = 0,35 мм были определены потери на гистерезис р_г и потери на вихревые токи р_в.

для листов толщиной Д_г = 0,1 мм р_т = 1,1 Вт/кг; р_в = 0,1 Вт/кг;

для листов толщиной Д₂ = 0,35 мм р_т = 0,5 Вт/кг; р_а = 0,3 Вт/кг.

Испытания проводились при частоте /=50 Гц. Определить по­тери р_ст в этих сортах стали при частотах 50, 150 и 400 Гц, если индук­ция во всех случаях синусоидальна и ее амплитуда неизменна.

Ответ: Для 1,2; 4,23; 15,2 Вт/кг; для Д₂ 0,8; 4,24; 23,2 Вт/кг.

4-4. При частоте /, = 100 Гц потери в стали р_сг1 = 2 Вт/кг, при частоте /₂ = 200 Гц потери в стали р_сх2 = 7 Вт/кг. Определить потери в стали р_стз при частоте /₃ = 400 Гц, если индукция изменяется по синусоидальному закону и амплитуда ее сохраняется неизменной.

Ответ: 26 Вт/кг.

4-5. Магнитопровод, изображенный на рис. 2-4, изготовлен из стальной ленты и имеет размеры d_BH = 45 мм, d_a = 60 мм, 6=15 мм, 1_В = 0. Коэффициент заполнения поперечного сечения магнитопрово- дов сталью £_ст = 0,85. Магнитное поле в магнитопроводе характери­зуется индукцией, изменяющейся по синусоидальному закону с частотой f = 1000 Гц и амплитудой В_т = 0,8 Тл. Материал магнитопровода характеризуется динамической кривой намагничивания рис. 4-1. На магнитопровод намотана обмотка, состоящая из w — 1000 витков. Определить наводимую э. д. с. и ток в обмотке.

Ответ: 340 В, 0,175 А.

4-6. Потери в материале магнитопровода из задачи 4-5 р_г = = 20 Вт/кг и р_в = 40 Вт/кг. Определить угол потерь.

Ответ: 8°30'.

4-7. Последовательно с обмоткой на магнитопроводе из задачи 4-5 соединен конденсатор С =0,1 мкФ. Определить напряжение на вы­водах цепи, если сопротивление обмотки г — 100 Ом и индуктивность рассеяния L_s = 0.

Ответ: 91В.

4-8. Определить э. д. с. и ток в обмотке задачи 4-5 при частоте /= 50 Гц и амплитуде индукции В_т = 0,8 Тл.

О т в е т: 17 В; 0,035 А.

4-9. Определить угол потерь б для задачи 4-5 при /= 50 Гц и В_т = 0,8 Тл, если учесть, что потери в материале магнитопровода при частоте 1000 Гц приведены в задаче 4-6.

Ответ: 13°.

4-10. Определить напряжение на выводах обмотки задачи 4-5 при / = 50 Гц, В_т = 0,8 Тл, г = 100 Ом и L_s = 0.

Ответ: 17,3 В.

4-11. В цепь катушки включены приборы, как показано на рис. 4-2. Напряжение на выводах цепи U = 120 В. При наличии стального магнитопровода ток в обмотке / = 0,69 А и мощность Р = 32,2 Вт. При отсутствии магнитопровода ток в обмотке I = 2,23 А и мощность Р = 100 Вт. Определить параметры схемы замещения катушки с маг- нитопроводом в соответствии с рис. 4-4 и построить векторную диа­грамму, если сопротивление рассеяния x_s = 23 Ом.

Ответ: г = 20 Ом, g ₀ — 0,00227 См, Ь₀ = 0,0065 См.

12. Как влияет изменение частоты на форму динамической кривой намагничивания?

Порядок выполнения работы

1. Внимательно изучить общие теоретические сведения (20 минут).

2. Прорешать на доске под руководством преподавателя 4 задания. (60 минут).

3. Самостоятельно, на основе алгоритма решения по п. 2 выполнить задания в соответствии с вариантом в таблице 1. (70 минут).

Вариант выбирается в соответствии с номером в журнале.

4. Письменно ответить на теоретические вопросы. 20(минут).

5. Оформить решения в соответствии с примером и сдать преподавателю. (10 минут).

 

Таблица 1

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Номер задания	1-1 2-10 3-20	1-2 2-11 3-21	1-3 2-12 3-22	1-4 2-13 3-23	1-5 2-14 3-24	1-6 2-15, 3-25	1-7 2-16, 3-26	1-8 2-17, 3-25	1-9 2-18, 3-26	1-10 2-19, 3-21	1-10 2-1, 3-20	1-9 2-2, 3-21
Вариант	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Номер задания	1-8 2-3, 3-22	1-7 1-4, 3-23	1-6 2-3, 3-24	1-5 2-2, 3-22	1-3 2-10, 3-20	1-4 2-11, 3-21	1-5 2-12, 3-22	1-6 2-13, 3-23	1-7 2-14, 3-24	1-8 2-15, 3-21	1-7 2-13, 3-22	1-3 2-14, 3-23

Пример оформления самостоятельного задания

Студент: Ф.И.О., гр.ЭЭ-14-З1, Вариант 1

Определить эквивалентное сопротивление R _Э (рисунки 7,8,9) относительно указанных зажимов, если сопротивления равны 10 Ом.

Задание 1.

Дано:                                       Исходная схема

R₇ = 0;                                                           

R ₁, R ₂, R ₃, R ₄, R ₅, R ₆ = 10 O м.

R_Эab =?

Решение:

1. Промежуточные схемы пошагово.

2. Расчет по действиям с комментариями.

Ответ: R_Эab =

Задание 2…………………………………………………………………………

Задание 3…………………………………………………………………………

Подпись             Дата