Статистика и теория вероятностей

• Иметь представление о статистических характеристиках, вероятно­сти случайного события, комбинаторных задачах;

• решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и ор­ганизованного перебора;

• представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;

• читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;

• извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;

• определять основные статистические характеристики числовых на­боров;

• оценивать вероятность события в простейших случаях;

• иметь представление о роли закона больших чисел в массовых яв­лениях;

• оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и на­именьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандарт­ное отклонение, случайная изменчивость;

• составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;

• оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и со­четания, треугольник Паскаля;

• применять правило произведения при решении комбинаторных задач;

• оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, ис­пытание, элементарное случайное событие (исход), классическое опре­деление вероятности случайного события, операции над случайными событиями;

• представлять информацию с помощью кругов Эйлера;

• решать задачи на вычисление вероятности с подсчётом количе­ства вариантов с помощью комбинаторики.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• оценивать количество возможных вариантов методом перебора;

• иметь представление о роли практически достоверных и маловеро­ятных событий;

• сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления;

• оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях;

• извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свой­ства и характеристики реальных процессов и явлений;

• определять статистические характеристики выборок по табли­цам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;

• оценивать вероятность реальных событий и явлений.

История математики

• Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

• знать примеры математических открытий и их авторов в связи с отечественной и всемирной историей;

• понимать роль математики в развитии России;

• характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей.

Методы математики

• Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных ти­пов математических задач;

• приводить примеры математических закономерностей в окружаю­щей действительности и произведениях искусства;

• используя изученные методы, проводить доказательство, выпол­нять опровержение;

• выбирать изученные методы и их комбинации для решения ма­тематических задач;

• использовать математические знания для описания закономер­ностей в окружающей действительности и произведениях искусства;

• применять простейшие программные средства и электронно­коммуникационные системы при решении математических задач.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ В 7—9 КЛАССАХ

(Содержание, выделенное курсивом,
изучается на углублённом уровне)

Числа

Рациональные числа. Множество рациональных чисел. Сравнение рациональных чисел. Действия с рациональными числами. Представле­ние рационального числа десятичной дробью.

Иррациональные числа. Понятие иррационального числа. Распозна­вание иррациональных чисел. Примеры доказательств в алгебре. Ирра­циональность числа >/2. Применение в геометрии. Сравнение иррацио­нальных чисел. Множество действительных чисел.

Тождественные преобразования

Числовые и буквенные выражения. Выражение с переменной. Зна­чение выражения. Подстановка выражений вместо переменных.

Целые выражения. Степень с натуральным показателем и её свой­ства. Преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем. Одночлен, многочлен. Действия с одночленами и многочле­нами (сложение, вычитание, умножение). Формулы сокращённого умно­жения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности. Разложе­ние многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращённого умножения. Квадрат­ный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители.

Дробно-рациональные выражения. Степень с целым показателем. Преобразование дробно-линейных выражений: сложение, умножение, деление. Алгебраическая дробь. Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях. Сокращение алгебраических дро­бей. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Дей­ствия с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Преобразование выражений, содержа­щих знак модуля.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Преобра­зование выражений, содержащих квадратные корни: умножение, деление, вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня.

Уравнения и неравенства

Равенства. Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равен­ство с переменной.

Уравнения. Понятия уравнения и корня уравнения. Представление о равносильности уравнений. Область определения уравнения (область допустимых значений переменной).

Линейное уравнение и его корни. Решение линейных уравнений. Линейное уравнение с параметром. Количество корней линейного уравнения. Решение линейных уравнений с пара метром.

Квадратное уравнение и его корни. Квадратные уравнения. Непол­ные квадратные уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Фор­мула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Теорема, обрат­ная теореме Виета. Решение квадратных уравнений: использование формулы для нахождения корней, графический метод решения, разло­жение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от его дискриминанта. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным. Квадратные уравнения с параметром.

Дробно-рациональные уравнения. Решение простейших дробно­линейных уравнений. Решение дробно-рациональных уравнений. Мето­ды решения уравнений: методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод. Использование свойств функ­ций при решении уравнений. Простейшие иррациональные уравне­ния виДа (х) = а, (х) = ^/д(х). Уравнения виДа х^п = а. Уравнения в целых числах.

Системы уравнений. Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Прямая как графическая интерпре­тация линейного уравнения с Двумя переменными.

Понятие системы уравнений. Решение системы уравнений. Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графиче­ский метоД, метоД сложения, метод подстановки. Системы линейных уравнений с параметром.

Неравенства. Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости неравенств при заданных значениях переменных. Неравенство с переменной. Строгие и нестрогие неравенства. Область опреДеления неравенства (область Допустимых значений переменной).

Решение линейных неравенств. КваДратное неравенство и его решения. Решение кваДратных неравенств: использование свойств и графика кваДратичной функции, метоД интервалов. Запись реше­ния кваДратного неравенства. Решение целых и Дробно-рациональных неравенств метоДом интервалов.

Системы неравенств. Системы неравенств с одной переменной. Ре­шение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств.

Функции

Понятие функции. Декартовы координаты на плоскости. Формиро­вание представлений о метапредметном понятии «координаты». Способы задания функций: аналитический, графический, табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования раз­личных реальных процессов и решения задач. Значение функции в точке. Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, чётность/нечётность, промежутки воз­растания и убывания, наибольшее и наименьшее значения. Исследование функции по её графику. Представление об асимптотах. Непрерыв­ность функции. Кусочно заданные функции.

Линейная функция. Свойства и график линейной функции. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной функции в за­висимости от её углового коэффициента и свободного члена. Нахожде­ние коэффициентов линейной функции по заданным условиям: про­хождение прямой через две точки с заданными координатами, про­хождение прямой через данную точку и параллельно данной прямой.

Квадратичная функция. Свойства и график квадратичной функции (параболы). Построение графика квадратичной функции по точкам. Нахождение нулей квадратичной функции, множества значений, про­межутков знакопостоянства, промежутков монотонности.

Обратная пропорциональность. Свойства функции у = ^к. Гипербола.

X

Графики функций. Преобразование графика функции у = / (х) Для построения графиков функций виДа у = af (кх + Ь) + с. Графики функций у = а + ^к—, у = 4х, у = Цх, у = |х |.

х + Ь

Последовательности и прогрессии. Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей. Бесконечные последовательно­сти. Арифметическая прогрессия и её свойства. Геометрическая прогрес­сия. Формула общего члена и суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессий. СхоДящаяся геометрическая прогрессия.

Решение текстовых задач

Задачи на все арифметические действия. Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц, схем, чертежей, дру­гих средств представления данных при решении задач.

Задачи на покупки, движение и работу. Анализ возможных ситу­аций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объёмов выполняемых работ при совместной работе.

Задачи на части, доли, проценты. Решение задач на нахождение части числа и числа по его части. Решение задач на проценты и доли. Применение пропорций при решении задач.

Логические задачи. Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.

Основные методы решения текстовых задач: арифметический, ал­гебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).