Нормальный закон распределения. Задачи типа 4

Нормальный закон является одним из самых распространенных законов распределения непрерывных случайных величин.

Нормальным называют закон распределения непрерывной случайной величины Х, плотность вероятности которой имеет вид:

.

Вероятностный смысл входящих в формулу параметров: а – математическое ожидание величины Х; σ – среднее квадратическое отклонение Х.

График функции f (x), изображенный на рис.3.5, называют нормальной кривой или кривой Гаусса. Функция f (x) определена на всей оси ОХ; f (x) > 0, т.е. график расположен над осью ОХ, которая является горизонтальной асимптотой. Функция f (x) имеет один экстремум (max) в точке  и две точки перегиба при х = а –  и х = а+ .

Рисунок 3.1 – График функции f (x)

При а = 0 и  = 1 непрерывная случайная нормально распределенная величина называется нормированной случайной величиной. Тогда плотность вероятности , т.е. в данном случае f (x) есть дифференциальная функция Лапласа , для которой имеется таблица значений (приложение А). Интегральная функция нормального распределения

.

В задачах удобнее пользоваться табулированной интегральной функцией Лапласа (приложение Б) .

1) Вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величины Х с параметрами а и σ в интервал (α,β) можно определить по формуле:

2) Вероятность заданного отклонения значений величины Х от центра распределения а на величину : .

3) Правило «3-х сигм»:

Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от математического ожидания (по абсолютному значению) не превосходит утроенного среднего квадратического значения.

Пример. Известно математическое ожидание а = 5 и среднее квадратическое отклонение  = 2 нормально распределенной случайной величины Х.

 

Найти:

1) вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (3; 11);

2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х – а окажется меньше ;

3)интервал, в который с вероятностью Р = 0,9544 попадут значения величины Х.

Решение. 1) Искомую вероятность определим по формуле, используя таблицу приложения Б:

. По условию а = 5,  = 2, = 3, β = 11

Тогда 2) ; тогда .

3) Согласно правилу «3-х сигм» интервал, в который с Р = 0,9544 попадут значения Х: . Следовательно, имеем: 1 < X < 9.

Вопросы для самоконтроля.

1. Что такое нормальный закон распределения?

2. Какие параметры имеет нормальный закон распределения?

3. Как определяется функция распределения нормального закона распределения?

4. Как связаны функция нормального закона распределения и функция Лапласа?

5. В чем состоит правило трёх сигм для нормального закона распределения?

Рекомендуемая литература: [1, c.111-134], [2, c.87-117].