Олимпиада по математике  тусур, 2019. Курс задача 1

Курс       задача 1

Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем замену . Тогда , .

 = . По формуле понижения степени,

 =  =   =

1-й элементарный, а во 2-м циклический интеграл.

Рассмотрим .

 = . Применив 2-е интегрирование по частям,

 

   

.

Вернёмся к сумме интегралов.

 =  =

.   После обратной замены:  =

Ответ. .

 

Примечание. Проверка.  =

 =

 =  = .

 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 2

Найти  .

 

Решение.  =

 =

 

Здесь присутствует интегральная сумма функции  на отрезке [0,1], где значения функции рассматриваются ровно в серединах интервалов , , ,...

В пределе эта интегральная сумма сходится к интегралу  =  = .

Ответ. .

 

 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 3

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение. Можно заметить, что правая часть - это производная от :

Исследуем следующие производные от :

 =  = . Тогда 3-я производная:

 =  = , что как раз и равно левой части.

Итак, уравнение сводится к .   Обозначим .

Уравнение имеет вид . Это линейное однородное уравнение.

Характеристическое: . , корни 0, 1, .

Общее решение , то есть , тогда

.     Ответ. . 

 

 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 4

Найти сумму функционального ряда .

Решение. Заметим, что  = 1 при чётном , и 0 при нечётном.

  Запишем подробнее:  = .

Заметим, что при вычислении 2-й производной, в первой скобке получится точно такая же сумма, как и была, а во 2-й вместо степеней 1,5,9,... будут другие нечётные степени, которых не было ранее, а именно 3,7,...   

.

Сумма исходной функции и её 2 производной содержит все степени, :

 =  = .

 - линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Характкристическое уравнение , корни ,общее решение соответствующего однородного уравнения: . По правой части  строим частное решение неоднородного уравнения. Число 1 не принадлежит множеству чисел , поэтому частное решение ищется в виде . Тогда , откуда .

Итак, общее решение неоднородного уравнения: .

Найдём константы. По строению ряда видно, что , .

   

Частное решение: . 

Ответ. .

 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 5

Вычислить интеграл  по неограниченной кривой   в комплексной плоскости, где  - множество точек параболы  правее точки . 

 

Решение.  =  =  = . При этом , , .  

 . Во втором подведём под знак дифференциала. При этом происходит замена , и

 =  .

Далее оба интеграла решаются с помощью разложения рациональных дробей в сумму простейших.

 = ,

Сравнивая числители, получаем

,  откуда получаем 4 равенства:

, , ,

Тогда , , , .

 =  =  = .

Во втором интеграле (мнимая часть):

 = , , .

 =  =  = .

Ответ. .

 

 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 6

Три точки случайным образом брошены на отрезок [0,1]. Найти вероятность того, что произведение их абсцисс больше, чем  .

 

Решение.

Отложим 3 случайных значения по 3 осям координат. Дано: . Нужно найти отношение объёма тела, для точек которого выполняется , к объёму единичного куба. Все искомые точки лежат выше поверхности  .

На верхней грани выполнено , это определяет границу проекции тела на горизонтальную плоскость, т.е. границы для двойного интеграла по .

 =  =  =  =  =  =  =

 =  =  

 =  =  .

Ответ.  .