Олимпиада по математике  тусур, 2019

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 1

Найти все действительные решения уравнения: .

Решение.  Запишем в виде . 

. Сделаем замену

.  

Здесь логично сделать ещё одну замену: . Тогда:

, найдём корни.

,  либо .

        

  

 не входит в область допустимых значений.

Итак,  принимает значение 0.  

Решением уравнения  является множество .

Ответ. .

 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 2

Найти все действительные решения уравнения: .

Решение. .

Преобразуем, сведя к виду: . 

Тогда  , то есть   .

Если  то , , . Таким образом, в равенстве

 две взаимно обратные функции. Тогда их графики могут пересекаться только на биссектрисе . Значит, нам достаточно решить уравнение .

, , корни , то есть 2 и 3.

Ответ. 2 и 3.

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 3

Прямая   является проекцией прямой  на плоскость ,

а прямая  является проекцией этой же прямой на плоскость .

Найти параметр , при котором плоскости  и  ортогональны.

Решение. Из строения знаменателей дробей этих канонических уравенений видно, что все направляющие векторы прямых совпадают.

Найдём уравнение плоскости , которая содержит проекцию, при произвольном , тогда при  частный случай для плоскости .  

Один из двух направляющих векторов этой плоскости известен: . Точка  принадлежит прямой, являющейся проекцией. Точка  принадлежит той прямой, которая проецируется.  Вектор  соединяет эти точки. Тогда плоскость, содержащая обе прямые, и проецируемую, и её проекцию (на чертеже эта плоскость расположена вертикально) имеет два образующих вектора:  и . Их векторное произведение лежит в искомой плоскости (куда проецируется прямая) и является её вторым образующим вектором.

 =  =  =

Итак, второй направляющий вектор плосокости: .

Теперь через точку  и 2 направляющих  и  проведём плоскость.

   

Нормаль к плоскости : .

При  получается нормаль к плоскости , а именно , можно сократить в 3 раза и  рассматривать вектор . Осталось узнать, при каком  векторы  и  ортогональны между собой.

.

Ответ. .

 

 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 4

На графике   при произвольном  могут быть взяты 3 точки с абсциссами 0, , , через них проведена окружность. Найти минимально возможный диаметр окружностей, построенных таким способом.

 

 

Решение.

Пусть радиус равен . Тогда расстояние от точки  до точек ,  и  равно . По теореме Пифагора,    .

Найдём экстремум этой величины по . 

 =  = 0 .

При этом = = , поэтому минимум, а не максимум.

Теперь найдём .  =  =  =  =

 =   = .          Ответ. . 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 5

Два космических аппарата взлетают вертикально с одинаковой скоростью из разных точек на  планете, которая является шаром радиуса . В некоторый момент времени они поднялись на высоту  и стали находиться в пределах прямой видимости друг друга. Каково расстояние между ними в этот момент времени?

 

 

Решение. На чертеже, , . Два аппарата находятся в точках  и .

 

Расстояние , это половина искомого расстояния. По теореме Пифагора,

 =  = .    Тогда  = .

 

Ответ. .

 

Курс  задача 6

Пусть наклон оси планеты - угол , . Найти широту  (в северном полушарии), на которой точка восхода Солнца в день солнцестояния отклоняется от востока ровно на , т.е. например, восход в день зимнего солнцестояния на юго-востоке.

 

Решение.

Рассмотрим путь Солнца по небесной сфере.   По условию задачи, дуга ВС составляет 45 градусов. В - восток. С - юго-восток. Показан пусть Солнца во время равноденствия и зимнего солнцестояния. Дуга CD соответствует углу  (на какой угол отклоняется путь Солнца во время солнцестояния по сравнению с равноденствием).

       Сферический угол DBC зависит от широты местности и равен  (на экваторе солнце восходит вертикально, ближе к полюсу почти горизонтально). Угол BDC=90⁰ по построению, это перпендикуляр из точки С на дугу BD.

По теореме синусов для сферического треугольника верно равенство:

(синус угла, соотв. дуге, пропорционален синусу противолежащего угла). 

В частности, в нашем случае .

Для решения достаточно лишь первой пропорции.  

.    Ответ. .   

 

Для сведения. Возможно и другое решение. Повернём сферу, так, чтобы пусть Солнца во время равноденствия занимал горизонтальную окружность максимального радиуса, а во время солнцестояния - на угол  выше. Тогда горизонт наклонён под углом . При этом нужно, чтобы точка, движущаяся по горизонту, пересекла верхнюю окружность, пройдя по дуге ровно 45 градусов.

Уравнения движения:   Надо, чтобы при  достигалось .

.

Примечание. 1. Например, для Земли , , т.е. явление наблюдается на широте Томска. Если было бы  то , т.е. на экваторе.

 

Курс       задача 1

Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем замену . Тогда , .

 = . По формуле понижения степени,

 =  =   =

1-й элементарный, а во 2-м циклический интеграл.

Рассмотрим .

 = . Применив 2-е интегрирование по частям,

 

   

.

Вернёмся к сумме интегралов.

 =  =

.   После обратной замены:  =

Ответ. .

 

Примечание. Проверка.  =

 =

 =  = .

 

Курс  задача 2

Найти  .

 

Решение.  =

 =

 

Здесь присутствует интегральная сумма функции  на отрезке [0,1], где значения функции рассматриваются ровно в серединах интервалов , , ,...

В пределе эта интегральная сумма сходится к интегралу  =  = .

Ответ. .

 

 

Курс  задача 3

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение. Можно заметить, что правая часть - это производная от :

Исследуем следующие производные от :

 =  = . Тогда 3-я производная:

 =  = , что как раз и равно левой части.

Итак, уравнение сводится к .   Обозначим .

Уравнение имеет вид . Это линейное однородное уравнение.

Характеристическое: . , корни 0, 1, .

Общее решение , то есть , тогда

.     Ответ. . 

 

 

Курс  задача 4

Найти сумму функционального ряда .

Решение. Заметим, что  = 1 при чётном , и 0 при нечётном.

  Запишем подробнее:  = .

Заметим, что при вычислении 2-й производной, в первой скобке получится точно такая же сумма, как и была, а во 2-й вместо степеней 1,5,9,... будут другие нечётные степени, которых не было ранее, а именно 3,7,...   

.

Сумма исходной функции и её 2 производной содержит все степени, :

 =  = .

 - линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Характкристическое уравнение , корни ,общее решение соответствующего однородного уравнения: . По правой части  строим частное решение неоднородного уравнения. Число 1 не принадлежит множеству чисел , поэтому частное решение ищется в виде . Тогда , откуда .

Итак, общее решение неоднородного уравнения: .

Найдём константы. По строению ряда видно, что , .

   

Частное решение: . 

Ответ. .

 

Курс  задача 5

Вычислить интеграл  по неограниченной кривой   в комплексной плоскости, где  - множество точек параболы  правее точки . 

 

Решение.  =  =  = . При этом , , .  

 . Во втором подведём под знак дифференциала. При этом происходит замена , и

 =  .

Далее оба интеграла решаются с помощью разложения рациональных дробей в сумму простейших.

 = ,

Сравнивая числители, получаем

,  откуда получаем 4 равенства:

, , ,

Тогда , , , .

 =  =  = .

Во втором интеграле (мнимая часть):

 = , , .

 =  =  = .

Ответ. .

 

 

Курс  задача 6

Три точки случайным образом брошены на отрезок [0,1]. Найти вероятность того, что произведение их абсцисс больше, чем  .

 

Решение.

Отложим 3 случайных значения по 3 осям координат. Дано: . Нужно найти отношение объёма тела, для точек которого выполняется , к объёму единичного куба. Все искомые точки лежат выше поверхности  .

На верхней грани выполнено , это определяет границу проекции тела на горизонтальную плоскость, т.е. границы для двойного интеграла по .

 =  =  =  =  =  =  =

 =  =  

 =  =  .

Ответ.  . 

 

Олимпиада по математике  ТУСУР, 2019

Курс  задача 1

Найти все действительные решения уравнения: .

Решение.  Запишем в виде . 

. Сделаем замену

.  

Здесь логично сделать ещё одну замену: . Тогда:

, найдём корни.

,  либо .

        

  

 не входит в область допустимых значений.

Итак,  принимает значение 0.  

Решением уравнения  является множество .

Ответ. .