Теорема сложения вероятностей для НЕсовместных и совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Теоремы умножения для двух независимых и зависимых событий

Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих событий вместе (рис.2.1).

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(2.4)

Теорема. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(2.5)

Следствие 1. Если события А₁, А₂, … А _n образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна 1:

(2.6)

 

Пример 2.5. В лотерее 1000 билетов, из них на один билет выпадает выигрыш 5000 рублей, на 10 билетов – выигрыш по 1000 рублей, на 50 билетов – выигрыши по 200 рублей, на 100 билетов – выигрыши по 50 рублей, остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выигрыша не менее 200 рублей.

Решение: Рассмотрим события:

А – выиграть не менее 200 руб.,

А₁ – выиграть 200 руб.,

А₂ – выиграть 1000 руб.,

А₃ – выиграть 5000 руб.

Очевидно, что

А=А₁+А₂+А₃

По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р(А)=Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)=0,05+0,01+0,001=0,061.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

(2.7)

 

 Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении и события А,  и события В (рис.2.2).

 Пусть события А и В – зависимые события. Условной вероятностью Р_А(B) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

(2.8)

 

В частности, для независимых событий:

(2.9)

 

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 2.6. Игральный кубик подбрасывают 2 раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет «шестерка»?

Решение: Рассмотрим события: А – первый раз выпадет «шестерка»  и В – второй раз выпадет «шестерка» . События А и В независимы. Тогда

Пример 2.7. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Решение: Введем обозначение событий. А – первым отобран мужчина, В – вторым отобран мужчина, С – третьим отобран мужчина.

           Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂,…, А _n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

(2.10)

Пример 2.8. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым – 0,8; третьим – 0,9. Найти вероятность того, что: a) все три стрелка попадут в цель; b) все три стрелка промахнутся; c) только один попадет; d) только два стрелка попадут в цель; e) не более двух стрелков попадут; f) хотя бы один стрелок попадет в цель.

Решение:

a) Пусть событие А – все три стрелка попадут в мишень. Обозначим вероятность того, что первый стрелок попадет в цель Р (1)=0,7; второй – Р (2)=0,8; третий – Р (3)=0,9.

Тогда .

b) Обозначим вероятность того, что промахнется первый стрелок - ; промахнется второй – ; промахнется третий – .

Событие В – все три стрелка промахнулись.

Тогда .

c) Пусть событие С состоит в том, что только один стрелок попадет в цель. Событие С произойдет, если произойдет либо событие А₁: , либо событие А₂: , либо событие А₃: . Переходя к вероятностям, получим:

d) Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получим:

где D – событие, состоящее в том, что только два стрелка попадут в цель.

e) Не более двух стрелков попадут в мишень, если произойдет либо событие B – все три стрелка промахнутся, либо событие С – только один стрелок попадет в мишень, либо событие D – только два стрелка попадут в мишень. Вероятности событий B, С, D  известны: Р (B)=0,006, Р(С)= 0,092, Р(D)= 0,398. Следовательно,

Р(E) = Р(В) + Р(С) + Р(Д) = 0,496, где E – событие, состоящее в том, что в результате опыта не более двух стрелков попадут в цель.

f) Рассмотрим два события: F – хотя бы один стрелок попадет в мишень; событие B- все трое промахнутся. Эти события являются противоположными, следовательно:

.

Формула полной вероятности

Теорема. Если события Н₁, Н₂,… Н_n образуют полную группу несовместных  событий и событие А может наступить лишь при условии появления одного из событий Н _i (i=1,2,…, n), то имеет место формула, которая называется формулой полной вероятности:

Р(А) =Р(Н1) Р(А/ Н1)+…+ Р(Н n) Р(А/ Н n)

(2.11)

 

Входящие в формулу события Н₁, Н₂,… Н_n  называют гипотезами.

Пример 2.9. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если одинаково возможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение: Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

В₁ - белых шаров нет,  В₂ - один белый шар,  В₃ - два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны,

 и сумма вероятностей гипотез равна единице, то условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, .

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было 2 белых шара, .

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

.

Формула Байеса

Теорема. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂,… Н_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса

, (i =1,2,… n), где Р(А) =Р(Н1) Р(А/ Н1)+…+ Р(Н n) Р(А/ Н n).

(2.12)

 

Пример 2.10. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. Имеется 20 вопросов, причем: отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент сможет ответить на доставшийся ему вопрос, и вероятность того, что этот студент плохо подготовлен и ему просто повезло с вопросом.

Решение: Введем следующие обозначения для заданных величин:

Н₁ – студент отличник

Н₂ – студент учится хорошо

Н₃ - студент учится удовлетворительно

Н₄ – студент  учится плохо

А – вопрос “хороший”

P (H ₁)= 0,3 (3 из 10)

P (Н₂) =0,4 (4 из 10)

P (Н₃) =0,2 (2 из 10)

P (Н₄) =0,1 (1 из 10)

P (A / H ₁) =20/20=1

P (А/Н₂) = 16/20=0,8

P (А/Н₃)= 10/20=0,5

P (А/Н₄)= 5/20=0,25

Воспользуемся формулой полной вероятности для вычисления P (А):

и формулой Байеса для вычисления P (Н₄/А):

.