Тема: подбор наиболее экономичного сечения балки

При деформации изгиба из условия прочности

Цель работы: научиться определять внутренние силовые факторы при прямом изгибе, строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.

Краткие теоретические сведения

При прямом изгибе в поперечном сечении балки возникает два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.

           Поперечная сила в каком – либо поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у внешних сил, действующих на балку по одну сторону от сечения.

Изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов сил, взятых с одной стороны от сечения относительно центра тяжести.

Знаки поперечных сил

Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть сечение по часовой стрелке (рис.7а), если против - отрицательной (рис.7б)

Знаки изгибающих моментов

Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным (рис.8а), если выпуклостью вверх – отрицательным (рис.8б).

 

                              Рис.7                                                   Рис.8

Правила, которыми следует руководствоваться при построении эпюр:

1. Эпюру моментов строят на сжатом волокне, т. е. положительные моменты (и положительные поперечные силы) откладывают вверх от оси, а отрицательные вниз.

2. Пользуясь принципом смягченных граничных условий, будем полагать, что в сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно, причем скачек равен модулю силы.

3. На том же основании, в сечении, где приложена пара сил, значение изгибающего момента меняется скачкообразно, причем скачек равен моменту пары.

4. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра моментов, представляет собой наклонную прямую, а эпюра поперечных сил – прямую, параллельную оси.

5. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов представляет собой параболу, а эпюра поперечных сил- наклонную прямую.

6. На конце балки изгибающий момент равен нулю, если там не приложена пара сил.

7. В точках, где поперечная сила равна 0, изгибающий момент принимает экстремальное значение

Нормальные напряжения при  изгибе:

 

Условие прочности при  изгибе:

 

 

Моменты сопротивления для различных сечений:

1. Прямоугольник со сторонами b * h:                W = bh²/ 6          

 

2. Круг диаметром d:          W = π d³/32 ≈ 0.1 d³

3. Кольцо D * d:   W = π (D ⁴ – d ⁴) /32 D ≈ 0.1 (D ⁴ – d ⁴ ) / D

 

Пример решения задачи

Пример. Для заданной двухопорной балки (рис.9,а)определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и определить размеры поперечного сечения (h, b, d) в форме прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h/b = 1,5.Считать [σ]= 160 Н/мм².

Решение

1. Определяем опорные реакции и проверяем их найденные значения:

;

 

Так как реакция R_D получилась со знаком минус, то изменяем ее первоначальное направление на противоположное. Истинное направление реакции R_D – вниз (рис.9,б).

П р о в е р к а:

Условие статики выполняется, следовательно, реакции определены верно. При построении эпюр используем только истинные направления реакций опор.

2. Делим балку на участки по характерным сечениям O, B, C, D (рис.6,б).

3. Определяем в характерных сечениях значения поперечной силы Q_у и строим эпюру слева направо (рис.9,в):

Рис.9

 

4. Вычисляем в характерных сечениях значения изгибающего момента  и строим эпюру (рис.9,г):

5. Вычисляем размеры сечения данной балки из условий прочности на изгиб по двум вариантам:

а) сечение – прямоугольник с заданным соотношением сторон (рис. 6, е) и двутавр;

б) сечение – круг (рис.9,д) и швеллер.

Вычисление размеров прямоугольного сечения:

Используя формулу  и учитывая, что h=1,5b, находим

Используя формулу  находим диаметр круглого сечения

 

Основываясь на значении W_х = 0,762·10⁶ мм³ по таблице ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №40: момент сопротивления W_х = 953 см³; площадь сечения А = 72,6 см².

Выполняем сравнение по площади.

Площадь сечения прямоугольника А = b·h = 1,5·12,7² = 242 см².

Задание для выполнения работы

Для заданной двухопорной балки (рис.10) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать из условия прочности размеры поперечного сечения прямоугольника и двутавра (нечетные варианты) или круга и швеллера (четные варианты), приняв для прямоугольника h=2b. Произвести сравнение выбранных сечений. Считать

=150 МПа, данные своего варианта взять из табл.3.

 

1	6
2	7
3	8
4	9
5	10

 

Рис.10

Таблица 3

№ варианта

№

Схемы