Алгоритм расчета усилий в стержнях плоской фермы методом конечных элементов

 

Алгоритм составлен на основе применения теории матриц к расчету ферм [1].

Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему. В первую очередь, необходимо описать структуру решетки системы, пронумеровав все узлы фермы и ее стержни. Для описания структуры составляется структурная матрица -S, в которой в каждом ее столбце находятся только два числа: 1 и -1, причем 1 располагается в строке, номер которой совпадает с началом стержня, а -1 - в строке, номер которой совпадает с номером узла, к которому примыкает конец стержня. За начало стержня принимается тот его конец, который примыкает (присоединяется) к меньшему по номеру узлу. В каждой строке структурной матрицы (а строка соответствует узлу, совпадающему с ней по номеру) значащие числа характеризуют номера элементов, соединяемых в узле, причем 1 подчеркивает то, что к узлу подходит начало стержня, а -1 - что к узлу подходит конец стержня. Далее следует сформировать матрицы - столбцы координат узлов фермы:

       

                   ,                                                                                   (3.49)

где i - номер соответствующего узла,

  Xi и Yi - соответственно координаты X и Y узла в выбранной системе координат.

Общая матрица - столбец координат узлов фермы:

                                                                                                           (3.50)                                

где m - число узлов фермы.

Матрица проекций длин элементов фермы:

                                                                                                         (3.51)

где транспонированная матрица .

(Транспонирование - преобразование исходной матрицы, состоящее в замене строк столбцами при сохранении их нумерации). Элементами матрицы проекций являются матрицы - столбцы, два элемента каждого из которых i-го стержня дают проекции:

 

                                                                                                            (3.52)

Длины стержней определяются выражением:

                                                                                                      (3.53)

где  - матрица проекций стержня.

 - транспонированная матрица из .

Векторы направляющих косинусов стержней:

                                                                                                      (3.54)

По длине элемента фермы нормальная сила постоянна:

.                                                                                                 (3.55)

Построим вектор внешних нагрузок

                                                                                                           (3.56)

элементами которого являются матрицы – столбцы - , определяющие проекции внешних сил, действующих на узлы, например, для j-го узла имеем:

                                                                                                           (3.57)          

где  и  - проекции внешних сил, действующих на j-й узел, на соответствующие координатные оси. Выражение, устанавливающее связь между внутренними усилиями и внешними силами, при этом будет следующее:

                  ,                                                                                 (3.58)

где  - матрица – столбец, элементами которой являются искомые усилия в стержнях фермы;

 - матрица, получаемая из структурной матрицы путем замены элементов 1 на соответствующие векторы направляющих косинусов стержней, а элементов (-1) матрицы  на соответствующие векторы направляющих косинусов с обратным знаком. Для определения неизвестных усилий в стержнях из вектора следует исключить элементы матрицы, соответствующие опорным связям системы, и таким путем получить вектор . Tаким же образом из матрицы необходимо исключить строки, соответствующие опорным узлам фермы. При этом для узла с шарнирно-неподвижным опиранием удаляются обе строки, а для узла с шарнирно-подвижным опиранием удалить одну строку. В результате таких преобразований получаем матрицу . Тогда вектор усилий находится решением матричного уравнения:

                                                                                                           (3.59)

Из уравнения (2.59) матрица столбец  может быть определена:

                                                                                                          (3.60)

где - обратная матрица относительно .

Пример расчета плоской фермы матричным методом

Для пояснения алгоритма расчета стержневых систем по методу МКЭ в матричной форме выполним расчет простейшей трехстержневой фермы, показанной на рис.3.52.

 

Рис.3.52. Схема плоской фермы

 

Построим структурную матрицу фермы (рис. 3.52) по ранее приведенной форме:

 

                                        

В построенной матрице:

строки – узлы фермы;

 столбцы – стержни фермы.

Запишем матрицы – столбцы координат узлов фермы:

 

                                

                               

В матрице  цифра 3 обозначает координату узла 3 по оси Х (Х=3), вторая цифра 0 дает значение узла 3 по направлению оси Y (Y=0).

Транспонированная матрица  путем замены строк столбцами при сохранении их нумерации будет иметь вид:

                             

                                                    3-й узел                      

                                                       2-й узел

                                                    1-й узел

 

Матрица проекций длин элементов фермы по формуле (3.51):

                       .

Длины стержней вычисляются по выражению (3.53):

;

;

.

Векторы направляющих косинусов стержней по формуле (3.54):

          ;

         ;

          .

Вектор внешних нагрузок по выражению (3.56):

         .

Для получения из структурной матрицы  матрицы  произведем замену в матрице  значащих элементов 1 на соответствующие векторы направляющих косинусов (если элемент имеет значение (-1), то соответствующие векторы ставить с обратным знаком):

   

                            3-й стержень с заменой 1 на

                          2-й стержень с заменой 1 на

                   1-й стержень с заменой 1 на

 

Для построения матрицы-вектора  из вектора внешних нагрузок  удаляем первые две строки, т.к. узел 1 имеет закрепление (опору) по направлению Х (первая строка) и по направлению Y (вторая строка), а также удаляем строку 6 как закрепление узла 3 по направлению Y. В результате получим матрицу-вектор  следующего вида:

                                           

Для построения матрицы  из матрицы  аналогично построению матрицы-вектора Q удаляем первую, вторую и шестую строки:

 

                                   = .

 

Решение уравнений (3.59) и (3.60) в матричной форме дает следующий результат:

 

                                       ,

 

где N1, N2 и N3 усилия в стержнях 1, 2 и 3 [Tc].