Оцениваем значения входных величин

Примеры решения задач 2-го тура олимпиады «Приборостроение»

Межвузовская студенческая олимпиада «Приборостроение» проводится с 2006 г. ежегодно, дистанционно, в два тура. Первый (отборочный региональный) тур проводится в форме On-line тестирования участников по основным разделам базовых дисциплин направления подготовки «Приборостроение». Второй(зачетный)тур проводится в виде решения комплекта олимпиадных задач и отправления результатов по электронной почте.  

Участниками олимпиады являются вузы России, выпускающие специалистов по направлению подготовки «Приборостроение». Среди них пять ведущих национальных исследовательских университетов: РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина (Москва), СпБГТУ имени Петра Великого, Национальный исслеловательский университет ИТМО (СанктПетербург), КНИТУ им. А.Н.Туполева (Казань), Национальный исследовательский университет «МЭИ» (Москва). За прошедшие годы приобретен опыт организации и проведения олимпиады, разработаны Положение и регламент олимпиады, создано профессиональное жюри, подготовлены тестовые и олимпиадные задания, которые ежегодно обновляются и совершенствуются.

Авторы олимпиадных задач предлагают примеры их решения, надеясь на то, что они помогут участникам соревнований и заинтересованным преподавателям вузов получить представление о содержании и уровне сложности олимпиадных заданий.

                  Раздел 1.  «Основы проектирования приборов и систем»

Автор задач - Щепетов Александр Григорьевич, профессор кафедры информационно-измерительных систем РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, e-mail:  [e-mail].

Общая характеристика: задания относятся к задачам анализа, синтеза  и оптимизации измерительных устройств (ИУ). Примеры решения подобных задач содержатся в работах автора [1,2].

Задача 1.1: Определите длительность переходного процесса , возникающего в приборе при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия, если известны структурная схема прибора (рис. 1) и допустимое значение относительной переходной погрешности .

 

  Рис. 1                                      

Решение:

Определяем  передаточную  функцию прибора. Для этого можно использовать метод структурных преобразований или метод исключения промежуточных переменных [1]. Покажем оба способа.

 

Способ 1 (метод структурных преобразований). На рис. 2 показана эквивалентная структурная схема прибора, полученная из исходной структурной схемы (рис. 2,а) путем переноса точки разветвления на входе звена 1 за это звено  

                                                                                                              б

                  Рис. 2 Эквивалентная структурные схемы прибора

В результате такого преобразования структурной схемы прибора появились группы звеньев, имеющих типовые соединения. Передаточная функция цепи прямой связи равна

                                            .

Следовательно общая передаточная функция прибора равна

                         .                               (1)

Особенностью полученного результата является то, что передаточная функция прибора не зависит от передаточной функции звена 1, т.е. является инвариантной к параметрам этого звена. Поэтому исходное данное  (на рис. 1 выделено цветом)  является «лишним».

Способ 2 (метод исключения промежуточных переменных)

Вводим промежуточную переменную  - выходной сигнал звена 1 и, обрывая связи, составляем эквивалентную структурную схему прибора (рис. 3)      

 

             

 

 

                     Рис. 3 Эквивалентная структурная схема прибора

Из этой схемы следуют уравнения

                             .                     (2)

Исключая из второго уравнения промежуточную переменную , находим

                              .

Подставляя этот результат в первое уравнение системы (2), получаем

             ,                                (3)

что совпадает с прежним результатом.

а                               б

Рис. 4

Определяем относительную переходную функцию прибора

,

строим ее график (рис.4,а) и определяем длительность переходного процесса , как абсциссу точки последнего пересечения графика с границами трубки точности , где  - допустимое значение относительной переходной погрешности (рис. 4,б)

                                             Ответ:  c.

 

Задача целиком может целиком  решаться в среде MATHCAD [2]. На рисунке 5 приводится распечатка соответствующего Mathcad-файла.

                          Рис.5. Решение задачи 1.1 в среде Mathcad

Задача 1.2: Определите статическую характеристику корректирующего звена (звена 3 на рис. 6), которое используется для получения желаемой общей статической характеристики прибора  в интервале , если статические характеристики звеньев 1, 2 известны

                                                  

                                                    Рис. 6

Решение:

Для решения задачи можно использовать поэтапный метод или метод исключения промежуточных переменных [1]. Покажем решение задачи обоими методами.

Способ 1 (поэтапный метод) При использовании поэтапного метода задача решается в несколько этапов, на каждом из которых определяется статическая характеристика группы звеньев, имеющих типовое соединение (последовательное, параллельное или встречно-параллельное)

На первом этапе определим статическую характеристику  группы  звеньев 1,2,3 (на рис. 7 обведена пунктиром)

Рис. 7

Согласно условиям задачи и рис. 6 имеем уравнения  и .

Следовательно                          .                                               (3)

На втором этапе определим статическую характеристику  группы  звеньев 2,3 (рис. 8)

                    Рис. 8

 

Имеем уравнения   , . Следовательно .    

На третьем этапе определим искомую статическую характеристику корректирующего звена . Имеем уравнение , т.е. . Следовательно .                                                         

Если , то, согласно (3) и условиям задачи,  и .

                            Ответ: , где .

Способ 2 (метод исключения промежуточных переменных)При использовании метода исключения промежуточных переменных составляется система уравнений, описывающих структурную схему прибора (рис. 5). Она состоит из уравнений звеньев, уравнений связей и желаемой характеристики прибора. Общее число уравнений этой системы уравнений должно быть на единицу меньше числа входящих в нее неизвестных величин. Поэтому, полагая одну из этих величин известной, можно определить зависимость от нее всех других величин [1].

В данном случае такая система уравнений имеет вид (см. рис. 5)                     

                                                                                 (4)

Полагая величину  известной и решая эту систему уравнений относительно переменной , получим

                              .    

Если , то, согласно уравнениям (4),   , т.е. .

 

 

Задача может решаться в среде MATHCAD (см. [2]). На рис.9 показана распечатка соответствующего Mathcad-файла.

                      Рис.9. Решение задачи 1.2 в среде Mathcad

Задача 1.3: Определите коэффициенты передачи и  звеньев структурной схемы

прибора (рис. 8),

                          Рис. 10

при которых выполняются следующие требования к его динамическим характеристикам:

                                ,

где - длительность переходного процесса,  - интегральная квадратичная оценка переходного процесса,  - допустимая относительная переходная погрешность.

   Решение:

Определяем передаточную функцию прибора. В соответствии с рис. 8 имеем

               , т.е.   .

        Запишем ее в стандартной форме

                                         ,

где  - коэффициент чувствительности прибора;  - относительный коэффициент демпфирования и собственная частота прибора, зависящие от искомых параметров его структурной схемы

                                                  , .

Отсюда видно, что, определив  и , можно найти  и .  

Определим  и  так, чтобы выполнялись требования, предъявляемые к динамическим характеристикам прибора. Требование выполняется, если  [1], следовательно

                                                       .

       Требование с выполняется при определенном значении собственной частоты , которое можно подобрать, строя семейство относительных переходных характеристик ИУ второго порядка, соответствующее найденному значению  и разным значениям  . В результате получим (см. рис. 11)  (см. сплошную кривую на рис. 11,б.

                                      

                             а                                                      б

                        Рис. 11 Переходные характеристики прибора

Таким образом, имеем соотношения   ,   .

Отсюда получаем                                 , .

Для определения собственной частоты  можно было воспользоваться формулой

                                          ,

где  - относительная длительность переходного процесса, совпадающая с длительностью переходного процесса в приборе, у которого . Для случая ,  имеем (см. рис. 12) . Следовательно .

Рис. 12 Переходная характеристика ИУ с параметрами , .

         Ответ: ,

Рекомендуемая литература:

Щепетов А.Г. Основы проектирования приборов и систем: учебник и практикум для академического бакалавриата. – М.: Издательство Юрайт, 2016, – 458с.

 Щепетов А.Г. Основы проектирования приборов и систем. Задачи и упражнения. Mathcad для приборостроения: учеб. Пособие для академического бакалавриата. – М.: Издательство Юрайт, 2016. – 270 с.

                 Раздел 2.  «Метрология, обработка результатов измерений»

Авторы задач: Подмастерьев Константин Валентинович, Марков Владимир Владимирович. Координаты для переписки: [e-mail]. Раздел учебной программы, к которой относится задача: метрология (обработка результатов измерений).

 

Задача №1 (8 баллов)

«Оценка неопределённости результата однократного измерения»

 

Вариант №1

При однократном измерении активной электрической мощности получено показание ваттметра P = 75 Вт. Экспериментатор обладает априорной информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений:

1) диапазон измерений ваттметра: 0…250 Вт;

2) класс точности ваттметра: ;

3) цена деления шкалы ваттметра: с = 2 Вт;

4) значение поправки: Qа = 1 Вт;

5) значение неисключённой систематической погрешности: Δ_нсп = ±0,5 Вт.

Составить модельное уравнение, оценить значения и стандартные неопределённости входных величин, вычислить суммарную стандартную и расширенную неопределённости, обосновав выбранное значение коэффициента охвата. Записать результат измерения с учётом неопределённости.

Решение:

Расчёт суммарной и расширенной неопределённости проводим в соответствии с ГОСТ 34100.3-2017 «Неопределённость измерения. Руководство по выражению неопределённости измерения».

1 Составляем модельное уравнение.

Модельное уравнение – это математическая связь между всеми величинами, о которых известно, что они причастны к измерению. С учётом исходных данных задачи модельное уравнение может быть представлено в следующем виде:

 

Y = P + DP + Qа + Δ_нсп + Δд,                                 (1)

где Y – значение измеряемой мощности;

P – показание ваттметра;

 DP – основная погрешность измерения, определяемая, в зависимости от априорной информации либо классом точности, либо информацией о законе распределения результата измерений и значения среднего квадратического отклонения S;

Qа – поправка на систематическую погрешность;

Δ_нсп – неисключённая систематическая погрешность;

Δд – погрешность от дискретности отсчёта (определяется по цене деления шкалы ваттметра).

Измерения

       Принимая входные величины уравнения измерения в качестве независимых величин, суммарную стандартную неопределенность результата измерения определяем из уравнения:

, (2)

где С_р, С_нсп и С_д – соответственно, коэффициенты чувствительности входных величин DP, Δ_нсп и Δд.

Значения коэффициентов чувствительности определяются в общем случае, как:

С_i = д Y /д X_i,

где X_i –входная величина уравнения измерения (1).

Поскольку уравнение (1) аддитивно, значение всех коэффициентов чувствительности раны: С_р = С_нсп = С_д = 1

Подставив значения величин в выражение (2), получим:

Вт

6. В ычисляем расширенную неопределённость, обосновав выбранное значение вероятности охвата Так как нет информации о назначении результата измерения, выбираем значение вероятности охвата P = 0,95, которое соответствует «результатам измерения общего назначения».

Анализируя входные величины, отмечаем, что для всех стандартных неопределенностей ввиду отсутствия информации мы принимали равномерных закон распределения вероятности. Принимая во внимание, что таких составляющих три, и они имеют значение одного порядка можно допустить нормальный закон распределения результата измерения. Тогда данному значению вероятности охвата соответствует значение коэффициента охвата k = 2.

Определяем расширенную неопределённость по формуле:

U(Y) = k×u(Y).                                                  (7)

Получаем значение расширенной неопределённости:

U(Y) = 2×0.684 = 1.368 Вт.

Округляем данное значение по правилам округления результатов измерений, и получаем окончательное значение расширенной неопределённости:

U(Y) = 1,4 Вт.

 

6 Записываем результат измерения с учётом неопределённости.

Y = y ± U(Y) = (76,0 ± 1,4) Вт.

Измеренная мощность равна (76,0 ± 1,4) Вт, где число, стоящее после знака ± расширенная неопределенность U(Y) = k×u(Y), полученная для суммарной стандартной неопределённости Вт и коэффициента охвата k = 2, соответствующего уровню доверия 95 % для нормального закона распределения

.                                                  

Задача №2 (8 баллов)

«Прямые многократные изменения»

При многократном измерении активного электрического сопротивления R получена серия результатов:

 

484, 486, 484, 484, 481, 485, 484, 482, 483, 485, 482, 493, 483, 483, 483, 483, 484, 484, 483, 482, 481, 481, 483, 495 Ом.

 

Составить модельное уравнение, оценить значения и стандартные неопределённости входных величин, вычислить суммарную стандартную и расширенную неопределённости, обосновав выбранное значение коэффициента охвата. Записать результат измерения с учётом неопределённости.

Примечание: влиянием неисключенной систематической погрешности и других влияющих факторов пренебречь. Уровень доверия, с которым следует получить результат измерения P = 0,95.

Решение:

1 Составляем модельное уравнение.

Модельное уравнение – это математическая связь между всеми величинами, о которых известно, что они причастны к измерению. С учётом исходных данных задачи и примечания к условию модельное уравнение может быть представлено в следующем виде:

                                                          Y = Q + Δд,                                                   (1)

где Y – значение измеряемого сопротивления;

Q – Показание омметра;

Δд – погрешность от дискретности отсчёта (определяется по цене деления шкалы омметра).

Измерения

       Принимая входные величины уравнения измерения в качестве независимых величин, суммарную стандартную неопределенность результата измерения определяем из уравнения:

                                ,                                   (2)

где С_Q, и С_д – соответственно, коэффициенты чувствительности входных величин Q и Δд.

Значения коэффициентов чувствительности определяются в общем случае, как:

С_i = д Y /д X_i,

где X_i –входная величина уравнения измерения (1).

Поскольку уравнение (1) аддитивно, значение всех коэффициентов чувствительности раны: С_Q = С_д = 1

Подставив значения величин в выражение (2), получим:

Вт

Восстановление сигнала

 

Задача 3.3. (Дьяченко Ю.Н.): Основная полоса частот аналогового сигнала расположена в диапазоне от 0 до f_m = 120Гц, частота дискретизации и обновления отсчетов на выходе ЦАП f_S = 1200Гц, суммарная частотная погрешность от спада АЧХ в рабочем диапазоне , подавление высокочастотных составляющих спектра от частоты f_S - f_m и выше — не менее q = 50 дБ. Найдите минимальный порядок n и частоту среза f _с сглаживающего ФНЧ с АЧХ Баттерворта

                                                   .

Учесть, что в процессе ЦА преобразования дискретного цифрового сигнала в ступенчатый аналоговый сигнал, спектр исходного дискретного сигнала умножается на sinc-функцию вида

                                                                  .

Ответ: n =3, 273 < f _с < 331Гц.

 

Покажем решение задачи в ее общей постановке [1]: Основная полоса частот аналогового сигнала расположена в диапазоне , частота дискретизации и обновления отсчетов , суммарная частотная погрешность от спада АЧХ в рабочем диапазоне не более %(относительное значение), подавление высокочастотных составляющих спектра от частоты  и выше не менее дБ. Найти минимальный порядок  и частоту среза  ФНЧ.

В ходе дискретизации непрерывный аналоговый сигнал преобразуется в отсчеты, следующие с частотой дискретизации  (или с интервалом дискретизации  во временной области). Если спектр  исходного сигнала расположен в диапазоне частот от 0 до , то спектр дискретного сигнала  содержит еще и копии этого спектра, расположенные на частотной оси в диапазонах от  до , где  (в соответствии с рис. 1, где сами эти спектры не показаны). Восстановить аналоговый сигнал по отсчетам можно, если без искажений выделить его спектр , подавив при этом все копии. Рассмотрим простейший случай равномерного спектра, когда   в заданном диапазоне.

Практическое восстановление аналогового сигнала по дискретным отсчетам производится с использованием ЦАП, на выходе которого формируется ступенчатое напряжение в виде кусочно-постоянной кривой. В частотной области ЦАП выполняет функции ФНЧ с АЧХ вида . Следовательно, амплитудный спектр ступенчатого сигнала

               .                              (1)

При переходе от дискретного к ступенчатому сигналу ослабляются высокочастотные составляющие дискретного сигнала расположенные вблизи частот  кратных частоте дискретизации. Однако, появляется спад АЧХ в основном частотном диапазоне , следовательно, и частотная погрешность, относительное значение которой равно

                        .                           (2)

Результат поясняет рис.1. На нем штриховой линией 2 изображен график функции (3) . Для окончательного формирования аналогового сигнала на выходе ЦАП ставят ФНЧ, который сглаживает ступенчатое напряжение ЦАП и позволяет эффективно уменьшить погрешность восстановления. Однако, наряду с подавлением высокочастотных составляющих, ФНЧ вносит дополнительный спад в основной спектр восстанавливаемого сигнала на частотах до . На рис. 1 кривой 3 изображен график АЧХ простейшего ФНЧ 1-го порядка, а кривой 1 - график спектра выходного сглаженного сигнала.

Рис.1. К иллюстрации расчета сглаживающего ФНЧ

 

Улучшить результаты восстановления можно двумя путями: во-первых, использовать ФНЧ высокого порядка, во-вторых, повысить частоту дискретизации (т.е. увеличить отношение ). Первый путь приводит к усложнению схемы ФНЧ и ее настройки, ухудшению стабильности характеристик фильтра, появлению значительных фазовых искажений сигнала и задержке его во времени. Поэтому рационально определить разумное соотношение между параметрами ФНЧ и частотой .

Рассмотрим методику определения параметров фильтра при условии, что используется ФНЧ с АЧХ Баттерворта

                                                           ,                                         (3)

где  и n – частота среза и порядок фильтра.

Амплитудный спектр  имеет по отношению к спектру исходного сигнала спад, определяемый погрешностью  по формуле (2). ФНЧ вносит дополнительное ослабление основного спектра сигнала, максимальное допустимое значение которого можно записать в виде погрешности  (значение  предварительно переводится из процентов в относительные единицы):

.

Относительная погрешность АЧХ ФНЧ на частоте  не должна превышать значение :

                                                          .                                            (4)

После подстановки  из формулы (3) в соотношение (4) и простых преобразований последнего с учетом , получим:

    .

Окончательно для минимального значения частоты среза  фильтра получим

                                                         .                                               (5)

Ослабление высокочастотных гармоник дискретного сигнала, не входящих в спектр исходного сигнала, происходит при его преобразовании в ступенчатую форму и дальнейшем сглаживании ФНЧ. Общий коэффициент подавления высокочастотных гармоник относительно низкочастотных составляющих полезного сигнала определяется величиной обратной произведению функции  из (1) и АЧХ фильтра (3):

                                                      (6)

Неравенство (6) означает, что на наиболее низкой частоте подавляемых гармоник , значение коэффициента подавления не меньше заданного , пересчитанного из логарифмических единиц (дБ) в относительные единицы.

Введем обозначение , определяющее необходимое значение коэффициента подавления ФНЧ. Тогда из соотношения (6) с учетом (3) и того, что в практических задачах , получим:

.

Окончательно для определения максимального значения частоты среза  фильтра получим соотношение

                                                           .                                                     (7)

Расчет ФНЧ удобно проводить по формулам (5) и (7) посредством простого перебора значений его порядка и определения наименьшего , при котором частоту среза  можно будет выбрать из условий

 

.

 

Рекомендуемая литература:

1. Щепетов А.Г., Дьяченко Ю.Н. Преобразование измерительных сигналов: учебник и практикум для академического бакалавриата по инженерно-техническим направлениям и специальностям / под ред. А. Г. Щепетова. – Москва: Юрайт, 2016 – 269 с.

2. Айфичер Э.С., Джевис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 992 с.

 

Задача 3.4: (Барат В.А.) Дискретный сигнал x(n)=sin(0.5πn) сначала интегрируется, а затем дифференцируется. Определите аналитическое выражение выходного сигнала, если для цифрового интегрирования используется метод Симпсона, а дифференциатор можно считать идеальным.

Интегрирование по методу Симпсона определяется при помощи разностного уравнения

y[n]=y[n-2]+1/3(x[n]+4x[n-1]+x[n-2])

Построим передаточную функцию интегратора при помощи z-преобразования

подставляя z=e^iw получаем

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики

Комплексный коэффициент передачи на частоте входного сигнала равен

После интегрирования получаем сигнал y₁(n)=0.667sin(0,5πn-90°)

У идеального дифференциатора передаточная функция , комплексный коэффициент передачи на частоте входного сигнала равен Hd(0.5π)=0.5πi,

 

Умножаем амплитуду сигнала y₁ на 0,5π и увеличиваем фазу на 90° получаем, что аналитическое выражение для выходного сигнала y(n)=0,667·0,5·π·sin(0,5πn)=1,047sin(0,5πn)

 

Если бы интегратор был идеальным, то выходной сигнал был бы равен входному

 

Ответ: y(n)=1,047·sin(0,5πn)

 

       Раздел 4. «Микропроцессорная измерительная техника»

 

Автор задачи Москаленко Оксана Владимировна, ст. преподаватель кафедры приборов и информационно-измерительных систем Института комплексной безопасности и специального приборостроения Московского технологического университета,e-mail [e-mail].

Задача 5.1. (программирование МП устройств): Опишите словами последовательность выполняемых действий и укажите десятичное число, которое будет в ячейке с адресом 555₁₀ после выполнения программы микроконтроллером с ядром AVR, если в ячейках памяти ОЗУ были данные, указанные в окне Memory

 

Решение:

Ldi r18, 0x1E	Загрузить в РОН r18 константу 1Е16
Mov r5, r18	Переместить содержимое из РОН r18 в РОНr5
Ldi r18, 0x8A	Загрузить в РОН r18 константу 8А16
Ldi r17, 0x2D	Загрузить в РОН r17константу 2D16
Clr r6	Очистить содержимое РОН r6
Ldi r31, high(555)	Загрузить в регистровую пару Z старший и младший байты адреса ячейки с адресом 55510
Ldi r30, low(555)
Sa:  ld r16, -Z	Уменьшить значение в регистровой паре Z на 1 и загрузить в РОН r16 данные из ячейки, адрес которой получился в Z
Bst r16, 0	Записать 0-ой бит содержимого РОН r16 во флаг Т
Brtc fn	Перейти к метке, если флаг очищен (если Т=0)
Cp r18, r16	Сравнить содержимое r18 c r16
Breq fn	Перейти к метке, если флаг Z=0 (числа равны)
Brcs fn	Перейти к метке, если флаг С=1 (содержимое r18<r16)
Cp r16, r17	Сравнить содержимое r16 c r17
Breq fn	Перейти к метке, если флаг Z=0 (числа равны)
Brcs fn	Перейти к метке, если флаг С=1 (содержимое r16<r17)
Inc r6	Увеличить значение в РОН r6 на 1
Sts 555, r6	Загрузить значение из РОН r6 в ячейку памяти с адресом 55510
Fn: dec r5	Уменьшить значение в РОН r5 на 1
Brne sa	Перейти к метке, если содержимое РОН r5 не равно 0
nop	команда «нет операций»

 

Программа вычисляет количество чисел (из 30 заданных чисел, размещенных последовательно начиная с ячейки ОЗУ с адресом 554₁₀=22А₁₆ и выделенных красным), удовлетворяющих всем условиям:

- число должно быть нечетным;

- число должно быть строго меньше 138;

- число должно быть строго больше 45.

Ответ записывается в ячейку ОЗУ с адресом 555₁₀=22В₁₆ (выделенную синим).

 

Ответ: число 5₁₀

 

 

 

                      Раздел 5. «Программирование»