Операции над нечеткими подмножествами

 

Для классических множеств вводятся операции:

· пересечение множеств – операция над множествами А и В, результатом которой является множество С = А Ç В, которое содержит только те элементы, которые принадлежат и множеству A и множеству B;

· объединение множеств - операция над множествами А и В, результатом которой является множество С = А È В, которое содержит те элементы, которые принадлежат множеству A или множеству B или обоим множествам;

· отрицание множеств - операция над множеством А, результатом которой является множество С = Ø А, которое содержит все элементы, которые принадлежат универсальному множеству, но не принадлежат множеству A.

Заде предложил набор аналогичных операций над нечеткими множествами через операции с функциями принадлежности этих множеств. Так, если множество А задано функцией m _А (u), а множество В задано функцией m _В (u), то результатом операций является множество С с функцией принадлежности m _С (u), причем:

· если С = А Ç В, тоm _С (u) = min(m _А (u), m _В (u));                            (2.2)

· если С = А È В, тоm _С (u) = max(m _А (u), m _В (u));                           (2.3)

· если С = Ø А, то m _С (u) = 1-m _А (u).                                               (2.4)

 

 

Нечеткие числа и операции над ними

Нечеткое число – это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности, то есть такую, что а) существует такое значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице, а также а) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности убывает.

 

Рассмотрим два типа нечетких чисел, которые нам понадообятся для дальнейшего.

 

Трапециевидное (трапезоидное) нечеткое число

 

Исследуем некоторую квазистатистику и зададим лингвистическую переменную W = «Значение параметра U», где U – множество значений носителя квазистатистики. Выделим два терм-множества значений: T₁ = «U у лежит в диапазоне примерно от a до b» с нечетким подмножеством М₁ и безымянное значение T₂ с нечетким подмножеством М₂, причем выполняется М₂ = Ø М₁. Тогда функция принадлежности m_T1(u) имеет трапезоидный вид, как показано на рис. 2.3.

 

Рис. 2.3. Функция принадлежности трапециевидного нечеткого числа

 

Поскольку границы интервала заданы нечетко, то разумно ввести абсциссы вершин трапеции следующим образом:

                                               

     а = (а₁+а₂)/2, в = (в₁+в₂)/2,                                                     (2.5)

 

при этом отстояние вершин а₁, а₂ и в₁, в₂ соответственно друг от друга обуславливается тем, что какую семантику мы вкладываем в понатие «примерно»: чем больше разброс квазистатистики, тем боковые ребра трапеции являются более пологими. В предельном случае понятие «примерно» выраждается в понятие «где угодно».

 

     Если мы оцениваем параметр качественно, например, высказавшись «Это значение параметра является средним», необходимо ввести уточняющее высказывание типа «Среднее значение – это примерно от a до b», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования нечетких классификаций трапезоидные числа. На самом деле, это самый естественной способ неуверенной классификации.

 

 

Треугольные нечеткие числа

 

Теперь для той же лингвистической переменной зададим терм-множество Т₁={U приблизительно равно а}. Ясно, что а ± d» а, причем по мере убывания d до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы. Это, с точки зрения функции принадлежности, придает последней треугольный вид (рис. 2.4), причем степень приближения характеризуется экспертом.

 

Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем чаще всего - в качестве прогнозных значений параметра.

Рис. 2.4. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа