Знак скорости при прямолинейном движении

Пусть в момент времени считая от начального момента, тело находилось в точке с координатой (§ 6), а в более поздний момент — в точке с координатой . Разность дает промежуток времени , в течение которого двигалось тело; абсолютное значение разности равно пройденному телом пути . Поэтому формулу (9.1) можно представить в виде

. (10.1)

Если в числителе взять просто разность , получится формула

. (10.2)

Определяемая этой формулой величина оказывается алгебраической. Действительно, разность всегда положительна, так как (более поздний момент) выражается большим числом, чем (более ранний момент). Разность же может быть как положительной (если ), так и отрицательной (если ). Знак зависит от направления, в котором движется тело. Если движение происходит в направлении оси , то и определяемая формулой (10.2) величина оказывается положительной; если же движение происходит в противоположном направлении, то , и отрицательна.

Таким образом, знак величины  позволяет судить, в каком из двух направлений — «по оси Х» или «против оси Х» — движется тело. Это оказывается удобным. Поэтому в случае прямолинейного движения мы будем условно говорить о положительных и отрицательных скоростях.

Единицы скорости

Из формулы  для скорости видно, что при прохождении единицы пути за единицу времени скорость также получается равной единице. Поэтому за единицу скорости принимают скорость такого равномерного движения, при котором за единицу времени тело проходит путь, равный единице. Так, в системе СИ за единицу скорости принята скорость такого движения, при котором за одну секунду проходится один метр пути. Наименование этой скорости записывают в виде метр в секунду (м/с). Для любого движения, деля длину, выраженную в метрах, на промежуток времени, выраженный в секундах, найдем скорость, выраженную в метрах в секунду.

При другом выборе единицы времени или единицы пути иной будет и единица скорости. Для единиц пути и времени сантиметр и секунда единицей скорости будет сантиметр в секунду (см/с) — скорость такого движения, при котором за 1 с проходится путь 1 см. Для единиц километр и час получается единица скорости километр в час (км/ч) — скорость движения, при котором за 1 ч проходится расстояние 1 км. Аналогично составляются и записываются единицы и при всяком ином выборе единиц времени и длины.

Ясно, что при разном выборе единиц скорость одного и того же движения будет иметь разные числовые значения. Пусть известно числовое значение скорости какого-либо движения в каких-либо определенных единицах, например в метрах в секунду. Это значение получается путем деления числа, выражающего длину пройденного пути в метрах, на соответственный промежуток времени в секундах. Допустим, мы хотим выразить скорость того же движения в других единицах, например в километрах в час. Нужно ли для этого заново измерить пройденный путь (теперь уже в километрах) и промежуток времени (теперь уже в часах)? Повторять измерения надобности нет. Новое числовое значение скорости данного движения [км/ч] можно получить из старого значения [м/с] путем расчета.

В самом деле, обозначим измеренный путь через [м], а промежуток времени через [с]. Числовое значение скорости есть

.

Если тот же путь мы измерили бы в километрах, а время в часах, то величины, входящие в формулу для скорости, изменились бы: путь выразился бы величиной , а время — величиной . В новых единицах скорость будет равна

.

Эта формула и дает переход от скорости , выраженной в метрах в секунду, к скорости , выраженной в километрах в час. Из этой формулы легко получить и обратный переход — от единицы километр в час к единице метр в секунду:

.

Например, для м/с скорость км/ч, для км/ч скорость м/с.

Легко также получить и соотношение между самими единицами скорости. Для этого в полученных формулах следует взять исходную скорость, равную единице. Тогда получим

, 1 м/с = 3,6 км/ч.

Пользуясь для расчетов формулами, куда будут входить длина, время и скорость, необходимо выражать все величины в соответствующих друг другу единицах. Если, например, скорость выражена в метрах в секунду, то путь и промежутки времени нужно выражать в метрах и секундах. Если путь выражен в километрах, а время в часах, то скорость нужно выражать в километрах в час. Если заданные величины выражены в единицах, не соответствующих друг другу, то нужно сделать перевод единиц. Например, если длина задана в километрах, время — в часах, а скорость дана в метрах в секунду, то нужно найти значение скорости в километрах в час и именно это значение подставлять в формулы.

В природе существует «естественный эталон» скорости. Это скорость света в вакууме (например, в космическом пространстве), равная приблизительно 300 000 км/с. С той же скоростью распространяется в вакууме и всякий радиосигнал. Скорость света играет весьма важную роль во всех областях физики. Установлено, что движение тел со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно: скорость света в вакууме есть предельная скорость тел. Скорости всех земных и небесных тел всегда очень малы по сравнению со скоростью света, например, скорость Земли в ее движении вокруг Солнца составляет 30 км/с, т. е. всего 0,0001 скорости света. Со скоростями тел, приближающимися к скорости света, мы встречаемся только в мире мельчайших частиц вещества — электронов, протонов и других элементарных частиц. При таких скоростях в поведении тел наблюдаются важные особенности. Эти вопросы будут изучаться в томе III.

В мореходной практике распространена специальная единица скорости, носящая название узел. Узел — это скорость такого движения, при котором тело проходит за один час одну морскую милю. 1 узел = =0,514 м/с. Современные морские суда, развивающие скорость около 40 узлов, т. е. свыше 20 м/с, несутся со скоростью урагана.

Интересно отметить, что иногда применяют единицу длины, в основе которой лежит скорость света. Это — световой год, т. е. путь, проходимый светом за один год. Световой год равен примерно м. Этой единицей длины пользуются в астрономии, где приходится встречаться с расстояниями в тысячи, миллионы и миллиарды световых лет. Ближайшая к Земле звезда отстоит от нас на 3,2 световых года, самые дальние из наблюдаемых галактик (звездных систем) — на расстояниях около 3 миллиардов световых лет.

Графики зависимости пути от времени

Если траектория движения точки известна, то зависимость пути , пройденного точкой, от истекшего промежутка времени дает полное описание этого движения. Мы видели, что для равномерного движения такую зависимость можно дать в виде формулы (9.2). Связь между и для отдельных моментов времени можно задавать также в виде таблицы, содержащей соответственные значения промежутка времени и пройденного пути. Пусть нам дано, что скорость некоторого равномерного движения равна 2 м/с. Формула (9.2) имеет в этом случае вид . Составим таблицу пути и времени такого движения:

t, с	1	2	3	4	5	6
s, м	2	4	6	8	10	12

Зависимость одной величины от другой часто бывает удобно изображать не формулами или таблицами, а графиками, которые более наглядно показывают картину изменения переменных величин и могут облегчать расчеты. Построим график зависимости пройденного пути от времени для рассматриваемого движения. Для этого возьмем две взаимно перпендикулярные прямые — оси координат; одну из них (ось абсцисс) назовем осью времени, а другую (ось ординат) — осью пути. Выберем масштабы для изображения промежутков времени и пути и примем точку пересечения осей за начальный момент и за начальную точку на траектории. Нанесем на осях значения времени и пройденного пути для рассматриваемого движения (рис. 18). Для «привязки» значений пройденного пути к моментам времени проведем из соответственных точек на осях (например, точек 3 с и 6 м) перпендикуляры к осям. Точка пересечения перпендикуляров соответствует одновременно обеим величинам: пути и моменту , — этим способом и достигается «привязка». Такое же построение можно выполнить и для любых других моментов времени и соответственных путей, получая для каждой такой пары значений время — путь одну точку на графике. На рис. 18 выполнено такое построение, заменяющее обе строки таблицы одним рядом точек. Если бы такое построение было выполнено для всех моментов времени, то вместо отдельных точек получилась бы сплошная линия (также показанная на рисунке). Эта линия и называется графиком зависимости пути от времени или, короче, графиком пути.

Рис. 18. График пути равномерного движения со скоростью 2 м/с

Рис. 19.

В нашем случае график пути оказался прямой линией. Можно показать, что график пути равномерного движения всегда есть прямая линия; и обратно: если график зависимости пути от времени есть прямая линия, то движение равномерно.

Повторяя построение для другой скорости движения, найдем, что точки графика для большей скорости лежат выше, чем соответственные точки графика для меньшей скорости (рис. 20). Таким образом, чем больше скорость равномерного движения, тем круче прямолинейный график пути, т. е. тем больший угол он составляет с осью времени.

Рис. 20. Графики пути равномерных движений со скоростями 2 и 3 м/с

Рис. 21. График того же движения, что на рис. 18, вычерченный в другом масштабе

Наклон графика зависит, конечно, не только от числового значения скорости, но и от выбора масштабов времени и длины. Например, график, изображенный на рис. 21, дает зависимость пути от времени для того же движения, что и график рис. 18, хотя и имеет другой наклон. Отсюда ясно, что сравнивать движения по наклону графиков можно только в том случае, если они вычерчены в одном и том же масштабе.

С помощью графиков пути можно легко решать разные задачи о движении. Для примера на рис. 18 штриховыми линиями показаны построения, необходимые для того, чтобы решить следующие задачи для данного движения: а) найти путь, пройденный за время 3,5 с; б) найти время, за которое пройден путь 9 м. На рисунке графическим путем (штриховые линии) найдены ответы: а) 7 м; б) 4,5 с.

На графиках, описывающих равномерное прямолинейное движение, можно откладывать по оси ординат вместо пути координату движущейся точки. Такое описание открывает большие возможности. В частности, оно позволяет различать направление движения по отношению к оси . Кроме того, приняв начало отсчета времени за нуль, можно показать движение точки в более ранние моменты времени, которые следует считать отрицательными.

Рис. 22. Графики движений с одной и той же скоростью, но при различных начальных положениях движущейся точки

Рис. 23. Графики нескольких движений с отрицательными скоростями

 

Например, на рис. 22 прямая I есть график движения, происходящего с положительной скоростью 4 м/с (т. е. в направлении оси ), причем в начальный момент движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Для сравнения на том же рисунке дан график движения, которое происходит с той же скоростью, но при котором в начальный момент движущаяся точка находится в точке с координатой (прямая II). Прямая. III соответствует случаю, когда в момент движущаяся точка находилась в точке с координатой м. Наконец, прямая IV описывает движение в случае, когда движущаяся точка имела координату в момент с.

Мы видим, что наклоны всех четырех графиков одинаковы: наклон зависит только от скорости движущейся точки, а не от ее начального положения. При изменении начального положения весь график просто переносится параллельно самому себе вдоль оси вверх или вниз на соответственное расстояние.

Графики движений, происходящих с отрицательными скоростями (т. е. в направлении, противоположном направлению оси ), показаны на рис. 23. Они представляют собой прямые, наклоненные вниз. Для таких движений координата точки с течением времени уменьшается.

График пути для точки, движущейся со скоростью , отсекает на оси ординат отрезок . Как зависит от времени расстояние от начальной точки? Напишите формулу этой зависимости.

Точка, движущаяся со скоростью , в момент находится на расстоянии от начальной. Как зависит от времени расстояние ?

Точка, двигаясь равномерно вдоль оси , имела координаты м и м в моменты времени с и с соответственно. Найдите графически, в какой момент точка проходила через начало координат и какова была координата в начальный момент. Найдите проекцию скорости на ось .

Найдите при помощи графика пути, когда и на каком расстоянии от точки А автомашину, вышедшую из точки А, догонит вторая автомашина, вышедшая из той же точки через 20 мин после первой, если первая машина движется со скоростью 40 км/ч, а вторая — со скоростью 60 км/ч.

Найдите при помощи графика пути, где и когда встретятся автомашины, вышедшие одновременно навстречу друг другу со скоростями 40 и 60 км/ч из пунктов А и В, лежащих на расстоянии 100 км друг от друга.

Графики пути можно строить и для случаев, в которых тело движется равномерно в течение определенного промежутка времени, затем движется равномерно, но с другой скоростью в течение другого промежутка времени, затем снова меняет скорость и т. д. Например, на рис. 26 показан график движения, в котором тело двигалось в течение первого часа со скоростью 20 км/ч, в течение второго часа — со скоростью 40 км/ч и в течение третьего часа — со скоростью 15 км/ч.

Постройте график пути для движения, в котором за последовательные часовые промежутки тело имело скорости 10, -5, 0, 2, -7 км/ч. Чему равно суммарное перемещение тела?