Статистические оценки результатов наблюдений

Множество значений случайной величины, полученных в результате эксперимента или наблюдений над объектом исследования, представляет собой статистическую совокупность. Статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения случайной величины, называется генеральной статистической совокупностью. Совокупность, включающая некоторую часть элементов генеральной совокупности, называется выборочной статистической совокупностью. По результатам экспериментов практически всегда сталкиваются именно с выборочной статистической совокупностью. В дальнейшем будем называть ее выборкой, а число опытов (наблюдений) п, содержащееся в выборке, – объемом.

При повторении опытов в одинаковых условиях обычно обнаруживается закономерность в частоте появления тех или иных результатов. Некоторые значения случайной величины появляются значительно чаще других, при этом они группируются относительно некоторого значения – центра М_у. Для описания этого явления используется вероятностный подход. Пусть р  – вероятность того, что случайная величина, являющаяся результатом эксперимента, примет значение у , i = 1, 2,..., n. Если значения р  известны для всех возможных значений у  из генеральной совокупности, то величину М_у можно найти
по формуле

                                                  (2.1)

Величину М_у называют математическим ожиданием или генеральным средним случайной величины. Однако только математическое ожидание не может отобразить все характерные черты статистической совокупности. Исследователю, кроме того, необходимо знать изменчивость (вариацию) наблюдаемой характеристики объекта.

Рассеивание случайной величины относительно математического ожидания характеризуется величиной, называемой дисперсией. Обычно она обозначается через . Для генеральной совокупности дисперсия определяется по формуле

                                                                            (2.2)

Дисперсию  часто называют генеральной дисперсией. Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением случайной величины или стандартом . Как и дисперсия, среднее квадратическое отклонение является характеристикой рассеивания значений случайной величины относительно математического ожидания.

Формулы (2.1) и (2.2) справедливы для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин математическое ожидание и дисперсия выражаются через соответствующие интегралы.

Поскольку экспериментатор имеет дело не с генеральной совокупностью, а с выборкой, необходимы формулы, позволяющие приближенно оценить математическое ожидание М_у и дисперсию
на основе опытных данных. Пусть по результатам однородной серии опытов получена выборка . Наилучшей оценкой для математи-ческого ожидания М_у является среднее арифметическое («среднее»)

                                                                               (2.3)

Найденное значение  называют также выборочным средним в отличие от генерального среднего М_у. Оценкой дисперсии  случайной величины является выборочная или эмпирическая дисперсия

                                                  (2.4)

Числитель данной формулы представляет собой сумму квадратов отклонений значений случайной величины от среднего значения ,
а знаменатель для выборочной дисперсии называется числом степеней свободы, связанным с этой дисперсией, и обозначается :

                                                                                             (2.5)

Формулу (2.4) можно преобразовать к виду, более удобному для вычислений:

                                                                        (2.6)

Величина

                                                                 (2.7)

является оценкой среднего квадратичного отклонения о выборки. Ее также называют выборочным стандартом.

Часто для оценки изменчивости (вариации) случайных величин используют коэффициент вариации v (%):

                                                                            (2.8)

Коэффициент вариации характеризует не абсолютное, а относитель-ное рассеивание случайной величины относительно среднего.

Важное значение в статистике имеют также следующие статисти-ческие показатели:

средняя квадратичная  ошибка  среднего  значения

                                                                                          (2.9)

показатель точности среднего значения, %:  

                                                                   (2.10)

ошибка среднего квадратичного  отклонения

                                        .

Статистическая совокупность может иногда содержать сотни и даже тысячи наблюдений. При этом анализ экспериментального материала,
в частности отыскание оценок математического ожидания и дисперсии
по формулам (2.3) и (2.6), является весьма трудоемкой задачей.

Для вычисления выборочного среднего  и выборочной дисперсии  в подобных случаях прибегают к группированию данных. При этом
весь диапазон значений случайной величины от  до  разбивается
на интервалы. Для ориентировочного определения числа интервалов k можно воспользоваться формулой

                                   k = 1 + 3,21 g (n),                                      (2.11)

где n – объем выборки. Значение k, найденное по этой формуле, округляется до ближайшего целого. Чаще всего используются интервалы равной длины. В этом случае длина (h) каждого интервала

.

Далее определяются границы интервалов. Так, первый интервал лежит в пределах , где ; второй интервал – в пределах  где  и т. д. Для каждого i- гоинтервала вычисляется его середина  по формуле

,

где i = 1, 2,… k.

Затем подсчитывается число наблюдений, попавших в каждый интервал. Обозначим его через m , i = 1, 2,…, k.

Предварительно договариваются, к какому интервалу приписывать значение случайной величины, попавшее на границу интервала.
Можно, например, условиться, что значение случайной величины, попавшее на границу у , всегда относится к i + 1-му интервалу. Сумма
всех величин m  равна объему выборки:

Тогда выборочное среднее  и выборочная дисперсия  определяются соответственно по формулам:

                                                        (2.12)

                                                              (2.13)

При использовании формул (2.12) и (2.13) для получения оценок математического ожидания и дисперсии можно и не определять числовых значений элементов выборки. Достаточно знать, в какой интервал попадет каждое значение случайной величины.

Данные записывают в виде статистического ряда (табл. 2.1).
В последнем столбце таблицы приведены значения относительной частоты, равной отношению числа наблюдений, попавших в данный интервал,к объему   выборки:  

.

 

Таблица 2.1. Статистический ряд

№ интервала	Граница интервала	Середина интервала	Число наблюдений в интервале	Относительная частота
1
1	2	3	4	5
2
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
i
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
k

 

График, построенный по данным статистического ряда, называют гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс отклады-
вают значения границ интервалов и на каждом из них, как на осно-
вании, строят прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте, соответствующей данному интервалу. Высота каждого прямо-угольника равна относительной частоте, деленной на длину интер-
вала.

Пусть, например, в результате измерения шероховатости поверхно-сти деталей получено n = 140 значений высот неровностей разруше-
ния на поверхности детали (мкм), приведенных в табл. 2.2.

 

 

Таблица 2.2 Высоты неровностей разрушения

Высота микронеровностей на поверхности детали, у (мкм)
760	940	1 110	766	615	502	708	618	560	552	960	1 210
760	1 010	850	790	535	517	629	618	428	560	1 260	825
460	454	847	795	500	720	605	535	485	860	613	825
460	685	844	892	740	730	725	510	652	864	1 070	860
430	910	942	1 120	758	619	775	734	675	560	412	952
651	950	1 236	835	785	623	780	741	602	565	1 160	1 264
668	910	545	830	802	510	880	717	610	495	452	660
602	554	852	900	1 034	702	1 117	740	523	456	552	950
605	558	860	910	1 146	800	1 180	710	503	680	684	960
545	428	902	1 210	801	767	816	752	730	692	570	960
521	660	910	626	845	862	844	890	710	630	560	960
750	675	910	560	842	1 074	1 060	452

 

Из табл. 2.2 видно, что высота микронеровностей у изменяется
в диапазоне от 400 до 1 300 мкм. Разобьем этот диапазон на интервалы длиной по 100 мкм.Получится всего девять интервалов, границы которых приведены во втором столбце табл. 2.3 (формула 2.11) дает близкое
к принятому значение числа интервалов . Результаты подсчета значений   и относительных частот   приведены в четвертом
и пятом столбцах таблицы.

 

Таблица 2.3 Статистические интервалы

 

№ интервала	Граница интервала	Середина интервала	Число наблюдений в интервале	Относительная частота
1	400–500	450	13	0,093
2	500–600	550	22	0,157
3	600–700	650	25	0,179
4	700–800	750	26	0,186
5	800–900	850	23	0,164
6	900–1 000	950	15	0,107
7	1 000–1 100	1 050	5	0,036
8	1 100–1 200	1 150	6	0,04
9	1 200–1 300	1 250	5	0,036

 

Изображенная на рис. 2.1 гистограмма соответствует статистическому ряду, приведенному в табл. 2.3. Поскольку сумма всех относительных частот составляет единицу, то площадь гистограммы также равна единице. С увеличением числа опытов  значение каждой частоты становится все ближе к соответствующей вероятности . Это утверждение, выражающее требование статистической устойчивости частот, является важнейшей предпосылкой применения статистических методов.

Если одновременно с увеличением числа опытов n увеличивать
и количество интервалов, то ломаная, ограничивающая гистограмму сверху, приближается к некоторой кривой, называемой кривой рас-пределения или кривой плотности вероятности. Она является графиком соотношения между значениями данной случайной величины и их вероятностями. В теории вероятностей это соотношение называется статистическим распределением.

Для случайных величин, имеющих разную природу, статистические распределения могут быть различными. Известны, например, распре-деления Пуассона, Пирсона, биноминальное и многие другие. Среди них существует распределение, называемое нормальным (или гауссовским), которое применяется наиболее часто и играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике.

Основанием для этого служит центральная предельная теорема теории вероятностей, согласно которой сумма достаточно большого числа произвольно распределенных случайных величин распределена приблизительно по нормальному закону и тем точнее, чем больше слагаемых в ней содержится. При этом предполагается, что среди рассматриваемых случайных величин нет такой, влияние которой на сумму существенно превалирует над другими. Таким условиям, как правило, удовлетворяет измеряемая величина в однородной серии опытов, подверженная влиянию большого числа случайных факторов. Поэтому распределение случайной величины обычно считается нормальным. Кривая плотности нормального распределения изображена на рис. 2.2.

 

Рис. 2.1. Гистограмма распределения     Рис. 2.2. Кривая плотности

                                                         нормальногораспределения

                                                                                           

Далее будем исходить из предположения, что результаты наблюдений свободны от систематических ошибок, а случайные ошибки (а значит,
и результаты наблюдений) подчинены нормальному закону распределения.